高考数学一轮复习 练案（17）第二章 函数、导数及其应用 第十二讲 导数在研究函数中的应用 第3课时 导数与函数的零点或方程的根、不等式（含解析）-人教版高三数学试题

[练案17]第三课时导数与函数的零点或方程的根、不等式A组基础巩固一、单选题1．(2020·贵州贵阳联考)已知函数f(x)的定义域为[－1,4]，部分对应值如下表：x－10234f(x)12020f(x)的导函数f′(x)的大致图象如图所示．当1<a<2时，函数y＝f(x)－a的零点个数为(D)A．1 B．2C．3 D．4[解析]根据导函数图象，知2是函数f(x)的极小值点，0和3是函数f(x)的极大值点，则函数f(x)的大致图象如图所示．因为1<a<2，所以数形结合可知y＝f(x)－a的零点个数为4.2．已知函数f(x)＝ex－x＋a，若f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围是(A)A．(－1，＋∞) B．(－∞，－1)C．[－1，＋∞) D．(－∞，－1][解析]f′(x)＝ex－1，令f′(x)>0，解得x>0；令f′(x)<0，解得x<0，故f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)min＝f(0)＝1＋a，若f(x)>0恒成立，则1＋a>0，解得a>－1，故选A.3．(2020·安徽省黄山市高三第一次质量检测)定义域为R的函数f(x)满足f′(x)>f(x)，则不等式ex－1f(x)<f(2xA．(eq\f(1,4)，＋∞) B．(eq\f(1,2)，＋∞)C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)[解析]设g(x)＝eq\f(fx,ex)，g′(x)＝eq\f(f′x－fx,ex)>0，知g(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，由ex－1f(x)<f(2x－1)得：eq\f(fx,ex)<eq\f(f2x－1,e2x－1)，即g(x)<g(2x－1)，所以x<2x－1，解得x>1，故选C.二、多选题4．若函数f(x)在R上可导，且满足f(x)－xf′(x)>0，则下列命题正确的是(BC)A．3f(1)<f(3) B．3f(1)>C．2f(2)>f(4) D．3f(3)<[解析]由于f(x)>xf′(x)，则[eq\f(fx,x)]′＝eq\f(xf′x－fx,x2)<0恒成立，因此eq\f(fx,x)在R上是单调递减函数，∴eq\f(f3,3)<eq\f(f1,1)，即3f(1)>f(3)．同理2f(2)>f(4)，3f(3)>f(9)，选B、C.5．若不等式2xlnx≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值可能为(AB)A．3 B．4C．5 D．6[解析]2xlnx≥－x2＋ax－3，则a≤2lnx＋x＋eq\f(3,x)，设h(x)＝2lnx＋x＋eq\f(3,x)(x>0)，则h′(x)＝eq\f(x＋3x－1,x2).当x∈(0,1)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4，所以a≤h(x)min＝4.三、填空题6．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是__(－∞，2ln_2－2]__.[解析]f(x)有零点可转化为方程ex－2x＋a＝0有解的问题，即a＝－ex＋2x有解．设g(x)＝－ex＋2x，g′(x)＝－ex＋2，g′(x)＝0得x＝ln2，因此g(x)在(－∞，ln2)递增，在(ln2，＋∞)递减，因此g(x)在ln2取得最大值，所以g(x)的最大值为g(ln2)＝2ln2－2.因此，a的取值范围就是函数g(x)的值域，所以a∈(－∞，2ln2－2]．7．已知x∈(0,2)，若关于x的不等式eq\f(x,ex)<eq\f(1,k＋2x－x2)恒成立，则实数k的取值范围是__[0，e－1)__.[解析]依题意，知k＋2x－x2>0，即k>x2－2x对任意x∈(0,2)恒成立，从而k≥0，因此由原不等式，得k<eq\f(ex,x)＋x2－2x恒成立．令f(x)＝eq\f(ex,x)＋x2－2x，则f′(x)＝(x－1)(eq\f(ex,x2)＋2)．令f′(x)＝0，得x＝1.当x∈(1,2)时．f′(x)>0.函数f(x)在(1,2)上单调递增；当x∈(0,1)时，f′(x)<0，函数f(x)在(0,1)上单调递减，所以k<f(x)min＝f(1)＝e－1，故实数k的取值范围是[0，e－1)．四、解答题8．证明：当x∈[0,1]时，eq\f(\r(2),2)x≤sinx≤x.[解析]记F(x)＝sinx－eq\f(\r(2),2)x，则F′(x)＝cosx－eq\f(\r(2),2).当x∈[0，eq\f(π,4))时，F′(x)>0，F(x)单调递增；当x∈(eq\f(π,4)，1]时，F′(x)<0，F(x)单调递减．又F(0)＝0，F(1)>0，所以当x∈[0,1]时，F(x)≥0，即sinx≥eq\f(\r(2),2)x.记H(x)＝sinx－x，则H′(x)＝cosx－1.当x∈[0,1]时，H′(x)≤0，H(x)单调递减．所以H(x)≤H(0)＝0，即sinx≤x.综上，eq\f(\r(2),2)x≤sinx≤x，x∈[0,1]．9．已知函数f(x)＝lnx－eq\f(x,2)＋eq\f(k,x)，f(x)<0在(1，＋∞)上恒成立，求实数k的取值范围．[解析]函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f(x)<0在(1，＋∞)上恒成立等价于k<eq\f(x2,2)－xlnx在(1，＋∞)上恒成立．令g(x)＝eq\f(x2,2)－xlnx，x∈(0，＋∞)，则g′(x)＝x－(lnx＋1)＝x－1－lnx，x∈(0，＋∞)．令h(x)＝x－1－lnx，x∈(0，＋∞)，则h′(x)＝1－eq\f(1,x)＝eq\f(x－1,x)，x∈(0，＋∞)．当0<x<1时，h′(x)<0，函数h(x)在(0,1)上单调递减；当x>1时，h′(x)>0，函数h(x)在(1，＋∞)上单调递增．∴当x>1时，h(x)>h(1)＝0.即当x>1时，g′(x)>g′(1)＝0，∴函数g(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴g(x)>g(1)＝eq\f(1,2)，∴当x>1时，若使k<eq\f(x2,2)－xlnx恒成立，则k≤eq\f(1,2)，即实数k的取值范围是(－∞，eq\f(1,2)]．10．已知函数f(x)＝lnx－a2x2＋ax(a≥1)．(1)证明：函数f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数；(2)当a＝1时，证明：函数f(x)只有一个零点．[证明](1)由题易得函数f(x)＝lnx－a2x2＋ax的定义域为(0，＋∞)，∴f′(x)＝eq\f(1,x)－2a2x＋a＝eq\f(－2a2x2＋ax＋1,x)＝eq\f(－2ax＋1ax－1,x).∵a≥1，x>1，∴2ax＋1>0，ax－1>0，∴f′(x)<0，∴函数f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数．(2)当a＝1时，f(x)＝lnx－x2＋x，其定义域是(0，＋∞)，∴f′(x)＝eq\f(1,x)－2x＋1＝－eq\f(2x2－x－1,x).令f′(x)＝0，即eq\f(2x2－x－1,x)＝0，解得x＝－eq\f(1,2)或x＝1.∵x>0，∴x＝－eq\f(1,2)舍去．当0<x<1时，f′(x)>0；当x>1时，f′(x)<0.∴函数f(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．∴当x＝1时，函数f(x)取得最大值，其值为f(1)＝ln1－12＋1＝0.∴当x≠1时，f(x)<f(1)，即f(x)<0，∴函数f(x)只有一个零点．B组能力提升1．(2020·广西柳州毕业班摸底)已知函数f(x)＝ax＋xlnx在x＝e－2处取得极小值．(1)求实数a的值；(2)当x>1时，求证：f(x)>3(x－1)．[解析](1)因为f(x)＝ax＋xlnx，所以f′(x)＝a＋lnx＋1，因为函数f(x)在x＝e－2处取得极小值，所以f′(e－2)＝0，即a＋lne－2＋1＝0，所以a＝1，所以f′(x)＝lnx＋2，当f′(x)>0时，x>e－2，当f′(x)<0时，0<x<e－2，所以f(x)在(0，e－2)上单调递减，在(e－2，＋∞)上单调递增，所以f(x)在x＝e－2处取得极小值，符合题意．所以a＝1.(2)由(1)知a＝1，所以f(x)＝x＋xlnx.令g(x)＝f(x)－3(x－1)，即g(x)＝xlnx－2x＋3(x>0)．g′(x)＝lnx－1，由g′(x)＝0得x＝e.由g′(x)>0得x>e，由g′(x)<0得0<x<e，所以g(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，所以g(x)在(1，＋∞)上的最小值为g(e)＝3－e>0.于是在(1，＋∞)上，都有g(x)>g(e)>0，所以f(x)>3(x－1)．2．(2020·重庆一中月考)已知函数f(x)＝eq\f(x,lnx)＋2x，x>1.(1)求函数f(x)的极小值；(2)若方程(2x－m)lnx＋x＝0在(1，e]上有两个不等实根，求实数m的取值范围．[解析](1)f(x)＝eq\f(x,lnx)＋2x，x>1，f′(x)＝eq\f(lnx－1＋2lnx2,lnx2)＝eq\f(2lnx－1lnx＋1,lnx2).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′x＝0，,x>1，))得x＝eq\r(e).f(x)与f′(x)在(1，＋∞)上的变化情况如下表：x(1，eq\r(e))eq\r(e)(eq\r(e)，＋∞)f′(x)－0＋f(x)极小值∴f(x)极小值＝f(eq\r(e))＝4eq\r(e).(2)∵x>1，∴lnx>0，由(2x－m)lnx＋x＝0，得2x－m＋eq\f(x,lnx)＝0，即m＝eq\f(x,lnx)＋2x，∴方程(2x－m)lnx＋x＝0在(1，e]上有两个不等实根，即函数f(x)与函数y＝m在(1，e]上的图象有两个不同的交点．由(1)可知，f(x)在(1，eq\r(e))上单调递减，在(eq\r(e)，e]上单调递增且f(eq\r(e))＝4eq\r(e)，f(e)＝3e，当x从右侧趋近于1时，f(x)趋近于＋∞，∴4eq\r(e)<m≤3e，故实数m的取值范围是(4eq\r(e)，3e]．3．设函数f(x)＝lnx－x＋1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x∈(1，＋∞)时，1<eq\f(x－1,lnx)<x；(3)设c>1，证明：当x∈(0,1)时，1＋(c－1)x>cx.[解析](1)由题设，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝eq\f(1,x)－1.令f′(x)＝0，解得x＝1.当0<x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减．(2)证明：证明当x∈(1，＋∞)时，1<eq\f(x－1,lnx)<x，即证明lnx<x－1<xlnx，由(1)知f(x)在x＝1处取得最大值，最大值f(1)＝0，所以当x∈(1，＋∞)时，lnx<x－1.设F(x)＝xlnx－x＋1，x>1，则F′(x)＝1＋lnx－1＝lnx，当x>1时，F′(x)>0，F(x)单调递增，即F(x)>F(1