五年级数学上册 第17讲 计算综合一（教师版）

第17讲计算综合一内容概述了解等比数列的基本概念，学会利用错位相减的方法进行求和；灵活使用各种方法简化较复杂的分散算式；具有一定综合性的“定义新运算”问题；较复杂的数列与数表问题．典型问题兴趣篇计算答案：511解析：设S=1+2+4+8+16+32+64+128+256则2S=2+4+8+16+32+64+128+256+512那么S=2S-S=512-1=511答案：1eq\f(255,256)解析：设S=则eq\f(1,2)S=eq\f(1,2)+eq\f(1,4)+eq\f(1,8)+eq\f(1,16)+eq\f(1,32)+eq\f(1,64)+eq\f(1,128)+eq\f(1,256)+eq\f(1,512)eq\f(1,2)S=S-eq\f(1,2)S=1-eq\f(1,512)=eq\f(511,512)所以S=2×eq\f(511,512)=1eq\f(255,256)2．计算答案：1092解析：设S=3+32+33+34+35+36则3S=32+33+34+35+36+372S=3S-S=37-3=2184所以S=2184÷2=10923．计算答案：eq\f(285,287)解析：分子化简为1995×（1+10001+100010001）分母化简为2009×（1+10001+100010001）分子分母同时约去1+10001+100010001原式=eq\f(1995,2009)=eq\f(285,287)4．计算答案：126解析：原式=（40+1eq\f(1,3)）×eq\f(3,4)+（50+2eq\f(1,2)）×eq\f(4,5)+（60+3eq\f(3,5)）×eq\f(5,6)=40×eq\f(3,4)+eq\f(4,3)×eq\f(3,4)+50×eq\f(4,5)+eq\f(5,2)×eq\f(4,5)+60×eq\f(5,6)+eq\f(18,5)×eq\f(5,6)=30+1+40+2+50+3=1265．计算答案：1703eq\f(3,4)解析：原式=（1+100）×100÷2-（3+99）×33÷2×2+（eq\f(1,2)+eq\f(1,3)-eq\f(1,4)）×33+eq\f(1,2)=5050-3366+19eq\f(1,4)+eq\f(1,2)=1703eq\f(3,4)6．规定新运算“*”为：a*b=3×a–2×b.（1）计算：（2）已知，求x（1）答案：1eq\f(3,10)解析：原式=eq\f(4,3)*(3×eq\f(5,4)-2×eq\f(6,5))=eq\f(4,3)*(eq\f(15,4)-eq\f(12,5))=eq\f(4,3)*eq\f(27,20)=3×eq\f(4,3)-2×eq\f(27,20)=1eq\f(3,10)（2）答案：1eq\f(3,10)解析：eq\f(4,3)*(x×eq\f(5,4))=eq\f(6,5)所以3×eq\f(4,3)-2×(x×eq\f(5,4))=eq\f(6,5)所以x*eq\f(5,4)=（3×eq\f(4,3)-eq\f(6,5)）÷2=eq\f(7,5)所以3×x-2×eq\f(5,4)=eq\f(7,5)所以x=（eq\f(7,5)+2×eq\f(5,4)）÷3=1eq\f(3,10)7．图17-1中除了每行两端的数之外，其余每个数都是与它相连的上一行的两个数的平均数，例如：2.75是2.5和3的平均数，请问：第100行中的各数之和是多少？答案：204解析：各行的和构成一个等差数列：6，8，10，12，14……第100个数为6+（100-1）×2=204，即第100行个数之和为2048．有这样一列数，前两个数分别是0和1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和：0，l，l，2，3，5，8，13，21，34，…，请问：这个数列的第1000个数除以8所得的余数是多少？答案：2解析：这一列数除以8的余数分别为：0、1、1、2、3、5、0、5、5、2、7、1、0、1、1、2、3、5、0、5、5、2、7、1……，每12个循环一次，1000÷12=83……4，所以这个数列的第1000个数除以8所得的余数是2。9．观察下面的数阵：根据前五行数所表达的规律，求：(1)eq\f(33,67)这个数在由上至下的第几行？在这一行中，它是由左向右的第几个？(2)第28行第19个数是什么？（1）答案：第99行，第67个解析：通过观察，每一行的分数，它的分子与分母的和与所在行数的差是1。例如：第1行的分数，分数的分子与分母的和为2；第2行的分数，每个分数的分子与分母的和为3；第3行的分数，每个分数的分子与分母的和为4；……所以，eq\f(33,67)应该在第33+67-1=99行，第99行的所有分数的分子从99开始倒序，分子33所在的位置应该是第99-33+1=67个。（2）答案：eq\f(10,19)解析：第28行的分数的分子从左到右是从28开始倒序的，第19个数的分子是28-19+1=10，在利用分子与分母的和等于行数加一，求得分母应该是28+1-10=19，所以第28行第19个分数是eq\f(10,19)。10．观察数列求(1)数列中第150项；(2)数列中前300项的和．（1）答案：eq\f(6,13)解析：分子和分母都是有规律的，把这些分数按分母大小分组如下:(eq\f(1,1)),(eq\f(1,2),eq\f(2,2),eq\f(1,2)),(eq\f(1,3),eq\f(2,3),eq\f(3,3),eq\f(2,3),eq\f(1,3)),(eq\f(1,4),eq\f(2,4),eq\f(3,4),eq\f(4,4),eq\f(3,4),eq\f(2,4),eq\f(1,4))……第一组1项，第二组3项，第三组5项，……要求第150项是多少，就得知道第150项是第几组第几个数。由于1+3+5+……+21+23=122=144，所以150是在有25个数的那一组中的第150-144=6个数。而第13组有25个数，所以第150项是第13组第6个数，是eq\f(6,13)。（2）答案：156eq\f(2,3)解析：先确定第300项在哪一组：1+3+5+……+31+33=172=289,300-289=11，所以第300项是第18组的第11个数，即eq\f(11,18)。所以前300项的和为：1+2+3+4+……+16+17+eq\f(1,18)+eq\f(2,18)+……+eq\f(11,18)=156eq\f(2,3)拓展篇1．如图17-2，有一个边长为81厘米的等边三角形，将它每条边都三等分，以中间那一份为边向外作等边三角形，得到图17-3.由图17-3通过同样方法又得到图17-4.如果再由图17-4通过同样方法得到一个新的图形，试问：这个新的图形的周长是多少？答案：576厘米解析：通过观察可知，每个图形的周长比上一个图形周长增加了原来的eq\f(1,3)，即是上一个图形周长的eq\f(4,3)倍，所以第四幅图形的周长应为：81×3×eq\f(4,3)×eq\f(4,3)×eq\f(4,3)=576（厘米）计算：答案：255解析：设S=1+2+22+23+24+25+26+27则2S=2+22+23+24+25+26+27+28那么S=2S-S=28-1=255答案：1eq\f(1093,2187)解析：设S=1+eq\f(1,3)+eq\f(1,32)+eq\f(1,33)+eq\f(1,34)+eq\f(1,35)+eq\f(1,36)+eq\f(1,37)则eq\f(1,3)S=eq\f(1,3)+eq\f(1,32)+eq\f(1,33)+eq\f(1,34)+eq\f(1,35)+eq\f(1,36)+eq\f(1,37)+eq\f(1,38)那么eq\f(2,3)S=1-eq\f(1,38)=eq\f(6560,6561)，S=eq\f(6560,6561)÷eq\f(2,3)=1eq\f(1093,2187)3．某工厂生产一种新型的乒乓球，第一天生产出了若干个，接下来每天的产量恰好是前一天的1.5倍，且每天都生产整数个乒乓球，请问：第一周的总产量至少是多少？答案：2059个解析：设第一天生产a个乒乓球，那么第二天生产eq\f(3,2)a个，第三天生产eq\f(32,22)a个,……第七天生产eq\f(36,26)a个，a代表的个数至少和26相等，才能保证每天生产的乒乓球个数为整数。那么每天的生产量分别为：26=64个、64×eq\f(3,2)=96个、96×eq\f(3,2)=144个、144×eq\f(3,2)=216个、216×eq\f(3,2)=324个、324×eq\f(3,2)=486个、486×eq\f(3,2)=729个，总数为2059个。4．计算：答案：eq\f(1,4)解析：原式=eq\f(1×2×3+1×2×3×2×2×2+……+1×2×3×100×100×100,2×3×4+2×3×4×2×2×2+……+2×3×4×100×100×100)=eq\f(1×2×3×(1+2×2×2+……+100×100×100),2×3×4×(1+2×2×2+……+100×100×100))=eq\f(1,4)5．计算：答案：eq\f(79,87)解析：通过提取公因数，原式=eq\f(79,8)÷（eq\f(79,8)+eq\f(1999×1998+1,1998×1999+1)）=eq\f(79,8)÷（eq\f(79,8)+1）=eq\f(79,8)×eq\f(87,8)=eq\f(79,87)6．对于任意的两个自然数a和b，规定新运算“”为：求x的值。答案：2解析：设x3=y，原式=y×（y+1）×（y+2）=15600=24×3×52×13=24×25×26则y=24，即x3=x×（x+1）×（x+2）=24=23×3=2×3×4，所以x=27．定义新运算aΩb为a与b之间(包含a、b)所有与a奇偶性相同的自然数的平均数，例如：7Ω14=(7+9+11+13)÷4=10，18Ω10=(18+16+14+12+10)÷5=14.(1)计算：10Ω19；(2)在算式口Ω(19Ω99)=80的方框中填入恰当的自然数后可使等式成立，请问：所填的数是什么？（1）答案：14解析：10Ω19=（10+12+14+16+18）÷5=14（2）答案：100或101解析：7Ω14=(7+9+11+13)÷4=10，可以转化成7Ω14=（7+13）÷2=10，18Ω10=(18+16+14+12+10)÷5=14，可以转化成18Ω10=（18+10）÷2=14，即求a、b两数之间最大和最小两个奇（偶）数的平均值。由此如下解题：19Ω99=（19+99）÷2=59，假设“口”中填入的是x，当x为奇数时，xΩ59=(x+59)÷2=80，x=101；当x为偶数时，xΩ59=(x+60)÷2=80，x=1008．1至2008这2008个自然数的所有数字之和是多少？答案：28054解析：在一位数和两位数的前面补0变成三位数，不会影响最终计算结果。首先考虑从0到999这1000个数（从0开始等于从1开始，也不影响最终结果），从000到999这1000个数总共3000个数字，0~9这10个数字出现的次数相同，都各自出现了3000÷10=300次，所以数位和=（0+1+2+3+4+5+6+7+8+9）×300=13500，同理1000~1999的数字之和就是1000个1加上000~999的数字和，即1000+13500=14500，2000~2008的数字和为2×9+（1+2+3+4+5+6+7+8）=54，因此，11至2008这2008个自然数的所有数字之和为；13500+14500+54=28054。9．有一串数如下：1，2，4，7，11，16，…．它的规律是：由1开始，依次加1，加2，加3，…，逐个产生这串数，直到第50个数为止，求第50个数除以3的余数．答案：2解析：这一列数除以3的余数分别为：1、2、1、1、2、1、1、2、1、1、2……，从排列规律看，从第三项开始，每3个数一个循环。（50-2）÷3=16……0，所以第50个数除以3的余数应该是2。10．70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好等于与它相邻的两个数之和．这一行最左边的几个数是这样的：0，l，3，8，21，…．请问：这列数中除以6余l的数有多少个？答案：12个解析：这一列数除以6的余数分别为：0、1、3、2、3、1、0、5、3、4、3、5、0、1、3、2、3、1……，从排列规律看，每12个数一个循环，每个循环中2个余数为1，70÷12=5……10，所以这70个数除以6余1的共：2×5+2=12个。11．观察数列的规律，问：(1)数列中第2008项是什么？(2)数列中前2008项的和是多少？（1）答案：eq\f(109,126)解析：分子和分母都是有规律的，把这些分数按分母大小分组如下:(eq\f(1,2)),(eq\f(1,4),eq\f(3,4)),(eq\f(1,6),eq\f(3,6),eq\f(5,6))……（eq\f(1,2008),eq\f(3,2008),eq\f(5,2008)……eq\f(2007,2008)）每组的分子都是奇数，分母是偶数，分数的个数等于分母的eq\f(1,2)。第一组2÷1=1项，第二组4÷2=2项，第三组6÷2=3项，……要求第2008项是多少，就得知道第2008项是第几组第几个数。由于1+2+3+4+……+62=1953，所以第2008是在有63个数的那一组中的第2008-1953=55个数。所以数列中第2008项分数的分母是63×2=126，分子是55×2-1=109，即为eq\f(109,126)。（2）答案：1000eq\f(32,63)解析：据观察发现，第一组所有分数的和是eq\f(1,2)，第二组所有分数的和是1，第三组所有分数的和是1eq\f(1,2)，……相邻组内所有分数和成等差数列，公差是eq\f(1,2)。所以，数列中前2008项的和为：eq\f(1,2)+1+1eq\f(1,2)+2+2eq\f(1,2)+……+30eq\f(1,2)+31+（eq\f(1,126)+eq\f(3,126)+eq\f(5,126)+……+eq\f(107,126)+eq\f(109,126)ew\f()）=(eq\f(1,2)+31)×62×eq\f(1,2)+eq\f(1+3+5+……+107+109,126)=976eq\f(1,2)+24eq\f(1,126)=1000eq\f(32,63)12．将从1开始的自然数按照如图17-5所示的规律排成数阵，数1000所在的行与列中分别有一个最小的数，求这两个数的和．答案：1594解析：观察数阵可知，每奇数列的第一个数字是这个奇数的平方，每偶数行的第一个数是这个偶数的平方。312=961,第32列的第一个数字是961+1=962，962+31=993，1000-963=7，所以1000在第32行的第32-7=25个位置，其所在行和列的最小数分别为：252+25+1=601、993，其和为601+993=1594。超越篇1．求所有分母为360的最简真分数的和．答案：48解析：要求分母为360的最简分数，就要排除非最简分数。而非最简分数的分子一定是360的约数或者是360的约数的倍数，这样的数一共有：eq\f(360,2)+eq\f(360,3)+eq\f(360,5)+eq\f(360,2×3)+eq\f(360,2×5)+eq\f(360,3×5)+eq\f(360,2×3×5)=264个，最简分数有360-264=96个，每2个的和是1，所以总和为96÷2=482．有一种运算“*”，满足以下条件：①2*3=5；②a*b=b*a；③a*（b+c）=a*b+a*c．（这里的“+”是通常的加号）请计算：8*9．答案：60解析：8*9=8*（3+6）=8*3+8*6=8*3+8*（3+3）=8*3+8*3+8*3=3×（8*3）=3×[(2+2+2+2)*3]=3×[4×（2*3）]=3×4×5=603．下面的数列是按某种规律排列的：1，3，4，7，11，18，29，47，…试问：(1)其中第300个数被6除余几？(2)如果数列按第n组含有n个数的规律分组，成为：(1)，(3，4)，(7，11，18)，…，那么第300组内各数之和除以6的余数是多少？(1)答案：4解析：用数列的每个数去除6，找到余数的排列规律如下：1,3,4,1,5,0,5,5,4,3,1,4,5,3,2,5,1,0,1,1,2,3,5,2，1,3,4,1,5,0,5,5,4……，循环周期为24，300÷24=12……12，即循环12个整周期后，下一周期的第12个数即为答案。(2)答案：4解析：根据和的余数等于余数的和，找到每组数之和除以6的余数分别为：1,1,0,5,3,4,1,3,2,5,3,4,3,5,2,3,1,4,3,5,0,1,1,0,1,1,0,5,3,4,……通过排列规律可以发现，每24个数一个循环周期，300÷24=12……12，即循环12个整周期后，下一周期的第12个数即为答案。4．如图17-6所示的三角形数阵中，从第2行起，每行都是把上一行抄一遍，然后在相邻两数之间填入它们的和，请问：第999行各数之和被7除所得的余数是多少？答案：3解析：我们发现这个数列每一行的第一个数字和最后一个数字都是1，我们先来找一下每一行各数之和的规律，假设某一行所含的数为：1、a、b、c、d、e、1，假设和为m。那么下一行所包含的数为：1、1+a、a、a+b、b、b+c、c、c+d、d、d+e、e、e+1、1，除1之外，每个字母都出现了三次，所以这行数的和n=3m-2，即数列中每一行的和是上一行和的3倍减去2。由此规律算出每行的和之后，每行的和除以7所得的余数规律如下：2、4、3、0、5、6、2、4、3、0、5、6、2……每4个数一个循环周期，999÷6=166……3，所以第999行各数之和被7除所得的余数是3。5．有一个圆，第一次用一条直径将圆周分成两个半圆周，在每个分点上标上1；第二次，再将两个半圆周分别分成两个圆周，在新产生的分点上标上相邻两数之和的；第三次，再将四个圆周分别分成两个圆周，在新产生的分点上标上相邻两数之和的；第四次，再将八个圆周分别分成两个圆周，在新产生的分点上标上相邻两数之和的……如此进行了100次．请问：最后圆周上的所有数之和是多少？答案：3434解析：第一次的和为：2第二次的和为：2×（1+eq\f(1,2)×2）=4第三次的和为：4×（1+eq\f(1,3)×2）=6eq\f(2,3)第四次的和为：6eq\f(2,3)×（1+eq\f(1,4)×2）=10……第100次的和为：2×（1+eq\f(1,2)×2）×（1+eq\f(1,3)×2）eq\f(2,3)×（1+eq\f(1,4)×2）×……×（1+eq\f(1,100)×2）=2×eq\f(4,2)×eq\f(5,3)×eq\f(6,4)×eq\f(7,5)×……×eq\f(101,99)×eq\f(102,100)=34346．将非零自然数按照图17-7中的规律不断写出，发现有些数被写出多次，还有些数永远不会出现，请问：（1）99在数表中共出现过几次？（2）最后