2025届上海崇明区高考二模高考数学试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页上海市崇明区2025届高三二模数学试卷2025.03一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．不等式的解为．2．已知复数（i为虚数单位），则．3．已知全集，集合，则．4．求直线与直线的夹角为.5．已知，则．6．函数的最小正周期是，则．7．某次数学考试后，随机选取14位学生的成绩，得到如下茎叶图，其中个数部分作为“叶”，百位数和十位数作为“茎”，若该组数据的第25百分位数是87，则x的值为．8．在中，若，其面积为，则．9．若，则.10．已知，若函数有两个极值点，则实数a的取值范围是．11．已知双曲线的左、右焦点为，以O为顶点，为焦点作抛物线交双曲线于P，且，则．12．已知集合M中的任一个元素都是整数，当存在整数且时，称M为“间断整数集”．集合的所有子集中，是“间断整数集”的个数为．二、选择题13．若，，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．14．已知一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为（

）A． B． C． D．15．抛掷一枚质地均匀的硬币n次（其中n为大于等于2的整数），设事件A表示“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，事件B表示“n次中至多有一次正面朝上”，若事件A与事件B是独立的，则n的值为（

）A．5 B．4 C．3 D．216．数列是等差数列，周期数列满足，若集合，n是正整数中恰有三个元素，则数列的周期T的取值不可能是（

）A．4 B．5 C．6 D．7三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）17．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且，，点分别为的中点.

(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离.18．已知．(1)是否存在实数a，使得函数是偶函数？若存在，求实数a的值，若不存在，请说明理由；(2)若且，解关于x的不等式．19．某区2025年3月31日至4月13日的天气预报如图所示．(1)从3月31日至4月13日某天开始，连续统计三天，求这三天中至少有两天是阵雨的概率；(2)根据天气预报，该区4月14日的最低气温是9，温差是指一段时间内最高温度与最低温度之间的差值，例如3月31日的最高温度为17，最低温度为9，当天的温差为8记4月1日至4日这4天温差的方差为，4月11日至14日这4天温差的方差为，若，求4月14日天气预报的最高气温；(3)从3月31日至4月13日中随机抽取两天，用X表示一天温差不高于9的天数，求X的分布列及期望．20．已知抛物线，过点的直线与抛物线交于点、，与轴交于点．

(1)若点位于第一象限，且点到抛物线的焦点的距离等于，求点的坐标；(2)若点坐标为，且点恰为线段的中点，求原点到直线的距离；(3)若抛物线上存在定点使得满足题意的点、都有，求、满足的关系式．21．已知函数，P为坐标平面上一点．若函数的图像上存在与P不同的一点Q，使得直线PQ是函数在点Q处的切线，则称点P具有性质．(1)若，判断点是否具有性质，并说明理由；(2)若，证明：线段上的所有点均具有性质；(3)若，证明：“点具有性质”的充要条件是“”．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．【分析】结合绝对值不等式的解法，以及区间的定义，即可求解．【详解】解：，即，解得，故所求解集为．故答案为：．2．#【分析】由复数的乘法即可求得答案.【详解】故答案为：3．【分析】由集合运算求出，然后得到.【详解】，∴，故答案为：4．【分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角．【详解】解：直线的斜率不存在，倾斜角为，直线的斜率为，倾斜角为，故直线与直线的夹角为，故答案为：．5．【分析】写出坐标，由坐标得到.【详解】，∴.故答案为：6．【分析】由正弦型函数的周期公式可求得的值.【详解】因为函数的最小正周期是，则.故答案为：.7．7【分析】根据题意结合百分位数的概念运算求解.【详解】，则该组数据从小到大排列后的第四位数是87，即，故答案为：7.8．【分析】先根据三角形面积公式求出的值，再结合余弦定理求出的值，进而求出的值.【详解】已知，，代入面积公式可得：则，可得：.根据余弦定理为，可得则.即，把代入可得：，即.由于为边长，可得.故答案为：.9．##【分析】令求解即可.【详解】令，则，即.故答案为：10．【分析】分析分段函数的单调性，由题意得到对应结论，然后建立不等式组，求得实数a的取值范围.【详解】∵二次函数开口向下，是极大值，一次函数，当时，函数时单调函数，没有极值点，要想函数有两个极值点，则这两个极值点为和，又∵函数在上单调递减，∴在上递增.∴，∴.故答案为：11．【分析】由抛物线得定义过点作准线的垂线，可构造直角三角形，由此可得，再在中由余弦定理可得，接着利用双曲线的定义可求，最后利用共焦点求得.【详解】由题意可知，，如图，过点作准线的垂线，垂足为，则，

则，得，在中由余弦定理可得，，即，则由双曲线的定义可得，得，则故答案为：12．968【分析】根据子集中元素的个数分类，每一类都利用组合数计数，再剔除不满足定义的子集，最后根据分类加法计数原理求值即可.【详解】由题意，满足“间断整数集”定义的子集至少有2个元素，至多有9个元素，按子集中元素的个数分类，①当元素个数为2时，不满足定义的子集有：，共9个；此时满足定义的子集有个，②当元素个数为3时，不满足定义的子集有：，共8个；此时满足定义的子集有个，③当元素个数为4时，不满足定义的子集有：，共7个；此时满足定义的子集有个，④当元素个数为5时，不满足定义的子集有：，共6个；此时满足定义的子集有个，⑤当元素个数为6时，不满足定义的子集有：，共5个；此时满足定义的子集有个，⑥当元素个数为7时，不满足定义的子集有：，共4个；此时满足定义的子集有个，⑦当元素个数为8时，不满足定义的子集有：，共3个；此时满足定义的子集有个，⑧当元素个数为9时，不满足定义的子集有：，共2个；此时满足定义的子集有个，综上所述，满足题意的子集共有个.故答案为：968.13．D【分析】利用不等式的基本性质可判断AD选项，利用特殊值法可判断BC选项.【详解】因为，，对于A选项，，A错；对于B选项，不妨取，，，，则，B错；对于C选项，取，则，C错；对于D选项，由题意可知，，由不等式的基本性质可得，D对.故选：D.14．A【分析】先求出母线长和底面圆的半径，再根据圆锥的侧面积公式即可得解.【详解】由题意可知，圆锥的母线长和底面圆的直径均为，所以圆锥的侧面积为.故选：A.15．C【分析】先分别求出事件、事件以及事件发生的概率，再根据事件与事件独立的性质来求解的值.【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币次，所有可能的结果有种.事件表示“次中既有正面朝上又有反面朝上”，其对立事件为“次都是正面朝上或次都是反面朝上”，包含的情况有种，所以.根据对立事件概率之和为，可得.事件表示“次中至多有一次正面朝上”，即“次中没有正面朝上（全是反面朝上）”或“次中有一次正面朝上”.“次中没有正面朝上”的情况有种；“次中有一次正面朝上”，从次中选次为正面朝上，有种情况.所以事件包含的情况共有种，则.事件表示“次中既有正面朝上又有反面朝上且至多有一次正面朝上”，即“次中有一次正面朝上”，有种情况，所以.因为事件与事件是独立的，所以，即.可得：.展开得：.即.当时，，，等式不成立；当时，，，等式成立；当时，，，等式不成立.所以.故选：C.16．D【分析】现根据等差数列的通项公式和周期数列的定义，得到，然后对选项逐一分析即可.【详解】,取，则公差，当，是，此时角度序列为：，取，则对应的余弦值为，此时，三个元素合题意；当，是，此时角度序列为：，取，则对应的余弦值为，又，此时也是三个元素，合题意；当，是，此时角度序列为：，取，则对应的余弦值为，此时也是三个元素，合题意；当，是，此时角度序列为：，由于是质数，角度间隔无法分解为更小的对称单元，余弦值的对称性不足以将个不同角度映射为个不同值，故选：D.17．(1)证明见解析；(2).【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定、性质推理即得.（2）利用等体积法求出点到平面的距离.【详解】（1）由底面为正方形，得，又平面，于是平面，而平面，则，同理，又平面，所以平面.（2）由（1）得，点为的中点，在中，，点为的中点，同理，在中，，因此，在直角中，，由（1）知平面，则平面，于是点到平面的距离为设点到平面的距离为，由，得，解得，所以点到平面的距离为.18．(1)存在实数，使得函数是偶函数(2)答案见解析【分析】（1）根据偶函数的定义可求解.（2）先根据对数函数的单调性和定义域列出不等式组；再结合且，分类讨论即可求解.【详解】（1）存在实数，使得函数是偶函数.要使函数有意义，须满足，即，显然，即，函数的定义域.当时，函数定义域不关于原点对称，此时必然存在且，此时函数不是偶函数.当时，，函数的定义域为，对于任意的，都有，并且因此函数是一个偶函数综上所述，存在实数，使得函数是偶函数（2）由，得所以且①．由①得，.因为且，所以当时，，当时，.综上可得：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.19．(1)(2)18(3)分布列见解析，【分析】（1）根据古典概型概率公式，用事件包含的样本点个数除以总样本点个数来计算概率；（2）根据方差公式列出关于的方程，然后求解；（3）根据随机变量的分布列，利用期望公式计算期望.【详解】（1）设“从3月31日至4月13日某天开始，连续统计三天，这三天中至少有两天是阵雨”为事件A，连续统计三天共有12个样本点，事件A共有4个样本点，所以（2）4月1日至4日这4天温差分别为9、8、9、9，因此，设4月14日的温差为x，则4月11日至14日这4天温差分别为8、9°C、8、x，因此，解得，因此，4月11日这天最高气温是18．（3）从3月31日至4月13日，一天温差不超过9的共有11天，高于9的共有3天X可能取值为0，1，2.，，随机变量X的分布列为：X012P随机变量X的期望.20．(1)(2)(3)【分析】（1）设，利用抛物线的定义可求出点的值，由此可求出点的坐标；（2）设，则，根据点在轴上，可求出的值，可得出点的坐标，可求出直线的方程，再利用点到直线的距离公式可求得结果；（3）分析可知，直线斜率必然存在，设其方程为，设点、、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，根据可得出关于的等式，消去即可得出结果.【详解】（1）设，因为点在抛物线上，所以点到抛物线的焦点的距离等于它到抛物线的准线的距离，所以，则，所以，故点的坐标是.（2）设，则，由题意，所以，所以点的坐标为，则，所以，直线的方程为，即直线的方程为，所以原点到直线的距离为.（3）设，若直线的斜率不存在时，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，所以，直线斜率必然存在，设其方程为，代入中，得，设、，则，，因为，且，所以，显然，，则，所以故，即．由题意，得，因此.21．(1)点具有性质，理由见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）设，然后写出经过的切线方程，将代入求解，即可判断；（2）设，然后写出经过的切线方程，按是否在分类讨论，代入切线方程，得到关于的方程，证明其有解即可；（3）设，然后写出经过的切线方程，然后按照充分必要性的推出关系，分别证明即可.【详解】（1）点具有性质，理由如下：设，因为，所以曲线在点Q处的切线方程为：，将点坐标代入，得：，所以或2即函数的图像上存在与P不同的一点，使得直线PQ是函数图像在点Q处的切线，故点具有性质；（2）证明：设函数的图像在Q处的切线方程为：①当时，点P在函数的图像上，将代入①式，得：②令，则所以关于q的方程②必有实数解，且故函数的图像上存在与P不同的一点Q，使得直线PQ是函数图像在点Q处的切线，即点具有性质；当时，点P不在函数的图