十二 圆 考点卡片-2021年中考数学二轮复习

考点卡片

1.规律型：图形的变化类

图形的变化类的规律题

首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变

化规律后直接利用规律求解.探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问

题.

2.坐标与图形性质

1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵

坐标有关，到j轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距

离求坐标时，需要加上恰当的符号.

2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，

是解决这类问题的基本方法和规律.

3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去

解决问题.

3.三角形内角和定理

三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角.每个三角形都有三个内角，且每个

内角均大于0°且小于180°.

三角形内角和定理：三角形内角和是180°.

三角形内角和定理的证明

证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平

角.在转化中借助平行线.

三角形内角和定理的应用

主要用在求三角形中角的度数.①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关

系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐

角.

4.三角形的外角性质

三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.

三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对.

三角形的外角性质：

①三角形的外角和为360°.

②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.

③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角.

若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去.

探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的

外角.

5.全等三角形的判定与性质

全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形

全等时，关键是选择恰当的判定条件.

在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线

构造三角形.

6.角平分线的性质

角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段

相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角

平分线的性质语言：如图，在NZO8的平分线上，CEYOB：.CD=CE

7.线段垂直平分线的性质

定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线

垂直平分线，简称“中垂线”.

性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段.—②垂直平分线上任意一点，到线段

两端点的距离相等.一③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并

且这一点到三个顶点的距离相等.

8.等腰三角形的性质

等腰三角形的概念

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.

等腰三角形的性质

①等腰三角形的两腰相等

②等腰三角形的两个底角相等.【简称：等边对等角】

③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.【三线合一】

在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线.以上四个元素中，从中任

意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论.

9.等腰三角形的判定与性质

1,等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相

等、角相等的重要手段.

2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、

底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可

以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析.

3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖

全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解

决.

10.等边三角形的性质

等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三

角形.

①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；

②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况.在等边三角形

中，腰和底、顶角和底角是相对而言的.

等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°.

等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三

边的垂直平分线是对称轴.

11.等边三角形的判定与性质

等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它

的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件.同是等边三角形又是特殊的等腰三角形,

同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用.

等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有

30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等.

等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地,

若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出

发，则想法获取一个60。的角判定.

12.直角三角形斜边上的中线

性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.

定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为

斜边的直角三角形.

该定理可-用来判定直角三角形.

13.勾股定理

勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.

如果直角三角形的两条直角边长分别是b,斜边长为C,那么J+62=C2.

勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.

勾股定理公式/+用=02的变形有：a=yJc2_b2,b=及c=*得.

由于/+/>2=°2>“2,所以c>“，同理即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每

一条直角边.

14.勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长。，b,C满足/+62='2,那么这个三角形就是直

角三角形.

说明：

①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等.

②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形.必须满足

较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断.

运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角.然后进一步结合其他

已知条件来解决问题.

注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的

两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是.

15.三角形中位线定理

三角形中位线定理：

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.

几何语言:

如图，•.•点。、E分别是48、NC的中点

：.DE//BC,DE=、BC.

16.平行四边形的性质

平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

平行四边形的性质：

①边：平行四边形的对边相等.

②角：平行四边形的对角相等.

③对角线：平行四边形的对角线互相平分.

平行线间的距离处处相等.

平行四边形的面积：

①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积.

②同底同高的平行四边形面积相等.

17.菱形的判定与性质

依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形.不管原四边形的形状怎样改变，

中点四边形的形状始终是平行四边形.

菱形的中点四边形是矩形—菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形,

但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的

性质和不同于平行四边形的判定方法.

正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是

正方形.

18.正方形的性质

正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

正方形的性质

①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；

②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；

③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.

④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形,

有四条对称轴.

19.正方形的判定

正方形的判定方法：

①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；

②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角.

③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定.

20.正方形的判定与性质

正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.

正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定.

21.圆的认识

圆的定义

定义①：在一个平面内，线段04绕它固定的一个端点。旋转一周，另一个端点/所形成

的图形叫做圆.固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以。点为圆心的圆，记作

“OO”,读作“圆O”.

定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合.

与圆有关的概念

弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等.

连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简

称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧

叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧.

圆的基本性质：①轴对称性.②中心对称性.

22.垂径定理

垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

垂径定理的推论

推论1:平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.

推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.

23.垂径定理的应用

垂径定理的应用很广泛，常见的有：

得到推论：平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题.

这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想

方法一定要掌握.

24.圆心角、弧、弦的关系

定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所

对应的其余各组量都分别相等.

说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”

是指同为优弧或劣弧.

正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系

三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相

等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等.这源于圆的旋转不变性，即：圆绕

其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合.

在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分.

25.圆周角定理

圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.

注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上.②角的两条边都与圆相交，二者缺一不

可.

圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心

角的一半.

推论：半圆所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.

在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧

一定要掌握.

注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形.利用等腰三角形的顶

点和底角的关系进行转化.②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”——圆心角转

化.③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件,

把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角.

26.圆内接四边形的性质

圆内接四边形的性质：

①圆内接四边形的对角互补.

②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角.

圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定

理结合起来.在应用时要注意是对角，而不是邻角互补.

27.相交弦定理

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等..

几何语言：若弦AB.CD交于点P,则PA・PB=PC・PD____推论：如果弦与直径垂直相交,

那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项.—几何语言：若是直径，

CD垂直AB于点P,则Pd=PA，PB.

28.点与圆的位置关系

点与圆的位置关系有3种.设。。的半径为厂，点P到圆心的距离OP=d,则有：

①点P在圆外

②点P在圆上=d=r

①点P在圆内=d<r

点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系

可以确定该点与圆的位置关系.

符号读作“等价于”，它表示从符号的左端可以得到右端，从右端也可以得

到左端.

29.三角形的外接圆与外心

外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆.

外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.

概念说明：

①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点.

②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角

三角形的外心在三角形的外部.

③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接

圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个.

30.直线与圆的位置关系

直线和圆的三种位置关系：

①相离：一条直线和圆没有公共点.

②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，

唯一的公共点叫切点.

③相交：--条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割

线.

判断直线和圆的位置关系：设OO的半径为广，圆心O到直线/的距离为4

①直线/和00相交

②直线/和相切od=r

③直线/和。。相离八

31.切线的性质

切线的性质

①圆的切线垂直于经过切点的半径.

②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.

③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

切线的性质可总结如下：

如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件

是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直.

切线性质的运用

由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系.简记作:

见切点，连半径，见垂直.

32.切线的判定

切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

在应用判定定理时注意：

①切线必须满足两个条件：a,经过半径的外端；b,垂直于这条半径，否则就不是圆的切

线.

②切线的判定定理实际上是从“圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论

直接得出来的.

③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常

过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段,

证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明

该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”.

33.切线的判定与性质

切线的性质

①圆的切线垂直于经过切点的半径.

②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.

③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

常见的辅助线的：

①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；

②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”.

34.弦切角定理

弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角.

弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.

如右图所示，直线PT切圆0于点C,BC、AC为圆O的弦，则有NPC4=N

T

圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆

的切线长.

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平

分两条切线的夹角.

注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这

条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.

切线长定理包含着一些隐含结论：

①垂直关系三处；

②全等关系三对：

③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到.

36.三角形的内切圆与内心

内切圆的有关概念：

与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，

这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点.

任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形.

三角形内心的性质：

三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个

内角.

37.相切两圆的性质

相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点.

这说明两圆的圆心和切点三点共线，为证明带来了很大方便.

38.相交两圆的性质

相交两圆的性质：

相交两圆的连心线，垂直平分两圆的公共弦.

注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系.

两圆的公切线性质：

两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等.

两个圆如果有两条公切线，则它们的交点一定在连心线上.

39.正多边形和圆

正多边形与圆的关系

把一个圆分成”等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个

圆叫做这个正多边形的外接圆.

正多边形的有关概念

①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心.

②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径.

③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.

④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.

40.弧长的计算

圆周长公式：C=2FR

弧长公式：/=里里

180

①在弧长的计算公式中，〃是表示1°的圆心角的倍数，〃和180都不要带单位.

②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长.

③题设未标明精确度的，可以将弧长用7T表示.

④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的

弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一.

41.扇形面积的计算

圆面积公式：S=w2

扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.

扇形面积计算公式：设圆心角是〃°,圆的半径为R的扇形面积为S,则

S或S扇形=5/R

3602

求阴影面积常用的方法：

①直接用公式法；

②和差法；

③割补法.

求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积.

42.圆锥的计算

连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线.连接顶点与底面圆心的线段

叫圆锥的高.

圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥

的母线长.

圆锥的侧面积：SM——

2

圆锥的全面积：S^=SK+SI®J=TO-2+TO7

圆锥的体积=』X底面积X高

3

注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等.

②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等.

43.圆柱的计算

圆柱的母线等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长.

圆柱的侧面积=底面圆的周长X高

圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积

圆柱的体积=底面积X高.

44.圆的综合题

圆的综合题.

45.旋转的性质

旋转的性质：

①对应点到旋转中心的距离相等.—②对应点与旋转中心所连线段的夹角

等于旋转角.—③旋转前、后的图形全等.—旋转三要素：①旋转中心；②旋

转方向；③旋转角度.—注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样.

46.相似三角形的判定与性质

相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应

角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等.

三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图

形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的

一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作

辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无

论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可.

47.锐角三角函数的定义

在RtZUBC中，ZC=90°.

正弦：我们把锐角力的对边a与斜边c