泛函分析2018第四章 Hilbert空间

PAGE1Hilbert空间§4.1内积空间的定义及其性质4.1.1XK上的线性空间，如果有泛函(,XXK满足如下内积公理：xX，有(xx)0，(xx)0x0，xyX，有(x,y)(y,x)，其中yx表示yx的共轭，（3）1,2,yX，有(x1x2,y)(x1,y)(x2,y)，（4）x,yX,K,有(x,y)(x,y)，则称(x,yxyXK为实数域ℝ（或复数域X为实.由定义不难看出，内积运算关于第一变元是线性的.X为实内积空间，内积关于第二个变元也是线性的.Xxy1y2X12K,有1(x,y1)2(x,y2).X为复内积空间.4.1.1（Schwarz不等式）XxyX，不等式|(x,y)|2(x,x)(y,y)恒成立PAGE3证如果y0，则不等式显然成立.y0，则对任意K，有0(xy,xy)(x,x)(x,y)(x,y)(y,y)，特别取(x,y)，代入上式，得|x,y|2xxy,y.(y,y)(x,x)定理4.1.2设X为内积空间，对任意xX，令||x|| ，则||x||是(x,x)(x,x)证对于||x|| 验证它满足次可加性.对任意x,yX(x,x)||xy||2(xy,xy)(x,x)(x,y)(y,x)(y,y)||x||22||x||||y||||y||2(||x||||y||)2，(x,x)故||xy||||x||||y||.从而||x|| 确实定义了内积空间(x,x)(x,x)注我们通常称||x|| (x,x)XX为Hilbert空间.Hilbert空间的例子.n4.1Kn表示（实或复）n维向量空间，定义内积n(x,y)ii，x1,2,,n)，y12,n)，i1Kn在此内积下成为一个内积空间.由于该内积导出的范数就是我们以前给出的Kn还是Hilbert空间.例4.2l2空间.x,,,,,y,,,,l2，定义内积1 2 n 1 2 n(x,y)ii，i1由赫尔德不等式知l2l2是内积空间.由于该内积导出的范数就是我们以前给出的l2范数，故l2Hilbert空间.PAGE54.3L2[a,b空间.f(xg(xL2[a,b]，定义内积b(f,g)abL2[a,bHilbert空间.4.1.3X为内积空间，则有

f(x)g(x)dx，内积(,XXK是连续泛函；（2x,yX，当X(x,y)1(||xy||2||xy||2i||xiy||2i||xiy||2)4X为实内积空间时，等式(x,y)1(||xy||2||xy||2)4

(4.1.1)(4.1.2)恒成立.（3）x,yX，等式||xy||2||xy||22||x||22||y||2

(4.1.3)恒成立.证（1）xxn,y,ynXn12,)满足limxnxlimyny，则由Schwarz不n n等式，我们有|(xn,yn)(x,y)||(xn,yn)(x,yn)||(x,yn)(x,y)||(xnx,yn)||(x,yny)|||xnx||||yn||||x||||yny||0(n)，故(x,yxy连续.X为复内积空间时，由内积和范数的定义，有||xy||2||xy||22(x,y)2(y,x)2[(x,y)(x,y)]4Re(x,y)，i||xiy||2i||xiy||22i[(x,iy)(iy,x)]2i[i(x,y)i(x,y)]4Im(x,y)i，等式(4.1.2)成立.PAGE7xyX，由内积和范数的定义，有||xy||2||xy||22||x||2(x,y)(y,x)(x,y)(y,x)2||y||22||x||22||y||2.注中线公式又称为平行四边形公式，这是因为在平面ℝ2中，该公式揭示了平行四边.事实上，可以证明中线公式是XxyX，中线公式（4.1.3）X中定义内积(x,y如等式(4.1.1)X成为内积空X的范数是由此内积导出的范数.也就是说，一个赋范线性空间是由内积空间导出的充分必要条件是其范数要满足中线公式.导出.p1p2时，取lp0,)p则||x||||y||21p，且||xy||||xy||2，显然lpp2的范数不满足中线公式，从而lpp2不是内积空间.§4.2Hilbert空间的正交系§4.2.1正交投影4.2.1Xx,yX(x,y)0xyxy；xXMXxMxMxM；设MXNXxMyNxyMNMN；MXM{xX|xM为M的正交补.零向量0Xx正交；MX0MMM0M

MM{0}；PAGE9（3）xyX正交，则勾股公式||xy||2||x||2||y||2成立；MXxMx0；MXMX的闭子空间.证（1））.）（5.n （4设M是XxM{x}Mimxxn n利用内积的连续性，我们得到(x,x)(limxn,x)lim(xn,x)0，x0.

n

n（5）yyMK，由于有1 2 1 2(x1y12y21(xy12(xy20，MX的线性子空间.设点列{yM，且满足limyy，由正交补的定义及内积的连续性，对任意nxM，有

nn(x,y)(x,limyn)lim(x,yn)0，n nyMM为闭集.MX的闭子空间.4.2.2MX的一个线性子空间，xXyMzM，x有正交分解

xyz，yxM上的正交投影，简称为投影.（1）xX的某个空间M上不一定存在投影.但当投影存在时，由正交的性质（2）易见，投影是惟一的.（2）xyzx的正交分解.4.2.3MX的一个非空子集，xX，我们称inf(xyx到集yMM(xM.yM(x,y)(xMyx在MPAGE11中最佳逼近元.MXx,yM[0,1]，都有(1)xyM，MX的凸集.如果凸集M又是闭集，则称M是闭凸集.4.2.1MHilbertXxX，在M中必存在惟一的最佳逼近元.n 证令d(xM(xM的定义知，存在{yM，使得lim||yx||dn nM是凸集，故对任意nm，有ynym2M，从而必有||xynym||d.2||yy||22||yx||22||yx||24||xynym||2n m n m 2n yx||22||yx||24d20(n,m)n n 这表明{yXCauchyXyX，使得limyyn nM是闭集且{ynMyM，且||xy||||xlimyn||lim||xyn||d，n nyxM中的最佳逼近元.zMxM中的最佳逼近元，则由中线公式，有2 2

yz20||yz||2||yx||2||zx||

||x

||0，2zy.xM中的最佳逼近元是惟一的.4.2.2（投影定理）MXxX，在MyyxM中的最佳逼近元.PAGE134.2.1xM中有惟一的最佳逼近yM.MzMK，有||xy||2||xyz||2||xy||2(xyz(zxy)||2||z||2，z0xyz||z||2，代入上述不等式，得|xyz|20，由此得(xyz)0xyM，从而xyxy)yMxyM，xMy4.2.2的注得证.XHilbertMX上投影定理成立，这时，我们可XXMMXX的正交分解，因此，投影定理有时也称为正交分解定理..例4.4Xx1x2,xnXnxX，存在1,2,,nK，使得n ||xixi||inf||xixi||. （n i1

1in

i1x1x2,xn线性相关，则我们取其极大无关组来讨论.x1x2,xn是线性无关的.Mspan{x1x2,xn}MXnK的完MX的完备子空间.因此，由投影定理知，对任意xX，必存在惟一的nyiiM，使得|xyf|xz|（42..ni1

zMnn下面我们讨论求解最佳逼近元y的方法.设yii是x在M中的投影，由于i1PAGE15n xkMk12,nn (xy,k)(xii,k)(x,k)i(i,k)0，k,,,n，i1 i1y的存在惟一性知，上述线性方程组有惟一解(1,2,,n.4.2.3MHilbertXM中必有非零向量，且有M(M).MXxXMyMzM，使得xyzz必不为0xyMxXMM中必有非零向量..X的闭子空间因XM和(MX的完备子空间.x(M，由投影定理知，存在yMzMxyz，由此得0(x,z)(y,z)(z,z)(z,z)，z0xyMMM.MM.§4.2.2正交系定义4.2.4MXM中任意两个不同向MXM中每个向量的范数都为1M为标准正交系.4.5nEuclidKn中，标准基是一个标准正交系.4.6在内积空间l2中，en(0,,0,1,0,)，n1,2,，PAGE17是其一个标准正交系，其中enn个分量为1，其余分量均为0的向量.nn1nn1

XxX，称(x,en)nn1x关于{e}nn1(x,en)enn1nn1x关于{e}nn1 注一般情况下，Fourier级数(xen)en不一定收敛，即使(xen)en收敛，也不n1 n1x.如果x(x,en)en，n1nn1x可以展成关于{e}nn1nn1x展成关于{nn1

Fourier级数的充分必要条件是nn||x(x,ek)ek||0(n).nn1nn1

X一个标准正交系，记Xnspan{e1,e2,,en}，n1,2,，nxXxXn上的投影为nyn(x,ei)ei.i1证对任意给定的n，由于ynXnx可写成xynxynn n xyXn n (xyn,ek)(x(x,ei)ei,ek)(x,ek)(x,ei)(ei,ek)0，k1,2,,n，i1 i1PAGE19Xspan{ee,e}xyX.n 12 n n nnn14.2.5（Bessel不等式设{e}Xxnn1Bessel不等式||(x,e)|||x||2 2ii1恒成立.nn证由定理4.2.4ynxynyn(xei)ein12,.由勾股定理i1得||y

||2||xy

nn nn n i i ||2||(x,e)e||2|(x,e)|2,nn n i i n，可得Bessel不等式.

i1

i1注由Besselx在每个en上的投影(xen)enx的范数平方.nn1nn1

是HilbertXxX，x的Fourier级数(xen)enX中收敛.nn1nxXy

n(x,ei)eii1

nn12,，由于级数|xe|收敛，故nn1对任意自然数nm(mn，有||yy

nn m n m i i i i ||2||(x,e)e(x,e)e||2|(x,e)|2n m i i i i i1

i1

in1n 从而{yX的一个Cauchy列.XyX满足limyyn n n(x,ei)eilim(x,ei)eilimynyX.i1

ni1

n注在推论4.2.6yx.PAGE2112例4.7L2[,12

，1cost，1sint，，cosnt，1sinnt，是一个标准正交系.xL2[,Fourier系数为12a012

x(t)dt,1an1

,bn

1x(t)sinntdt,n1,2,14.2.6知，三角函数级数2a0 12

(acosntb

sinnt)L2[,].n nn1{e{e设nn1

XxXBessel不等式可知，Fourier系数构成点列(cc,c,l2，其中cxen12,.定义1 2 n n n映射T:Xl2，Tx(c,c,,c,)，xX，1 2 n则不难验证TX到l2的线性映射.nn1nn1

HilbertX的一个标准正交系，则对任意(c,c,,c,)l2，1 2 nxX，使得cnxenn12,，且满足|cn

|2||x||2.n1n

cen,,|

|2nm(mn，n iii1

nn1有||yy

nn m n m ii iii||2||cece||2|c|20(n m ii iiii1

i1

in1PAGE23n 从而{yXCauchy列.XxX满足limyxn n有)lim(yn,ek)ck，k1,2,，n n以及n ||x||2||limy

||2lim||y

||2lim|c|2|c|2.nn

n

n

ii1

ii1yX，也满足c

(y,e)，n1,2,，

|c

，则由n

n nn||2n

nn1lim||yy

||2lim||yce||2lim(||y||2|c|2)0yx.

n

n n

iin in

n

ii1nn1nn1

Xx0时，才有(x,en)0，n1,2,，nn1则称{e}nn1nn1定理）{nn1

HilbertX的一个标准正交系，则下列各命题等价.nn1（1）{nn1

是完全的；xX，Parseval等式||||x|||(x,e)|2 2ii1恒成立；xX，有x(x,en)en；n1xyX，有PAGE25

(x,y) (x,en)(y,en).n1nn1xnn1cn(x,en)，n1,2,，4.2.7(cc,c,l2yX，使得1 2 nc(y,e)，n1,2,，|c

y||2，n n nn1由此得(xye0n12,.由于{e}xy，从而有n nn1||||x||||y|||(x,e)|.2 2 2ii1n（3）设命题（2）xX，令nyn(x,ei)ei，n1,2,，i1则有||xy

nn nn i i ||2||x(x,e)e||2||x||2|(x,e)|20(nn i i i1 i1故命题（3）成立.（4）设命题（3）xyX，由于n nxlim(x,ei)ei，ylim(y,ej)ej，n1,2,，ni1 nj1故由内积的连续性知，n (x,y)(lim(x,ei)ei,lim(y,ej)ejn ni1 nj1 n n lim( (x,ei)ei, (y,ej)ej)lim (x,ei) (y,ej)(ei,ej)n

i1

ni1

n lim(x,ei)(y,ei)(x,ei)(y,ei)，ni1

i1（4）成立.PAGE27（1）设命题（4）xX，使得(x,en)0，n1,2,，yX，有 (x,y) (x,en)(y,en)0，n1xXx0，从而命题（1）成立.nn1nn1

HilbertXParsevalX的某nn1M{nn1

是完全的.证令

X0X的闭线性子空间.xMnnnn1||x|||(x,e)|，2 2ii14.2.8的证明可知， i xlim (x,e)e，ni1xX0MX0.X0是闭集，MXXcl(MX0X，XX0.X0xXX0，有 i xlim (x,e)e，ni1nn1nn1

是完全的.nn1X中已知的线性无关点列{xnn1也可以实施GramSchmidt标准正交化过程，从而获得一个标准正交系.其具体过程为：span{e1}=span{x1}；span{e1}x2X1上的投影为(x2e1)e1，取,e1)e1，PAGE29.0span{e1,e2}=span{x1,x2}；（3记X21,2}.2.43在X2上的投影为(3,11(3,22，记(x3,e1)e1(x3,e2)e2，y3eii12.x3e1e2y30，令e3y3||y3||，易知x2,x3}；⁝（n）Xn1span{e1e2,en1}4.2.4xnXn1上的投影为n1(x,ei)ei，i1记n1ynxn (x,ei)ei，i1由投影定理知，则yneii12,n1.又因为xne1,en1线性无关，所以enyn/||yn|，易知span{e1,e2,,en}=span{x1,x2,,xn}；⁝nn1上述程序无限进行下去，我们就得到一个标准正交系{enn11 dn 2 n例4.8Pn(t2nndtn[(t1)]称为n阶勒让德（Legendre）多项式，可以证明

e(t) 2n1P(t)，n1,2,n 2 nL2[1,1]的一个完全的标准正交系.它是通过对线性无关的函数列{xn(t实PAGE31nSchmidtx(t)tnn12,.n4.2.10X是Hilbert空间，我们有如下命题.XX必有至多可列的完全的标准正交系；XX的每个完全的标准正交系都是可列集.（1）X存在至多可列个向量{xk}Xcl(span{xk，不妨设{xk为线性无关向量的集合.利用GramSchmidt{ek}，使得span{xkspan{ek}.Xcl(span{ek.而在span{ekParseval等式显然成立，4.2.9知，标准正交系{ek}是完全的.（2）XM，则对任意eiejMeiej，都有||eiej

2，记Si{xX|||xei||

11}，Sj{xX|||xej||}，12 2SiSj.X中存在可列稠密子集{xk}xiSixjSj，且xixj，M的势不大于{xk的势，这表明M必为可列集.4.2.7X,YTXYx,yX，总有(Tx,Ty)(x,y)，X与Y是酉同构的.4.2.11任意可分的HilbertX都是与ℝn（n）或l2是酉同构的..下面我们证明无限维的情形.nn1X{nn1

.定义映射T:Xl2，Tx(c,c,,c,)，xX，1 2 n其中PAGE33cn(x,en)，n1,2,，前面已经说明TX到l24.2.7T是满射.xyX4.2.8知， x(x,n)nann，y(y,n)nnn，n1

n1

n1

n1故Txa1a2,an,Tyb1,b2,,bn,4.2.8，我们有 (Tx,Ty) anbn (x,en)(y,en)(x,y)，n1 n1yx时，有||Tx||||x||，即T是等距映射，从而是单射.X与l2是酉同构的.§4.3Hilbert空间的有界线性算子§4.3.1自共轭空间与共轭算子使得f(x)(x,y)xX都成立，且有||f||||y||.证存在性.f0X*y0X即可.f0，令M{xX|f(x)0}f的零空间.fMXf0MX的真子空间.zMf(z)0.xXf(x

f(x)z0xf(z)

f(x)zM，故f(z)PAGE35(x

f(x)f(z)

z,z)0，由此得f(x)

f(z)z||2

(x,z)(x,

f(z)z||2

z).

f(z)zf(x)(x,yxX都成立.惟一性.yXfx)(x,y')xX，则有(x,yy')0对任意xXyy.保范性.y0时，显然有||0||X*0||0||X.y0xy，则有||f||sup|f(x)||f(y)|(y,y)||y||，x0 ||x|| ||y|| ||y||Schwarz不等式，有|f(x||x,y|||y||||x||xX，故||f||||y||，于是，我们得||f||||y||.注43.1Hbet空间X示出来.事实上，其逆命题也成立.yX，定义泛函fy:XK，fy(x)(x,y)，xX，fy:XK4.3.1||fy||||y||.

T:XX*，Tyfy，yX，从前面的讨论可知，TXX*是双射，且||Ty||||fy||||y||.对任意y1y2X，12K，有PAGE37即映射TXX*是可加且共轭齐次的，我们称这样的映射T为复共轭线性映射，由于T是一个等距映射，故称映射TXX*上的复共轭等距映射.XX*（等距已经保证了单射XX*是XX*XX*，称为自共轭空间.定义4.3.1XY是两个内积空间，TXY是一个有界线性算子，又设T*:YX是有界线性算子.xXyY，都有(Tx,y)(x,T*y，则称T*是T的共轭算子或伴随算子.4.3.1所陈述的共轭4.3.1，分别有

.4.9设n和mEuclid空间，对于有界线性算子1 mTnmTxAxxn，Aaijmn复矩阵，我们来考察其共轭算子T1 mx(1,2

,,n

)n，y(,,

m，则有m n n m iji j ijj (Tx,y)(Ax,y)(a)(a)(x,ATy)(iji j ijj j1

i1

i1

由此看到，共轭算子T*xATxATA的共轭转置矩阵.Xn维（实或复）e1e2,en是其一个标准正交基，Ym维（实或复）f1,f2,,fm是其一个标准正交基.设TXY是一个线性算子，从而T一定有界.令PAGE39mmTejaijfi，j1,2,,n，ni1nxjejX，有n n nn n n m m xT(jej)jejj(jfi)(jj)fi，j1

j1

j1

i1

i1

j1mmyifiY，有i1 m n (Tx,y) ( ( aiji)j ( aiji)j，i1

i1

i1由此得n mT*y ( )ej.i1T:XY由一个mnA(aijT的共轭算子T*:YXAT决定.定理43.2设X是HbetYT:XY，必存在惟一的共轭算子T*:YX.yYXfy(x)TxyxX.Schwarz不等式知y||||x||，xX，fyX*，且||||y||.RieszzXfyxz，即有(Tx,y)(x,z).于是，我们得到了算子

T*:YX，T*yz，PAGE41xXyY，有(Tx,y)(x,T*y).下面证明T*:YX是有界线性算子.y1y2Y及复数12，由于1(x,T*y1)2(x,T*y2)(x,1T*y12T*y2)，故即T*是线性算子.再由T*yY，有故||T*||||T||，即T*为有界线性算子.而T*的惟一性易见.b例4.10XL2[a,bK(tsDab][ab上平方可积函数，则由K(tsL2[a,b上的有界线性算子TL2[a,bL2[a,b如下：bTxt)aKt,s)x(s)s，

xL2[a,b]，TFredholm型积分算子.下面求T的共轭算子.xyL2[a,b]Fubini定理，我们有b (x,T*y)Tx,y)ayt[aKt,s)x(s)sb ax(s)aKt,s)ytsax(s)aKt,s)yt)s，bb b b 故有T*y)(s)aKt,s)yt)t，即T*是以Kt,s)为核的edhombb b b 置共轭矩阵的性质.定理4.3.3XZ是HilbertY是内积空间TSLX,YRL(ZX，，则下列命题成立：（1）(T)*T*；PAGE43（2）(TS)*T*S*；（3）(T*)*T；（4）||T||2||T*||2||T*T||||TT*||；（5）(TR)*R*T*；（6）T*存在有界线性逆算子的充分必要条件是T存在有界线性逆算子，且有(T*)1(T1)*；（7）(T*){|(T)}.证（1）xX,yY，有(xT*y)(x,Ty)(Txy)Txy)x,(T)*y)，故(T)*T*.xX,yY，有(x,(TS)*y)((TS)x,y)(Tx,y)(Sx,y)(x,T*y)(x,S*y)(x,T*yS*y)(x,(T*S*)y)，故有(TS)*T*S*.xX,yY，由于(Tx,y)(x,T*y，故有y,Tx)(T*yx)y,(T*)*x)，xy(T*)*T.（4）4.3.2的证明知||T*||||T||，因此也有||T||||T*)*||||T*||，于是||T||||T*||.xX,由于||T*Tx||||T*||||Tx||||T*||||T||||x||，故有||T*T||||T*||||T||||T||2.PAGE45另一方面，我们有||T||2sup||Tx||2sup(Tx,Tx)sup(x,T*Tx)sup||x||||T*Tx||||T*T||，||x||1 ||x||1 ||x||1 ||x||1故||T*T||||T||2，利用性质（3）可得||TT*||||T||2.由假设知TRL(Z,Y)zZ,yY，由于(z,(TR)*y)(TRz,y)(Rz,T*y)(z,R*T*y)，z,y(TR)*R*T*.分.设T存有线性算子T1则T1 I

X X 可得，

X X Y T*(T1)*(I)*I，(T1)*T*(I)*X X Y (T1)*是T*的逆算子，即(T*)1T1)*.必要性.设T*存在有界线性逆算子，则由T(T*)*T存在有界线性逆算子，且有(T*)1T1)*.由性质（6）IT存在有界线性逆算子当且仅当(IT)*IT*存在有界线性逆算子，即(T当且仅当(T*(T(T*分别是(T和(T*的补集，故有(T*)|(T)}..4.3.2XHilbertTLXX.如果T*T，则称T为自共轭算子或自伴算子.4.3.4XHilbertT,T1,T2L(XX，则下列命题成立：X是复空间时，T为自共轭算子的充分必要条件是：对任意xX，(Tx,x)是实数.PAGE47若T1,T2均为自共轭算子，则对任意，T1T2也是自共轭算子.若.证（1）充分性.xX(Txx是实数，则有(Tx,x)(x,Tx)(x,Tx)(T*x,x),故((TT*)xx)0xX.STT*x,yX，有(S(xy),xy)(Sx,x)(Sy,x)(Sx,y)(Sy,y)0，(S(xiy),xiy)(Sx,x)i(Sy,x)i(Sx,y)(Sy,y)0，注意到(Sxx)(Sy,y)0(Sx,y)0x,yXS0，从而T*T.必要性.设T*T，则(Tx,x)(x,Tx)(x,T*x)(Tx,x)，这表明(Txx是实数.设T1,T2均为自共轭算子，则对任意xX，内积T2)x,x)(T1x,x)(T2x,x)即是自共轭算子，则有4.3.5XHilbert空间，TLXX是自共轭算子，则T的零空间ker(T是T的值域TX的正交补，即ker(TTX).xker(TyX，有(x,Ty)(Tx,y)(0,y)0，PAGE49这表明ker(T)与TX)正交，故ker(T)T(X).xTX)，则对任意yX，有(Tx,y)(x,Ty)0，yXTx0xker(T，从而TX)ker(T.综上，得ker(T)T(X).4.3.6X是HilbertT,TnLXXn12,，且{Tn是自共轭算子列.xX，都有TnxTx(n，则T是自共轭算子.xyX，由定理的条件及内积的连续性，我们有(Tx,y)(limTnx,y)lim(Tnx,y)lim(x,Tny)(x,limTny)(x,Ty)，n故T是自共轭算子.

n

n

n4.3.7XHilbert空间，如果TLXX是自共轭算子，则T的每个谱点都是实数.证设Ti(0，下面证明(T.SIT，由于||Sx||||IT)x||||x||||Tx||||||T||||x||，SLXX.xX，有(Sx,x)(xTx,x)(x,x)(Tx,x)(x,x)(Tx,x)i(x,x)，（4.3.1）

|x||x|(,x)(,),2[(,]2/2|||x|2（4.32）x0时，有||Sx||||||x||S是单射.n设{ynSXlimyny，则存在{xnXynSxnn12,.n(4.3.2)知，

||ynym||||||xnxm||PAGE51对任意nm成立，因此，{xnX中的Cauchy列.XxX，使得nlimxx.S的连续性，有nnnSx，nnySX.SXX的闭子空间.yXyuvuSXvSX)，故由等式(4.3.1)有0(Svv)(vvTvvi(vv，这意味着v0yuSXSXX.SLXXXBanachS1L(XX，从而(T.4.3.8XHilbertTLXX是自共轭算子，令minf(Tx,x)，Msup(Tx,x)，||x||1

||x||1则有如下结论：（1）||T||max{|m|,|M|}；（2）(T)mM且mM(T).证（1）对于||x||1，有|(Tx,x)|||Tx||||T||.Kmax{|m|,|M|K||T||.另一方面，任取0，利用T的自共轭性，我们有||Tx||21[(T(x1Tx),x1Tx)(T(x1Tx),x1Tx)]4 1K(||x1Tx||2||x1Tx||2)1K(2||x||21

||Tx||2)，4 2 2x0，特别取2||Tx||，则有||x||PAGE53||Tx||2K||Tx||||x||，故||T||K，因此||T||K.（2）当mxX，有((IT)x,x)(x,x)(Tx,x)(x,x)(m)，完全仿定理4.3.7的证明，可得(T.M时，亦可得(T.于是(T)[m,M].

inf((mIT)x,x)inf[m(Tx,x)]msup(Tx,x)mM,||x||1 ||x||1 ||x||1sup((mIT)x,x)sup[m(Tx,x)]minf(Tx,x)0,||x||1 ||x||1

||x||1我们得到||mIT||Mm.X的单位球上取点列{xn}，使得((mIT)xn,xn)mM(n)，||xn||1，n1,2,.由于n n n n ||(MIT)x||2(MxTx,n n n n ((Mm)xn(mIT)xn,(Mm)xn(mIT)xn)n n (Mm)22(Mm)((mIT)x,x)||(mIT)n n n 2(Mm)22(Mm)((mIT)x,x)0(n)n MIT不存在有界线性逆算子，若不然，则有1||x||||(MIT)1(MIT)x||||(MIT)1||||(MIT)x||0(n)，n n nM(T).同理可证m(T.4.3.9XHilbert空间，如果TLXX是紧自共轭算子，则T有特征值.证不妨设T0且||T|||M|，M4.3.8M0.X的单位球上取点列{xn}，使得(Txn,xn)M||T||(n).PAGE55k因T是紧算子，故{Txn有收敛子列.设Txny(k，则有knTxnkMxnkn

nkn

nnk knn

)M2nn2M22M(Tx,xnnk k

)0(k)，n由此得TyMy.由于||x||1k12,y0M是T的特征值.nkxuv,uMvM.我们称算子P:XM，Pxu，xXPM.PxxxMPx0xM.且由uv，有勾股定理||x||2(uv,uv)||u||2||v||2.4.3.10M是HilbertX的一个非空闭子空间，则P是有界线性算子.P是自共轭算子.（3）M0||P||1.（4）P2PP是幂等算子.证（1）对任意12Kx1x2X，有

M，v1,v2

M.MM都是线性子空间，故有PxPxM，vv

M，1 1 2 2 11 22且满足

因此，

P是线性算子.xX，由PAGE57知||Px||||x||P是有界算子，且||P||1.（2）xyX，有xPxv，yPyv，Px,PyM，v,v

M.1 2 1 2由此得

(Px,y)(Px,Pyv2)(Px,Py)(Pxv1,Py)(x,Py)，P*PP是自共轭算子.综上||P||1.

||P||sup||Px||||Px0||||x0||1.||x||1（4）由投影算子的定义易见.4.3.11X是Hilbert空间，

PLXXP是投影算子的充分必要条件为P是幂等的自共轭算子.4.3.9立刻得到.下面证明充分性.MPX)PMX的子空间.任给{ynM满足nlimyny0xnXynPxnn12,Pnn n n n yPxP2xP(Px)Py，nn n n n Py0Py0M.这表明MX的闭子空间.xyX，由定理的充分条件，我们得(xPx,Py)(P(xPx),y)(PxPx,y)0，xPxMxPxPxxPxxPx.因此，PX到M的投影算子.PAGE594.3.12X是复HilbertPLXX是投影算子的充分必要条件是等式||Px||2(Px,x)xX都成立.证必要性.PxX，有||Px||2(Px,Px)(P2x,x)(Px,x)..||Px||2Pxx4.3.4（1）P是自共轭算子.因此，

(Px,x)(Px,Px)(P2x,x)xX成立，即((PP2xx0xX成立.PP2是自共轭算子，4.3.8||PP2||0P2P..设1:XM1,2:XM2P12M1M2PXM1M2的投影算子.设1:XM1,2:XM2P121221，此时P是由X到M1M2..4.3.4XHilbertTLXX是自共轭算子.xX，都有(Tx,x)0，则称T为正算子，记为T0.T1,T2是两个自共轭算子，如果T1T20，则记T1T2.PAGE61X上的任何有界线性算子TTT*和T*T都是正算子，这是因为对任意xX，都有(T*Tx,x)(Tx,Tx)0，(TT*x,x)(T*x,T*x)0.如果TS是两个非负实数，则TS也是正算子.（3）如果T1T2S1S2是两个非负实数，则T1S1T2S2.如果T是正算子，则Tkk12,.这是因为：k2mxX，有(TkxxT2mxx(Tmx,Tmx)0；k2m1xX，有(Tkxx)T2m1xx)T(Tmx),Tmx0.P是正算子.xX，有(Px,x)(P2x,x)(Px,Px)0.如果T是正算子，则广义Schwarz不等式|(Tx,y)|2(Tx,x)(Ty,y)xyX都成立.证设T是正算子，则对任意KxyX，有0(T(xy),xy)(Tx,x)(Ty,x)(Tx,y)||2(Ty,y)，如果(Ty,y)0，则取(Txy，并代入上述不等式，可得广义Schwarz不等式.如(Ty,y)果(Ty,y)04.3.15Ty0，从而广义Schwarz不等式仍成立.4.3.13XHilbert空间，{TnLXX为自共轭算子列，如果TnTn1，n12,M0，满足sup||Tn||M，则存在自共轭算子T，使得{Tn强收nn敛于TxX，有limTxTx.nn证由定理的条件知，对任意自然数nm(mn，有(Tmx,x)(Tnx,x)((TmTn)x,x)0，且PAGE63n (Tx,x)||Tx||||x||M||x||2，n1,2,n 故{(Tnxx.由正算子的广义Schwarzx,yX及自然数nm(mn，有|((TT)x,y)|2((TT)x,x)((TT)y,y)M||y||2((TT)x,x)，m n m n m n m n由此得

||TxTx||2sup|((T

T)x,y)|2M((T

T)x,x)，m n m n m n||y||1nT:XX，TxlimTx，xX，nn易见T是线性算子，且

n故有TLXX.再内积的连续性，有(Tx,y)(limTnx,y)lim(Tnx,y)lim(y,Tnx)(y,limTnx)(y,Tx)，n这表明T是自共轭算子.

n

n

n的结论对单调递减算子且有下界的算子列也成立.4.3.4XHilbert空间，TLXXSLXX，使得TS2S是T的正平方根算子，记为T1/2.4.3.14X是Hilbert空间，TLXX是正算子，则必存在惟一的正平方根算S.证因正算子满足0(Txx)||T||xx，设T0，则有0(

T x,x)(x,x).||T||因此，我们不妨设0TI.如果TS，则由TS2得到恒等式2(IS)IT(IS)2. (4.3.3)BIT0，利用等式(4.3.3)构造迭代格式PAGE65A0,A1(BA2

)，n1,2,. (4.3.4)0 n 2

n1下面用数学归纳法证明{An是单调递增的正算子列，且||An||1n12,.1且||A||1||IT||1(1||T||)1，

1 2 2nkAk1AkAkAk1B的非负系数多项式，且nk1时，有||A ||1||BA2||1(||B||||A

||2)1，2 k 2 k且A A1(BA2)1(BA2

1(A2A2

)1(AA

)(AA )，1 k 2 k 2

k

2 k

k 这样，我们得到了是单调递增的正算子列{An，且||An||1n12,.故由定理4.3.13A，使得{AnA，显然||A||1.xX，当n时，有||An(Ax)A(Ax)||0，||A(AnxAx)||||(AnxAx)||0，故xX，有

lim||(AAAA)x||0.n n ||A2xA2x||||(AA)(AA)x||||(AAAA)x||n n n n n2||(AnA)x||||(AnAAAn)x||0(n)，PAGE67n故{A2A2.xX，在nAx1(BxA2x)两边取极限，得

n 2 n1

Ax1(BxA2x)，2A1(BA2)，2SIABITS2TxX，有(Sx,x)(x,x)(Ax,x)(1||A||)(x,x)0，这样我们就证明了正平方根算子的存在性.T可交换的算子都S可交换.下面证惟一性.R，使得TR2R与TRS可交换.xXySR)x，则有0(Sy,y)(Ry,y)((TSR)x,y)((TSR)x,y)0，由此知(Sy,y)(Ry,y)0.S是正算子，故存在正算子USU2，于是0SyyU2yy||Uy||2，即Uy0Sy0.Ry0.因此，我们有||y||2SR)x,y)x,(SRy)0，y0xXRS.推论4.3.15X是HilbertTLXXyX，使得(Ty,y0，则Ty0.证由于TS，使得TS2.因此0Tyy)S2yy)SySy)，Sy0，从而TyS2yS(Sy0.PAGE69推论4.316设X是Hbet1,2L(X,X)212也是正算子.证由于T,TSS，使得TS2TS2.由于T,T可交换，1 2 1 2 1 1 2 2 1 2S1S2xX，有12 12 2112 12 12(TTxxS2S2xxSSSSxxSS12 12 2112 12 12Hilbert空间上的一类等距同构算子——酉算子.定义4.3.5X是HilbertT:XX是线性算子.如果T为满射且对任意xX，有||Tx||||x||，则称T是酉算子.4.3.17XHilbertTXX是线性算子，则T为酉算子的充分必要条件是

T*TTT*I.证必要性.设TxyX，由极化恒等式，得(Tx,Ty)xy，故(T*Tx,y)(x,y)，x,yX的任意性知T*TI.又因T是双射，由逆算子定理知T1存在，故T*T1，从而TT*I.充分性.由TT*I知T是满射.而由(x,x)(T*Tx,x)(Tx,Tx)知||Tx||||x||.我们还可以证明：（1）X0时，酉算子T的范数||T||1.（2）设{Tn是一个酉算子列，如果{Tn一致收敛于T，则T也是酉算子.