小学奥数-寒假四年级（寒假共7讲）- 第2讲 格点与割补

格点与割补

知识GPS

＞本讲内容

正方形、三角形格点多边形面积

割补法的应用

＞前铺知识

三角形进阶——四年级暑假

一半模型——四年级秋季

＞后续知识

平移、旋转与对称——四年级春季

图形的分割与剪拼——四年级春季

模块1正方形格点

四年级寒假第2讲格点与割补（C版）

多边形：由同一平面且不在同一直线上的三条或三条以上.的线毯首尾顺次连结且不相交所组成的

封闭图形叫做多边形.

格点多边形:在一张由水平线和竖直线组成的方格纸上，我们把水平线和竖直线的交点称为“格点”,

若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为“格点多边形”.

格点多边形的面积通常有三种求法：

一是分割法，将图形分割成若干个可求面积的小图形；

二是排除法，即用整体面积减去空白部分的面积；

三是公式法，利用毕克定理直接求解.

正方形格点多边形面积公式（毕克定理）：

若格点小正方形的面积为1,一个格点多边形内部有N个格点，边界上有L个格点，则它的面积为

S=N+L^2-1.

铺垫（只放课件供老师选用，学生版无）：

边长为1的小正方形组成的网格中，有如下几个图形，判断下列哪些图形是格点多边形，并求出格点多

边形的面积.

【答案】E,面积为6

【分析】格点多边形需要注意：（1）所有顶点都要在格点上；（2）各边均为直线段.A、B、C均不是格点多

边形：D不是多边形，所以更不可能是格点多边形；E包含3个“整格”与6个''半格"，所以面积为

3+0.5x6=6.

【分析】分割法：将复杂不规则图形分割成基本图形后再求面积.

小鱼：分割成三个三角形后可知面积为1.5+1.5+1=4:

小树：分割成一个长方形和五个三角形后可知面积为6+l+Q5x4=9;

小猫：分割成一个长方形和两个平行四边形后可知面积为6+3x2=12.

四年级寒假笫2讲格点与割补（C版）

注：分割方法不唯一，但每个分割后的小图形都必须是格点多边形.

【答案】48平方厘米：36平方厘米

【分析】左图：4+2x4=12,12x4=48平方厘米；右图：3x4+2+3x2+2=9,9x4=36平方厘米

图中水平、竖直方向相邻两个格点的距离均为1,请求出下面三角形的面积.

【答案】8:11

【分析】方法一：分割法

左：4x2+2+4x2+2=8;右：2x2+2+2x3+2+3x4+2=11;

方法三：毕克定理：左：7+4+2—1=8;右：10+4+2-1=11.

图中水平、竖直方向相邻两个格点的距离均为1,请求出下面三个图形的总面积.

【答案】21

【分析】左上三角形面积：4+4+2—1=5;右上三角形面积：2+6+2—1=4（此处还可用分割法）；长方形

面积：2x6=12.所以总面积为5+4+12=21.

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图中每个小正方形的边长是3厘米.阴影部分的面积是多少平方厘米？

【答案】126平方厘米

【分析】方法一：整体减空白：（36-3x4-10）x9=126平方厘米；

方法二：毕克定理，外圈减内圈；（21+8+2-1）x9-（5+12+2-1）x9=（24-10）x9=126平方厘米（不能

直接用毕克定理求解）.

模块2三角形格点

.知识剖析

正三角形网格中，小正三角形的顶点为“格点”，以格点为顶点的多边形称为“格点多边形”.

三角形格点多边形面积公式（毕克定理）：

若格点小正三角形的面积为1,一个格点多边形内部有N个格点，边界上有乙个格点，则它的面积

为S=（N+L+2-l）x2.

铺垫（拓展练习3）

计算下面图形的面积（每相邻三个点”•”或是面积为1的等边三角形）.

四年级寒假笫2讲格点与割补（C版）

【答案】从左到右依次是：2；2；2；4；4；2

图中相邻三点所形成的等边三角形的面积均为1,请分别计算下列图形的面积.

【答案】24:12

【分析】左图：5+7+7+5=24:

右图：方法一分割法：如下图分割为两个三南形，较小的三角形可通过平行四边形的一半求出，面积

为6+2=3,较大的三角形面积为1+3+5=9,所以总面积为3+9=12.

方法二毕克定理：图形内部有3个点，边上有8个点，面积为(3+8+2-l)x2=12.

图中相邻三点所形成的等边三角形的面积为1,计算图中三角形的面积.

【答案】10

【分析】方法一整体减空白：大正三角形面积减去周围三个三角形的面积:

大正三角形面积：1+3+5+7+9=5x5=25,25-3-4-8=10:

方法二分割法：如图分割成4个小三角形的面积，总面积为3+2+4+1=10:

方法三毕克定理：

内部有4个点，边上有4个点，所以三角形面积=(4+4+2-l)x2=10.

图中相邻三点所形成的等边三角形的面积为1,试求松树的面积.

【答案】32

【分析】内部有8个点，边上有18个点，所以松树面积为(8+18+2-1)x2=32.

【答案】19、19

【分析】方;去一分割法：左：4x1+3x1+3x3+3x1=19;右：3x2+3x1+2x2+2x3=19;

方法二毕克定理：左：2x(8+5+2-l)=19;右：2x(7+7+2—1)=19.

模块3综合应用

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已知正六边形面积为100,A、B、C、。、E、F分别为所在边中点，求阴影六角星的面积.

四年级寒假笫2讲格点与割补(C版)

AA

BB

C\\//EC\7\7\7E

DD

【答案】50

【分析】如图，将正六边形分割成正三角形格点的形式，易知正六边形共含24个小正三角形，阴影六角星

共含12个小正三角形，故阴影六角星面积为正六边形的一半，即100+2=50.

拓展7：

如图，正六边形ABC。所的面积为240,那么阴影部分的面积是.

【答案】60

【分析】把图形进行分割可得，S=240复24(2?3)60

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如图，三角形ABC和。EF是两个完全相同的等腰直角三角形，其中。E长9厘米，CE长3厘米，那么

阴影部分的面积是平方厘米.

【答案】27平方厘米

【分析】DE=EF=AB=BC=3CE,可将图形进行如图的分割，S阴=3x3+2x6=27c病

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如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形A的面积是36平方厘米，求正方形

B的面积.

【答案】32平方厘米

【分析】根据A的面积为36平方厘米，推知总面积为36x2=72平方厘米；对8的分割如下:

总面积为9格，B的面积为4格，可见8的面积为72+9x4=32平方厘米.

拓展10：

两个正方形如图放置，图中的每个三角形都是等腰直角三角形；若其中较小正方形的边长为12厘米，那

么较大正方形的面积是_________平方厘米.

【答案】162平方厘米

【分析】对原图分割，较大的正方形的面积为12x12+16x18=162平方厘米.

知识点睛

1.格点多边形：（1）用有顶点都要在格点上；（2）各边均为直线段.

2.格点多边形面积的求法：

（1）分割法：分割线段的两个端点应为格点，以保证分割后的小图形面积可求;

（2）排除法：“整体减空白”是高年级几何中的常用方法；

（3）毕克定理：三角形格点多边形面积公式=正方形格点多边形面积公式x2.

拓展练习

I.☆☆图中相邻格点围成的最小正方形的面积均为1.这两个多边形的面积分别是多少？

四年级寒假笫2讲格点与割补（C版）

【答案】7.5;6.5

【分析】左：4+9+2—1=75；右：3+9+2—1=6.5

2.☆☆图中每个小正方形的面积都是4平方厘米，请求出下面多边形的面积.

【答案】60平方厘米

【分析】分割法：(6+8+l)x4=60平方厘米

3.☆计算下面图形的面积(每相邻三个点“•••”或是面积为1的等边三角形).

【答案】从左到右依次是：2；2；2；4；4；2

4.☆☆求下列格点多边形的面积(每相邻三个点工•'域是面积为1的等边三角形).

【答案】18

【分析】方法一分割法：4?17+2?12?21=18

方法二毕克定理：2x(7+6+2-l)=18

5.☆☆把大正三角形每边六等分，组成如下图所示的三角形网.如果每个小三角形的面积都是1,求图中阴

影的面积.

【答案】18

【分析】三个阴影部分形状相同，大小相等，求出一块即可，(4+44-2)x3=18.

6.☆☆☆等边三角形ABC中，AD=DE=BE,AC=6CH,BC=6BF=3CG,三角形ABC的面积为36,求

阴影部分的面积.

【答案】22

【分析】易知尸、”点分别为6等分点，可将三角形ABC等分36份,

(1)分割法：5=1x2+3x4+4x2=22

(2)整体减空白：5=36-2x5-1x2-1x2=22

(3)毕克定理：S=2x(8+8+2-l)=22

7.☆☆☆如图，正六边形48C0EF的面积为240,那么阴影部分的面积是.

【答案】60

【分析】把图形进行分割可得，5=240+24x(2x3)=60.

8.☆☆☆已知大的正六边形面积是60平方厘米，按图中方式切割(切割点均为等分点)，形成的阴影部分

面积是多少平方厘米？

四年级寒假笫2讲格点与割补(C版)

【答案】45

【分析】如下图进行分割，阴影部分的面积为S=60复2418=45平方厘米.

9.☆☆☆如图是一组总面积为80cm2的七巧板,用它构成右图阴影部分的形状，这个形状内接于如图所示

的长方形.请问这个长方形的面积为多少？

【答案】150平方厘米.

【分析】80+8x15=150平方厘米.

10.☆☆☆两个正方形如图放置，图中的每个三角形都是等腰直角三角形；若其中较小正方形的边长为12厘

米，那么较大正方形的面积是平方厘米.

【答案】162平方厘米

【分析】对原图分割，较大的正方形的面积为12x12+16x18=162平方厘米.

本讲巩固

1.图中水平、竖直方向相邻两个格点的距离都是1,请你求出图中“8”、“0”、“9”的面积各是多少.

【答案】16;14;14.5

2.已知相邻两个格点距离为1,请求出下面的机器人头部覆盖的面积（不含眼睛和嘴巴）.

【答案】54

【分析】两个耳朵分别为2x2-lx2-lxl+2=1.5,头发占的面积为23,脸部占的面积是32,眼睛和嘴巴

占的面积是4,1.5x2+23+32-4=54

3.如图为边长为1的小正方形组成的网格，请计算图中三角形的面积.

【答案】24-8-3-3=10

4.求下面格点多边形的面积（每相邻三个点或是面积为1的等边三角形）.

【答案】10

【分析】方法一整体减空白：5=5x4-5x2=10:

方法二分割法：5=2x1+2x2+2x2=10:

方法三毕克定理：S=2x（3+6+2-l）=10.

5.图中相邻三点所形成的等边三角形的面积为1,求五边形的面积.

四年级寒假笫2讲格点与割补（C版）

【答案】35

【分析】图形内部有13个点，边上有11个点，由三角形毕克定理，面积为（13+11+2—1）x2=35.

6.已知正六边形面积为6平方厘米，A、B、C分别为所在边中点，求阴影三角形的面积.

【答案】2.25平方厘米

【分析】将正六边形分成六个面积为1平方厘米的正三角形，再取它们各边的中点将每个正三角形分为4个

小正三角形.于是正六边形被分成了24个小正三角形，每一个小正三角形的面积是6+24=0.25（平方厘

米），三角形ABC由9个小正三角形所组成，所以三角形