高考数学一轮复习 练案（7）第二章 函数、导数及其应用 第四讲 函数的奇偶性与周期性（含解析）-人教版高三数学试题

[练案7]第四讲函数的奇偶性与周期性A组基础巩固一、单选题1．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(D)A．y＝x＋sin2x B．y＝x2－cosxC．y＝2x＋eq\f(1,2x) D．y＝x2＋sinx[解析]选项A是奇函数，B、C都是偶函数，故选D.2．(2020·西藏山南二高模拟)下列函数中，是偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是(D)A．y＝2x B．y＝eq\r(x)C．y＝|x| D．y＝－x2＋1[解析]A选项，根据y＝2x的图象知该函数非奇非偶，可知A错误；B选项，由y＝eq\r(x)的定义域为[0，＋∞)，知该函数非奇非偶，可知B错误；C选项，当x∈(0，＋∞)时，y＝|x|＝x为增函数，不符合题意，可知C错误；D选项；由－(－x)2＋1＝－x2＋1，可知该函数为偶函数，根据其图象可看出该函数在(0，＋∞)上单调递减，可知D正确．故选D.3．已知f(x)为奇函数，当x>0，f(x)＝x(1＋x)，那么x<0，f(x)等于(B)A．－x(1－x) B．x(1－x)C．－x(1＋x) D．x(1＋x)[解析]当x<0时，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)(1－x)．又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x(1－x)．4．(2020·山东师大附中模拟)函数f(x)在R上是偶函数，且f(x＋1)＝－f(x)，若f(x)在[－1,0]上单调递减，则函数f(x)在[3,5]上是(D)A．增函数 B．减函数C．先增后减的函数 D．先减后增的函数[解析]因为f(x＋1)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，所以f(x)是周期为2的函数，又f(x)在R上是偶函数，且在[－1,0]上单调递减，所以f(x)在[0,1]单调递增．所以f(x)在[3,5]上是先减后增的函数，故选D.5．(2020·广东佛山一模，7)已知f(x)＝2x＋eq\f(a,2x)为奇函数，g(x)＝bx－log2(4x＋1)为偶函数，则f(ab)＝(D)A．eq\f(17,4) B．eq\f(5,2)C．－eq\f(15,4) D．－eq\f(3,2)[解析]由f(x)＝2x＋eq\f(a,2x)为奇函数，得f(－x)＋f(x)＝0，即(2x＋eq\f(a,2x))＋(2－x＋eq\f(a,2－x))＝0，可得a＝－1；由g(x)＝bx－log2(4x＋1)为偶函数，得g(x)＝g(－x)，即bx－log2(4x＋1)＝b(－x)－log2(4－x＋1)，可得b＝1，则ab＝－1，f(ab)＝f(－1)＝2－1－eq\f(1,2－1)＝－eq\f(3,2)，故选D.6．设偶函数f(x)对任意x∈R都有f(x＋3)＝－eq\f(1,fx)，且当x∈[－3，－2]时，f(x)＝4x，则f(107.5)等于(B)A．10 B．eq\f(1,10)C．－10 D．－eq\f(1,10)[解析]因为f(x＋3)＝－eq\f(1,fx)，所以f(x＋6)＝－eq\f(1,fx＋3)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为6.又f(x)是偶函数，所以f(107.5)＝f(6×17＋5.5)＝－eq\f(1,f2.5)＝－eq\f(1,f－2.5)＝－eq\f(1,4×－2.5)＝eq\f(1,10).7．(2020·甘肃天水一中阶段测试)已知函数f(x)＝e|x|＋x2，(e为自然对数的底数)，且f(3a－2)>f(a－1)，则实数aA．(eq\f(1,2)，＋∞) B．(－∞，eq\f(1,2))C．(－∞，eq\f(1,2))∪(eq\f(3,4)，＋∞) D．(0，eq\f(1,2))∪(eq\f(3,4)，＋∞)[解析]显然f(x)为偶函数且在[0，＋∞)上单调递增，∴f(3a－2)>f(a－1)⇔|3a－2|>|a－1|⇔(3a－2)2>(a－1)2⇔a>eq\f(3,4)或a<eq\f(1,2)，故选C.二、多选题8．若函数f(x)(x∈R)是奇函数，函数g(x)(x∈R)是偶函数，则下列结论中正确的是(ABC)A．函数f(g(x))是偶函数B．函数g(f(x))是偶函数C．函数f(x)·g(x)是奇函数D．函数f(x)＋g(x)是奇函数[解析]对于选项A，f[g(x)]是偶函数，A正确；对于选项B，g[f(x)]是偶函数，B正确；对于选项C，设h(x)＝f(x)g(x)，h(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－h(x)是奇函数；对于选项D，f(x)＋g(x)不一定具备奇偶数，故选A、B、C.9．若函数y＝f(x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y＝f(x)图象上的是(BC)A．(a，－f(a)) B．(－a，－f(a))C．(a，－f(－a)) D．(a，f(－a))[解析]∵函数y＝f(x)为奇函数，∴f(－a)＝－f(a)，－f(－a)＝f(a)．即点(－a，－f(a))和点(a，－f(－a))一定在函数y＝f(x)的图象上．故选B、C.10．(2020·山东普通高校招生春季考试)奇函数y＝f(x)的局部图象如图，则下列结论不正确的是(BCD)A．f(2)>0>f(4)B．f(2)<0<f(4)C．f(2)>f(4)>0D．f(2)<f(4)<0[解析]因为奇函数y＝f(x)，所以f(－4)＝－f(4)，f(－2)＝－f(2)．因为f(－4)>0>f(－2)，所以－f(4)>0>－f(2)，即f(2)>0>f(4)．故选B、C、D.三、填空题11．若函数f(x＋1)为偶函数，则函数f(x)的图象的对称轴方程为__x＝1__.[解析]解法一：由已知得f(x＋1)＝f(－x＋1)，所以y＝f(x)关于x＝1对称．解法二：将y＝f(x＋1)右移1个单位，得到y＝f(x)图象，关于x＝1对称．12．设f(x)是周期为3的函数，当1≤x≤3时，f(x)＝2x＋3，则f(8)＝__7__.－2≤x≤0时，f(x)＝__2x＋9__.[解析]因为f(x)是周期为3的函数，所以f(8)＝f(2)＝2×2＋3＝7.当－2≤x≤0时，f(x)＝f(x＋3)＝2(x＋3)＋3＝2x＋9.13．已知定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)内单调递增，且f(eq\f(1,2))＝0，则f(x)>0的解集为(－eq\f(1,2)，0)∪(eq\f(1,2)，＋∞).[解析]由已知可造构y＝f(x)的示意图象，所以f(x)>0的解集为(－eq\f(1,2)，0)∪(eq\f(1,2)，＋∞)．14．(2018·课标全国Ⅲ，16)已知函数f(x)＝ln(eq\r(1＋x2)－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝__－2__.[解析]本题考查函数的奇偶性．易知f(x)的定义域为R，令g(x)＝ln(eq\r(1＋x2)－x)，则g(x)＋g(－x)＝0，∴g(x)为奇函数，∴f(a)＋f(－a)＝2，又f(a)＝4，∴f(－a)＝－2.B组能力提升1．(多选题)(2020·陕西西安中学模拟改编)设f(x)－x2＝g(x)，若函数f(x)为偶函数，则g(x)的解析式可能为(BC)A．g(x)＝x3 B．g(x)＝cosxC．g(x)＝x2＋1 D．g(x)＝xex[解析]因为f(x)＝x2＋g(x)，且f(x)为偶函数，所以有(－x)2＋g(－x)＝x2＋g(x)，即g(－x)＝g(x)，所以g(x)为偶函数，由选项可知，只有选项B、C中的函数为偶函数，故选B、C.2．(2020·吉林长春月考)已知函数f(x)＝eq\f(x2＋x＋1,x2＋1)，若f(a)＝eq\f(2,3)，则f(－a)＝(C)A．eq\f(2,3) B．－eq\f(2,3)C．eq\f(4,3) D．－eq\f(4,3)[解析]根据题意，f(x)＝eq\f(x2＋x＋1,x2＋1)＝1＋eq\f(x,x2＋1)，而h(x)＝eq\f(x,x2＋1)是奇函数，故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2－eq\f(2,3)＝eq\f(4,3).故选C.3．(2020·黑龙江哈尔滨六中高三月考)若f(x)＝ex－ae－x为奇函数，则f(x－1)<e－eq\f(1,e)的解集为(A)A．(－∞，2) B．(－∞，1)C．(2，＋∞) D．(1，＋∞)[解析]∵f(x)＝ex－ae－x为奇函数，∴f(0)＝0，即f(0)＝1－a＝0.则a＝1，即f(x)＝ex－e－x，则函数f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，又f(1)＝e－eq\f(1,e)，则不等式f(x－1)<e－eq\f(1,e)等价于f(x－1)<f(1)，即x－1<1，解得x<2，即不等式的解集为(－∞，2)．故选A.4．(2019·课标Ⅲ，11,5分)设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则(C)A．f(log3eq\f(1,4))>f(2－eq\f(3,2))>f(2－eq\f(3,2))B．f(log3eq\f(1,4))>f(2－eq\f(2,3))>f(2－eq\f(3,2))C．f(2－eq\f(3,2))>f(2－eq\f(2,3))>f(log3eq\f(1,4))D．f(2－eq\f(2,3))>f(2－eq\f(3,2))>f(log3eq\f(1,4))[解析]∵f(x)是定义域为R的偶函数，∴f(－x)＝f(x)．∴f(log3eq\f(1,4))＝f(－log34)＝f(log34)．∵log34>log33＝1，且1>2－eq\f(2,3)>2－eq\f(3,2)>0，∴log34>2－eq\f(2,3)>2－eq\f(3,2)>0.∵f(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴f(2－eq\f(3,2))>f(2－eq\f(2,3))>f(log34)＝f(log3eq\f(1,4))．故选C.5．(2020·河北省“五个一名校联盟”高三)已知奇函数f(x)满足f(x＋1)＝f(1－x)，若当x∈(－1,1)时，f(x)＝lgeq\f(1＋x,1－x)，且f(2018－a)＝1，则实数a的值可以是(A)A．eq\f(9,11) B．eq\f(11,9)C．－eq\f(9,11) D．－eq