高考数学一轮复习 练案（54）第八章 解析几何 第五讲 椭圆（含解析）-人教版高三数学试题

[练案54]第五讲椭圆A组基础巩固一、单选题1．(2019·上海浦东新区模拟)方程kx2＋4y2＝4k表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是(D)A．k>4 B．k＝4C．k<4 D．0<k<4[解析]椭圆的标准方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,k)＝1，焦点在x轴上，所以0<k<4.2．过点A(3，－2)且与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1有相同焦点的椭圆方程为(A)A．eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,10)＝1 B．eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,20)＝1C.eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,15)＝1 D．eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,15)＝1[解析]设所求椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则a2－b2＝c2＝5，且eq\f(9,a2)＋eq\f(4,b2)＝1，解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－b2＝5，,\f(9,a2)＋\f(4,b2)＝1，))得a2＝15，b2＝10，故所球椭圆方程为eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,10)＝1.3．(2020·河南中原名校模拟)已知点P(x1，y1)是椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上的一点，F1，F2是其左、右焦点，当∠F1PF2最大时，△PF1F2的面积是(B)A．eq\f(16\r(3),3) B．12C．16(2＋eq\r(3)) D．16(2－eq\r(3))[解析]∵椭圆的方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1，∴a＝5，b＝4，c＝eq\r(25－16)＝3，∴F1(－3,0)，F2(3,0)．根据椭圆的性质可知当点P与短轴端点重合时，∠F1PF2最大，此时△PF1F2的面积S＝eq\f(1,2)×(2×3)×4＝12，故选B.4．(2020·杭州模拟)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为eq\f(\r(3),3)，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4eq\r(3)，则C的方程为(A)A．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1 B．eq\f(x2,3)＋y2＝1C.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,8)＝1 D．eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1[解析]由题意及椭圆的定义知4a＝4eq\r(3)，则a＝eq\r(3)，又eq\f(c,a)＝eq\f(c,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，∴c＝1，∴b2＝2，∴C的方程为eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1，选A.5．(2019·惠州二模)设F1，F2为椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则eq\f(|PF2|,|PF1|)的值为(D)A．eq\f(5,14) B．eq\f(5,9)C．eq\f(4,9) D．eq\f(5,13)[解析]如图，设线段PF1的中点为M，因为O是F1F2的中点，所以OM∥PF2，可得PF2⊥x轴，|PF2|＝eq\f(b2,a)＝eq\f(5,3)，|PF1|＝2a－|PF2|＝eq\f(13,3)，eq\f(|PF2|,|PF1|)＝eq\f(5,13)，故选D.6．(2020·青岛月考)已知A1，A2分别为椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左，右顶点，P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点，若直线PA1，PA2的斜率的乘积为－eq\f(4,9)，则椭圆C的离心率为(D)A．eq\f(4,9) B．eq\f(2,3)C．eq\f(5,9) D．eq\f(\r(5),3)[解析]设P(x0，y0)，则eq\f(y0,x0＋a)×eq\f(y0,x0－a)＝－eq\f(4,9)，化简得eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),\f(4a2,9))＝1，则eq\f(b2,a2)＝eq\f(4,9)，e＝eq\r(1－\f(b,a)2)＝eq\r(1－\f(4,9))＝eq\f(\r(5),3)，故选D.7．(2019·河北省衡水中学模拟)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)和直线l：eq\f(x,4)＋eq\f(y,3)＝1，若过C的左焦点和下顶点的直线与l平行，则椭圆C的离心率为(A)A．eq\f(4,5) B．eq\f(3,5)C．eq\f(3,4) D．eq\f(1,5)[解析]直线l的斜率为－eq\f(3,4)，过C的左焦点和下顶点的直线与l平行，所以eq\f(b,c)＝eq\f(3,4)，又b2＋c2＝a2⇒(eq\f(3,4)c)2＋c2＝a2⇒eq\f(25,16)c2＝a2，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(4,5)，故选A.8．(2019·辽宁省大连市模拟)过椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点，则△PFQ的周长的最小值为(D)A．12 B．14C．16 D．18[解析]设椭圆另一个焦点为F′，则|PF|＝|F′Q|，∴|PF|＋|FQ|＝|F′Q|＋|FQ|＝2a又|PQ|＝2|OQ|≥8(当Q为短轴端点时取等号)∴△PFQ周长的最小值为8.故选D.9．(2019·广西桂林期末)若点O和点F分别为椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))的最大值为(C)A．2 B．3C．6 D．8[解析]设点P(x0，y0)，则eq\f(x\o\al(2,0),4)＋eq\f(y\o\al(2,0),3)＝1，即yeq\o\al(2,0)＝3－eq\f(3x\o\al(2,0),4).又因为点F(－1,0)，所以eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))＝x0(x0＋1)＋yeq\o\al(2,0)＝eq\f(1,4)xeq\o\al(2,0)＋x0＋3＝eq\f(1,4)(x0＋2)2＋2.又x0∈[－2,2]，所以(eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→)))max＝6.10．(2019·南昌二模)已知椭圆C：eq\f(y2,9)＋x2＝1，过点P(eq\f(1,2)，eq\f(1,2))的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为(B)A．9x－y－4＝0 B．9x＋y－5＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋y－5＝0[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\f(y\o\al(2,1),9)＋xeq\o\al(2,1)＝1，eq\f(y\o\al(2,2),9)＋xeq\o\al(2,2)＝1，两式相减得eq\f(y1－y2y1＋y2,9)＋(x1－x2)(x1＋x2)＝0，又y1＋y2＝1，x1＋x2＝1，∴kAB＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－9，∴直线AB的方程为y－eq\f(1,2)＝－9(x－eq\f(1,2))，即9x＋y－5＝0，故选B.二、多选题11．(2020·山东济宁期末)已知P是椭圆C：eq\f(x2,6)＋y2＝1上的动点，Q是圆D：(x＋1)2＋y2＝eq\f(1,5)上的动点，则(BC)A．C的焦距为eq\r(5) B．C的离心率为eq\f(\r(30),6)C．圆D在C的内部 D．|PQ|的最小值为eq\f(2\r(5),5)[解析]依题意可得c＝eq\r(6－1)＝eq\r(5)，则C的焦距为2eq\r(5)，e＝eq\f(\r(5),\r(6))＝eq\f(\r(30),6).设P(x，y)(－eq\r(6)≤x≤eq\r(6))，则PD2＝(x＋1)2＋y2＝(x＋1)2＋1－eq\f(x2,6)＝eq\f(5,6)(x＋eq\f(6,5))2＋eq\f(4,5)≥eq\f(4,5)>eq\f(1,5)，所以圆D在C的内部，且PQ的最小值为eq\r(\f(4,5))－eq\r(\f(1,5))＝eq\f(\r(5),5)，故选BC.12．如图，椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心．设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为a1和a2，半焦距分别为c1和c2，离心率分别为e1，e2，则下列结论正确的是(ABD)A．a1＋c1>2(a2＋c2) B．a1－c1＝a2－c2C．a1c2>a2c1 D．e1＝eq\f(e2＋1,2)[解析]由椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心，可得2a2＝a1，由椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，可得a2＋c2＝c1；因为a1＋c1＝2a2＋a2＋c2，且a2>c2，则a1＋c1＝2a2＋a2＋c2>2(a2＋c2)，所以A正确；因为a1－c1＝2a2－(a2＋c2)＝a2－c2，所以B正确；因为a1c2＝2a2c2，a2c1＝a2(a2＋c2)＝aeq\o\al(2,2)＋a2c2，则有a1c2－a2c1＝2a2c2－aeq\o\al(2,2)－a2c2＝a2(c2－a2)<0，所以C错误；因为e1＝eq\f(c1,a1)＝eq\f(a2＋c2,2a2)＝eq\f(e2＋1,2)，所以D正确；故选三、填空题13．(2019·重庆一中、湖北鄂州期中)已知F1，F2是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,9)＝1(a>3)的左、右焦点，P为椭圆上一点且满足∠F1PF2＝120°，则|PF1|·|PF2|的值为__36__.[解析]由题意知4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos120°＝(|PF1|＋|PF2|)2－|PF1|·|PF2|＝4a2－|PF1|·|PF2|，∴|PF1|·|PF2|＝4(a2－c2)＝4b14．(2020·武汉质检)在Rt△ABC中，AB＝AC＝1，若—个椭圆通过A，B两点，它的一个焦点为点C，另一个焦点在AB上，则这个椭圆的离心率为eq\r(6)－eq\r(3).[解析]设另一个焦点为F，如图所示，∵|AB|＝|AC|＝1，∴△ABC为等腰直角三角形．∴1＋1＋eq\r(2)＝4a，则a＝eq\f(2＋\r(2),4).∴|AF|＝2a－1＝eq\f(\r(2),2)，∴1＋(eq\f(\r(2),2))2＝4c2，∴c＝eq\f(\r(6),4)，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(6)－eq\r(3).四、解答题15．已知椭圆的两焦点为F1(－eq\r(3)，0)，F2(eq\r(3)，0)，离心率e＝eq\f(\r(3),2).(1)求此椭圆的方程；(2)设直线l：y＝x＋m，若l与此椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值．(3)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点)，求直线l的斜率k的取值范围．[解析](1)设椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则c＝eq\r(3)，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，所以a＝2，b＝1，所求椭圆方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋y2＝1，,y＝x＋m))消去y，得5x2＋8mx＋4(m2－1)＝0，则Δ>0，得m2<5.(*)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝－eq\f(8m,5)，x1x2＝eq\f(4m2－1,5)，y1－y2＝x1－x2，|PQ|＝eq\r(2[－\f(8m,5)2－\f(16m2－1,5)])＝2.解得m＝±eq\f(\r(30),4)，满足(*)，所以m＝±eq\f(\r(30),4).(3)显然直线x＝0不满足题设条件，可设直线l：y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,\f(x2,4)＋y2＝1))消去y，整理得(k2＋eq\f(1,4))x2＋4kx＋3＝0，∴x1＋x2＝－eq\f(4k,k2＋\f(1,4))，x1·x2＝eq\f(3,k2＋\f(1,4))，由Δ＝(4k)2－4(k2＋eq\f(1,4))×3＝4k2－3>0得，k>eq\f(\r(3),2)或k<－eq\f(\r(3),2).①又∠AOB为锐角，∴eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))>0，∴eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2>0.又y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝eq\f(3k2,k2＋\f(1,4))＋eq\f(－8k2,k2＋\f(1,4))＋4＝eq\f(－k2＋1,k2＋\f(1,4))，∴eq\f(3,k2＋\f(1,4))＋eq\f(－k2＋1,k2＋\f(1,4))>0，即k2<4，∴－2<k<2.②由①②得，－2<k<－eq\f(\r(3),2)或eq\f(\r(3),2)<k<2.B组能力提升1．(2019·河南洛阳一模)已知椭圆eq\f(x2,11－m)＋eq\f(y2,m－3)＝1的长轴在y轴上，且焦距为4，则m等于(C)A．5 B．6C．9 D．10[解析]由椭圆eq\f(x2,11－m)＋eq\f(y2,m－3)＝1的长轴在y轴上，焦距为4，可得eq\r(m－3－11＋m)＝2，解得m＝9.故选C.2．(2020·安徽六校联考)椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，以F2为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线PF1恰好与圆F2相切于点P，则椭圆的离心率为(A)A．eq\r(3)－1 B．eq\f(\r(3)＋1,2)C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(5)－1,2)[解析]由题意得：PF1⊥PF2，且|PF2|＝c，又|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF1|＝2a－由勾股定理得：(2a－c)2＋c2＝4c2⇒e2＋2解得：e＝eq\r(3)－1，故选A.3．(2019·河北唐山一模)椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左右焦点为F1，F2，过F2垂直x轴的直线交C于A，B两点，若△AF1B为等边三角形，则椭圆C的离心率为(D)A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(3),2)C．eq\f(1,3) D．eq\f(\r(3),3)[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝c，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1))得y＝±eq\f(b2,a)，由题意可知eq\f(b2,2ac)＝tan30°＝eq\f(\r(3),3)，∴eq\f(a2－c2,2ac)＝eq\f(\r(3),3)，即eq\f(1－e2,2e)＝eq\f(\r(3),3).解得e＝eq\f(\r(3),3)，故选D.4．(2019·年全国)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点，若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为(B)A．eq\f(x2,2)＋y2＝1 B．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 D．eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1[解析]如图，由已知可设|F2B|＝n，则|AF2|＝2n，|BF1|＝|AB|＝3n，由椭圆的定义有2a＝|BF1|＋|BF2|＝4n在△AF1B中，由余弦定理推论得cos∠F1AB＝eq\f(4n2＋9n2－9n2,2·2