小学数学6年级培优奥数讲义 第01讲-定义新运算（含解析）

第01讲定义新运算

K风学习目标♦*

?学会理解新定义的内容；

?理解新定义内容的基础上能够解决用新定义给出的题目;

?学会自己总结解题技巧。

K知识梳理

1'I知识概念

1、定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式。

注意：(1)解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺

序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。

(2)我们还要知道，这是一种人为的运算形式。它是使用特殊的运算符号，如：*、

▲、★、◎、8、△、♦、■等来表示的一种运算。

(3)新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有转化前，是不适合

于各种运算定律的。

2、一般的解题步骤是：

?一是认真审题，深刻理解新定义的内容；

?二是排除干扰，按新定义关系去掉新运算符号；

?三是化新为旧，转化成已有知识做旧运算。

拿典例分析j

例T7、对于任意数a,b,定义运算“*“：a*b=axb-a-bo求12*4的值。

例2、假设a*b=(a+b)+b。求8*5。

例3、如果a©b=aXb-(a+b)。求6©(9©2)。

例4、如果1△3=1+11+111；2A5=2+22+222+2222+22222；8A2=8+88o求6A5。

例5、如果规定③2=1X2X3,03=2X3X4,04=3X4X5,

计算(袅焉/静

例6、规定aAb=5a+』ab-3b。求(8A5)AX=264中的未知数。

2

实战演练

>课堂狙击

1、A,B表示两个数，定义AAB表示(A+B)+2,求⑴17)△29；(2)[(1A9)△9]△6。

2、A,B表示两个数，定义A*B=2XA-B。试求:

(1)(85*69)*5(2)(119.8-29.8)*(13.65+12.35)

3、已知a,b是任意自然数，我们规定：2啰6=a+b-l,a®0=“6-2,那么4<8>[(6㊉8)㊉(3®5)]=?

4、表示("+%)+2,(2008*2010)*2009=

5、己知2*3=2+22+222=246,3*4=3+33+333+3333=3702.求:(1)3*3；(2)4*5；(3)若l*x=123,

求X.

6、已知5a3=5X6X7,3A6=3X4X5X6X7X8,按此规定计算:

(1)(4A3)+(6A2)(2)(3A2)X(4A3)

7、设A㊉B=2X(A+B)-2X(A+B),

计算:(1)(12㊉4)㊉13；(2)70㊉(18㊉4)。

8、规定aOb=(a+b)+(a-b),按此规定计算:

(1)21015(2)(1809)02

9、小辉用电脑设计了A,B,C,D四种装置，将一个数输入一种装置后，会输出另一个数.

装置A:将输入的数加上5；装置B:将输入的数除以2；装置C:将输入的数减去4；装置D:将

输入的数乘3.这些装置可以连接，如果装置A后面连接装置B,就写成A・B,输入1后，经

过A・B输出了3.那么，输入9,经过A•B•C•D输出几？

＞课堂反击

1、定义新运算为aab=(a+l)+b,求的值。6A(3A4)O

2、P、。表示数，P*Q表示"求3*(6*8)

3、如果“&。=4+。+10,那么2&5=O

4、如果aOb表示3〃一2乩例如405=3x4-2x5=2,那么，当x©5比5©x大5时,x=。

5、对于任意的两个自然数。和匕，规定新运算*:a*6=a(a+l)(a+2)…(a+6-l),其中a、b表

示自然数.如果("3)*2=3660,那么x等于几?

6、对于非零自然数a和b,规定符号®的含义是：a(8b=叱土心(m是一个确定的整数)。如

2xtzxZ?

果1区4=2回3,那么3®4等于o

7、对于数a、b、c、d,规定，<a、b、c、J>=2ab-c+d,已知<1、3、5、x>=7,求x的

值。

8、规定:6派2=6+66=72

2X3=2+22+222=246,

■4=1+11+111+1111=1234,7次5=?

9、规定。△b=«x(a+2)—(6i+1)—,计算：(2A1)H1-(11△10)=o

直击赛场

1、规定运算。是b的倍数时，a©b=a^b+l；力是。的倍数时，a©b=b^a+\-,

a不是〃的倍数时，人也不是。的倍数时，a©b=13,根据上面的规定，计算

14©266©26©296©286=。

2、定义新运算：a©b=5a+mb,其中a,b是任意两个不同的数，机为常数，如2◎7=5义2

+mx7,(1)已知2@3=19,则3◎5=,5©3=,(2)当时加=,该运算

满足交换律。

3、定义新运算※，使它的运算规则是：=x+y,按此规则计算：4X2.5=,

2.5X4=o

4、对于数a和力，规定☆运算如下：a^b=Aa+3b,请比较：

5.1☆IS2.3☆5.1o(填“>”、"V”或“=”)

、名师点拨

警&

新定义运算注意的问题：

⑴新定义运算一般不满足运算定律

如:azM>WbZ\aaA(bAc)W(aZSb)Ac

(a*b)Ac#:(aAc)*(bAc)

(2)“X”仍然是通常的运算符号，完全符合四则运算顺序.

旗学霸经验

本节课我学到了

我需要努力的地方是

第01讲定义新运算

教学目标

?学会理解新定义的内容;

?理解新定义内容的基础上能够解决用新定义给出的题目;

?学会自己总结解题技巧。

吸知识梳理

知识概念

1、定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式。

注意：（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算

顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。

⑵我们还要知道，这是一种人为的运算形式。它是使用特殊的运算符号，如：*、

▲、★、◎、《）、△、♦、■等来表示的一种运算。

⑶新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有转化前，是不适合

于各种运算定律的。

2、一般的解题步骤是:

?一是认真审题，深刻理解新定义的内容;

?二是排除干扰，按新定义关系去掉新运算符号;

?三是化新为旧，转化成已有知识做旧运算。

典例分析

例1、对于任意数a,b,定义运算“*”：a*b=axb-a-b。求12*4的值。

【解析】根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。

12*4=12X4-12-4=48-12-4=32

例2、假设a*b=（a+b）+b。求8*5。

【解析】该题的新运算被定义为：a★b等于两数之和除以后一个数的商。这里要先算括号里

面的和，再算后面的商。这里a代表数字8,b代表数字5。

8★5=(8+5)4-5=2.6

例3、如果a©b=aXb-(a+b)。求6©(9©2)。

【解析】根据定义，要先算括号里面的。这里的符号就是一种新的运算符号。

6©(9©2)

=6O[9X2-(9+2)]

=607

=6X7-(6+7)

=42-13

=29

例4、如果1△3=1+11+111；2A5=2+22+222+2222+22222；8A2=8+88□求645。

【解析】仔细观察发现“△”前面的数字是加数每个数位上的数字，而加数分别是一位数，二

位数，三位数，……“△”后面的数字是几，就有几个加数。因此可以按照这个规

律进行解答。

6A5=6+66+666+6666+66666=74070

例5、如果规定82=1义2*3,03=2X3X4,04=3X4X5,....

计算(二——L)X空。

020303

【解析】该题看上去比较复杂，但仔细观察，我们可以发现，该题被定义为区X=(X-l)xXx(X+l)。

由于把数代入算式中计算比较麻烦，我们可以先化简算式后，再计算。

11、82

(z---------)x----

020303

—__1_x_0__2_____1_x_0__2_

®2030303

—__1____1_x_(_8_)2

030303

1八1x2x3、

x(1)

2x3x4----2x3x4

1x(l-f

2x3x4

13

--------------X—

2x3x44

32

例6、规定aAb=5a+'ab-3b。求(8A5)AX=264中的未知数。

2

【解析】根据新定义，应该先计算括号里面的，再计算括号外面的，然后解方程即可。

(8A5)AX=264

(5x8+1x8x5-3x5)AX=264

45AX=264

5X45+-X45XX-3X=264

2

225+竺X-%=264

22

225+—X=264

2

生X=39

2

X=2

实战演练

＞课堂狙击

1、A,B表示两个数,定乂AAB表示(A+B)+2,

求(l)(3a17)△29；

(2)[(1A9)△9]△6o

【解析】定义新运算符号“△”表示AAB=(A+B)+2,即两个数做“△”运算就是求这两个数的平

均值。如：3A17=(3+17)+2=10,再用10与29做运算,10A29=(10+29)+2=19.5

⑴原式=[(3+17)+2]△29(2)原式={[(1+9)+2]△9}A6

=[204-2]△29=[5A9]△6

=10A29=[(5+9)+2]△6

=(10+29)+2=7A6

=39+2=(7+6)+2

=19.5=6.5

2、A,B表示两个数，定义A*B=2XA-B。试求：

(1)(8.5X6.9)*5(2)(119.8-29.8)*(13.65+12.35)

【解析】定义新运算符号“*”表示A*B=2XA-B,即前面数的两倍与后面数之差；所以

(1)原式=2X(8.5X6.9)-5(2)原式=90*26

=17X6.9-5=2X90-26

=180-26

=117.3-5

=154

=112.3

3、已知a,b是任意自然数，我们规定：a©b=a+b-l,a<8)〃="6-2,那么4到(6㊉8)㊉(385)]=?

【解析】原式=4位[(6+8-1)㊉(3x5-2)]=40[13㊉13]=40[13+13-1]=4025=4x25—2=98。

4、表示(M+N)+2,(2008*2010)*2009=

[解析】原式=[(2008+2010)+2]*2009=2009*2009=(2009+2009)4-2=2009。

5、已知2*3=2+22+222=246,3*4=3+33+333+3333=3702.

求:(1)3*3；(2)4*5；(3)若l*x=123,求x.

【解析】观察两个已知等式可以发现，“*”定义的是连加运算，第一个加数是“*”前边的数,

且后一个加数都比前一个加数多一位，但数字相同，而“*”后边的数恰好是加

数的个数。

(1)3*3=3+33+333=369

⑵4*5=4+44+444+4444+44444=49380

(3)提示：因为1*x=l+U+lll+…=123

所以倒着算：123-1=122122-11=111111-111=0

即：1+11+111=1*3=123

从而可知x=3

6、已知5Z\3=5X6X7,3A6=3X4X5X6X7X8,按此规定计算：

(1)(4A3)+(6A2)(2)(3A2)X(4A3)

【解析】观察两个已知等式可以发现，定义为由前面的数开始称后面数一次加1,相乘

个数为之后的数字。

(1)原式=4X5X6+6X7=120+42=162

(2)原式=(3X4)X(4X5X6)

=12X120

=1440

7、设A㊉B=2X(A+B)-2X(A+B),

计算:(1)(12㊉4)㊉13；(2)70©(18©4)o

【解析】观察已知等式可知：“㊉”定义表示的是两个数和的2倍与商的2倍的差。如：12

㊉4=2义(12+4)-2X(124-4)=26

(1)原式=[2>(12+4)-2>(12+4)]©13

=[2X16-2X3]©13

=26©13

=2X(26+13)-2X(264-13)

=2X39-2X2

=78-4

=74

(2)原式=70®[2X(18+4)-2X(184-4)]

=70©[2X22-2X4.5]

=70©35

=2X(70+35)-2X(704-35)

=206

8、规定a(Db=(a+b)+(a-b),按此规定计算:

(1)21015(2)(1809)02

【解析】观察已知等式可以发现，定义为两数之和与两数只差的商，即aG)b=(a+b)+

(a-b)；所以有

⑴原式=(21+15).(21-15)⑵原式={(18+9)+(18-9)}。2

=36+6=302

=(3+2)4-(3-2)

=6=5

9、小辉用电脑设计了A,B,C,D四种装置，将一个数输入一种装置后，会输出另一个数.

装置A:将输入的数加上5；装置B:将输入的数除以2；装置C:将输入的数减去4；装置D:将

输入的数乘3.这些装置可以连

接，如果装置A后面连接装置B,就写成A・B,输入1后，经过A・B输出了3.那么，输入

9,经过A•B•C•D输出几？

【解析】A•B•C•D=[(9+5)4-2-4]X3=9

所以输出的是9

＞课堂反击

1、定义新运算为az\b=(a+l)+b,求的值。6A(3A4)o

【解析】所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。

由aAb=(a+l)+b得，3A4=(3+1)4-4=44-4=1；6A(3A4)=6A1=(6+1)^-1=7□

2、P、Q表示数，P*Q表示2辿，求3*(6*8)

2

【解析】3*(6*8)=3*(^^)=3*7=^^=5。

22

3、如果4&b=4+/?+10,那么2&5=□

【解析】2&5=2+5+10=2.5。

4、如果aOb表示3a-2Z?,例如405=3x4-2x5=2,那么，当xO5比5Ox大5时,x=。

【解析】根据题意xG)5—5G)x=(3x—2x5)—(3x5—2x)=5x—25,由5x—25=5,解得x=6.

5、对于任意的两个自然数a和6,规定新运算*:a*b=a(a+l)(a+2)…(a+3-l),其中a、b表

示自然数.如果(x*3)*2=3660,那么x等于几?

【解析】方法一：由题中所给定义可知，b为多少，则就有多少个乘数。3660=60x61,即：

60*2=3660,则x*3=60;60=3x4x5,即3*3=60,所以x=3。

方法二：可以先将(x*3)看作一■个整体y,那么就是y*2=3660,y*2=+1)=3660=60x6h

所以y=60,那么也就有x*3=60,60=3x4x5,即3*3=60,所以x=3。

6、对于非零自然数a和b,规定符号®的含义是：a③b=4ii(m是一个确定的整数)。如

2xaxb

果1®4=2(8)3,那么3(2)4等于o

【解•析】根据1保4=2保3,倚至--------------，角牛出m=6。所以，304=----------——°

2x1x42x2x32x3x412

7、对于数。、b、c、d,规定，＜a、b、c、d＞=2ab—c+d,已知＜1、3、5、x＞=7,求x的

值。

【解析】根据新定义的算式，列出关于x的等式，解出x即可。将1、3、5、x代入新定义的

运算得：2x1x3—5+x=l+x,又根据已知<1、3、5、x>=7,故l+x=7,x=6。

8、规定:6派2=6+66=72

2X3=2+22+222=246,

1X4=1+11+111+1111=1234,7派5=?

【解析】佟5=7+77+777+7777+77777=86415。

9、规定aAb=ax(a+2)—(a+1)—/?,计算：(2A1)H--1-(11△10)=。

【解析】这个题目直接套用定义给的公式非常麻烦，需要套用10次，然后再求和。但是我们

注意到要求的10项值有一个共同的特点就是在要我们求得这个式子中b=a-l,所以，我们

不妨把b=a-1代入原定义.

az\b=ax(a+2)-(a+l)-6就变成了a4b=ax(a+2)-(a+l)-(a-l)=/,所以241=2?,3A2

=32,……，3A2=112,则原式=22+32+42+...+1产=112今生_1=505。

6

直击赛场

1、规定运算。是A的倍数时，a©b=a^h+1；力是。的倍数时，a©h=b^a+\-,

。不是。的倍数时，。也不是。的倍数时，a©b=