黑龙江省安达市育才高中2022年高考冲刺数学模拟试题含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知抛物线y2=2px（p>0）,尸为抛物线的焦点且MN为过焦点的弦，若|MN|=8,则AOMN的面

积为（）

A.2A/2B.3A/2C.D.----

2

2.一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半.若将该正方体绕下底面

（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（）

B.V2C.百D.272

3.学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A、B、C、D、E五个等级.某班共有36名学生且全部选考

物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示.该班学生中，这两科等级均为A的学生有5人，这两科中仅

有一科等级为A的学生，其另外一科等级为8,则该班（）

7级

科“ABCDE

物理1016910

化学819720

A.物理化学等级都是B的学生至多有12人

B.物理化学等级都是3的学生至少有5人

C.这两科只有一科等级为3且最高等级为3的学生至多有18人

D.这两科只有一科等级为B且最高等级为8的学生至少有1人

4.一个盒子里有4个分别标有号码为1,2,3,4的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次,

则取得小球标号最大值是4的取法有()

A.17种B.27种C.37种D.47种

5.点。为AABC的三条中线的交点，且。4_LO8,AB=2,则〃.元的值为()

A.4B.8C.6D.12

1

6.已知全集为R,集合A={xy=(x-l)2>,8={%|%2-2x<0},贝!J(\A)nB=()

A.(0,2)B.(1,2]C.[0,1]D.(0,1]

7.如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直

角三角形及一个小正方形(阴影)，设直角三角形有一内角为30。，若向弦图内随机抛掷50()颗米粒(米粒大小忽略不

计，取6。1.732),则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为()

B.67C.182D.108

x+y<4

所表示的平面区域上的动点，则上的取值范围是()

8.点P(x,y)为不等式组y<x

x-2

y>0

B.U[h+00)C.(—2,1)D.[—2,1]

.2020

9.二()

1-i

1

A.也B.V2C.1D.-

4

a%an1

10.已知数列299••一J是首项为8,公比为不得等比数列，则小等于()

a\2

A.64B.32C.2D.4

11.已知.f(x+2)是偶函数，/(X)在(-8,2]上单调递减，/(0)=0,则/(2—3x)>0的解集是

2B.(|,2)

A.(F，I)U(2，+8)

2222

C.(--，-)D.(Y0,一§)U(§'+8)

12.若复数z满足(l+3i)z=(l+i>,则|z|二()

x/5麻石「Vio

AA.B・——C・-M------nD.------

4525

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.(5分)已知cos(a-马=-3,且aw(-三,0),则2cos?a+夜sin(2a-巴)的值是____________

2524

14.(5分)如图是一个算法的流程图，若输出y的值是5,则输入X的值为.

15.函数y=log0.5,-"+5)在区间(-8,1)上递增，则实数a的取值范围是一

16.从编号为1,2,3,4的张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第

一次抽得的卡片上数字整除的概率为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/(x)=x+alnx,aeR.

(I)当a=l时，求曲线y=/(x)在x=l处的切线方程;

(II)求函数/(x)在［l,e］上的最小值；

13

(HI)若函数Q(x)=1/(x),当a=2时，/(x)的最大值为M，求证：M<1.

18.(12分)已知函数/(x)=eT+e'+ac,aeR.

(1)讨论的单调性；

⑵若/(x)存在两个极值点为，x2,证明：“xj二/"(/)<(&-2乂9一e*).

19.(12分)已知函数/(》)=%2-6x+a］nx(a>0,beR).

⑴设匕=a+2,若/(x)存在两个极值点*,x2,且后一百>1，求证：|/(办)一/(%2)|>3-41112；

(2)设g(x)=4(x),g(x)在U,e］不单调，且北恒成立，求〃的取值范围.(e为自然对数的底数).

a

20.(12分)已知函数f(x)=(l+百tanj^cos?》.

(I)若a是第二象限角，且sina=曰，求/(&)的值；

(D)求函数/(x)的定义域和值域.

21.(12分)如图，在四棱锥尸一ABCD中，24,底面ABC。，AD//BC,ZABC=90°,

AB=BC=LAO=LPB=2,E为m的中点，尸是PC上的点.

22

(1)若EE〃平面B4O,证明：所_1_平面Q4B.

(2)求二面角8—一。的余弦值.

22.(10分)［选修4-5：不等式选讲］

设函数/(x)Kx+l|.

(1)求不等式/(x)45-/(x—3)的解集；

(2)已知关于x的不等式2/(x)+|x+a区x+4在［-1,1］上有解，求实数。的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

根据IQF1=1可知y2=4x,再利用抛物线的焦半径公式以及三角形面积公式求解即可.

【详解】

由题意可知抛物线方程为/=4x，设点,y）点N（9,%）厕由抛物线定义

知,MN|=|MF|+1NF|=玉+马+2MN|=8则冗］+马=6.

由y2=4x得y；=4%,货=4x?则y：+y；=24.

又MN为过焦点的弦，所以y%=-4，则昆一W=Jy：+£-2*%=4近,所以S：=|lOF|.|y2-y,|=2^.

故选：A

【点睛】

本题考查抛物线的方程应用，同时也考查了焦半径公式等.属于中档题.

2.B

【解析】

根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半，由此得到结论.

【详解】

正方体的面对角线长为2夜，又水的体积是正方体体积的一半，

且正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，

所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半，

即最大水面高度为0,故选B.

【点睛】

本题考查了正方体的几何特征，考查了空间想象能力，属于基础题.

3.D

【解析】

根据题意分别计算出物理等级为A,化学等级为3的学生人数以及物理等级为3,化学等级为A的学生人数，结合表

格中的数据进行分析，可得出合适的选项.

【详解】

根据题意可知，36名学生减去5名全A和一科为A另一科为8的学生10-5+8-5=8人（其中物理A化学8的有5

人，物理3化学A的有3人），

表格变为：

ABCDE

物理10-5-5=016-3=13910

化学8-5-3=019-5=14720

对于A选项，物理化学等级都是8的学生至多有13人，A选项错误；

对于B选项，当物理。和。，化学都是B时，或化学C和。，物理都是8时，物理、化学都是8的人数最少，至少

为13—7—2=4（人），B选项错误；

对于C选项，在表格中，除去物理化学都是8的学生，剩下的都是一科为B且最高等级为B的学生，

因为都是8的学生最少4人，所以一科为8且最高等级为8的学生最多为13+9+1-4=19（人），

C选项错误；

对于D选项，物理化学都是3的最多13人，所以两科只有一科等级为3且最高等级为3的学生最少14-13=1（人）,

D选项正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查合情推理，考查推理能力，属于中等题.

4.C

【解析】

由于是放回抽取，故每次的情况有4种，共有64种；先找到最大值不是4的情况，即三次取出标号均不为4的球的情况，

进而求解.

【详解】

所有可能的情况有43=64种，其中最大值不是4的情况有33=27种,所以取得小球标号最大值是4的取法有

64—27=37种，

故选:C

【点睛】

本题考查古典概型，考查补集思想的应用,属于基础题.

5.B

【解析】

2AC-BC=3AO„,AC=2Ad+B0

可画出图形，根据条件可得《————，从而可解出《一一一，然后根据Q4_LOB,AB=2进

2BC-AC=3BOBC=2B0+A0

行数量积的运算即可求出ACBC^（2AO+BO）（2BO+AO）=8.

【详解】

如图：

点。为AA3C的三条中线的交点

.•.A0=-(AB+AC)=-(2AC-BC),Bd=-(BA+BC)=-(2BC-AC)

2AC-BC=3AOAC=2A0+W

,由《可得:

2BC-AC=3BOBC=2B0+A0

又因OA_LO6,AB=2,

222

ACBC^(2AO+BO)(2BO+AO)=2AO'+2BO=2AB=8•

故选：B

【点睛】

本题考查三角形重心的定义及性质，向量加法的平行四边形法则，向量加法、减法和数乘的几何意义，向量的数乘运

算及向量的数量积的运算，考查运算求解能力，属于中档题.

6.D

【解析】

-1)4的定义域,再求得补集；对于集合3,解得一元二次不等式,

对于集合A,求得函数y=(x

再由交集的定义求解即可.

1},.'.6储={x|x<1},

8={x|x2-2x<0}={x|x(x-2)<0}={x[0<x<2},，@A)n5=(0,l].

故选:D

【点睛】

本题考查集合的补集、交集运算，考查具体函数的定义域，考查解一元二次不等式.

7.B

【解析】

根据几何概型的概率公式求出对应面积之比即可得到结论.

【详解】

解：设大正方形的边长为1,则小直角三角形的边长为如，

22

则小正方形的边长为立-工，小正方形的面积s=(立-=1-—,

22I22)2

则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为

——^-x500=1--x500«(1-0.866)x500=0.134x500=67*

1X1I2)

故选：B.

【点睛】

本题主要考查几何概型的概率的应用，求出对应的面积之比是解决本题的关键.

8.B

【解析】

作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，利用z的几何意义即可得到结论.

【详解】

X+M，4

不等式组，为x作出可行域如图：44,0),B(2,2),。(0,0),

y..O

2=皿的几何意义是动点「。,了)到。(2,-2)的斜率，由图象可知04的斜率为1,Q。的斜率为：-1，

x-2

则上里的取值范围是：(-8,T]|JU，+8).

x-2

故选：B.

【点睛】

本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义结合斜率公式是解决本题的关键.

9.A

【解析】

■2020

利用复数的乘方和除法法则将复数--化为一般形式，结合复数的模长公式可求得结果.

1-Z

【详解】

•202011,•[1

产=吠=产=，匚=口;百正7r5+/

故选：A.

【点睛】

本题考查复数模长的计算，同时也考查了复数的乘方和除法法则的应用，考查计算能力，属于基础题.

10.A

【解析】

根据题意依次计算得到答案.

【详解】

根据题意知：q=8,生=4,故4=32,2=2,%=64.

q%

故选：A.

【点睛】

本题考查了数列值的计算，意在考查学生的计算能力.

11.D

【解析】

先由/(x+2)是偶函数，得到/(X)关于直线x=2对称；进而得出f(x)单调性，再分另U讨论2-3x22和2-3*<2,

即可求出结果.

【详解】

因为/(x+2)是偶函数，所以/(x)关于直线x=2对称；

因此,由/(0)=0得/(4)=0；

又/(x)在(Y0,2］上单调递减，则/(X)在［2,上单调递增；

所以，当2-3x22即x40时,由/(2—3x)>0得/(2—3x)>/(4),所以2-3x>4,

解得x<——;

3

当2—3x<2即x>0时，由f(2-3x)>0得f(2—3x)>/(0),所以2—3x<0,

解得-X>—；

3

22

因此，/(2-3x)>0的解集是(-co,-U(早+⑼.

【点睛】

本题主要考查由函数的性质解对应不等式，熟记函数的奇偶性、对称性、单调性等性质即可，属于常考题型.

12.D

【解析】

31

先化简得2=j+gi,再求|Z|得解.

【详解】

2i2i(l-3i)3j_.

z-----~10--5+51

l+3i

所以|z|=巫.

故选：D

【点睛】

本题主要考查复数的运算和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

【解析】

由于cos（ar-工）=cos（'一a）=sincr=——,且ere（一四,0）,则cosa=Jl-sinaa=一,得sin2a=2sinacosa=---,

2252525

贝（12cos2a+0sin（2cz-：）=1+cos2a+及（sinlacos:-cos2asin?=1+sin2a=*.

14.0或2

【解析】

依题意，当xWl时，由5=y=2*+4,即2'=1，解得x=0;当x>l时，由5=y=x?+l,解得x=2或x=-2（舍

去）.综上，得尤=0或2.

15.ae[2,6]

【解析】

根据复合函数单调性同增异减，结合二次函数的性质、对数型函数的定义域列不等式组，解不等式求得。的取值范围.

【详解】

a.

—>1

由二次函数的性质和复合函数的单调性可得2

l2-a-l+5>0

解得aw[2,6].

故答案为：«e[2,6]

【点睛】

本小题主要考查根据对数型复合函数的单调性求参数的取值范围，属于基础题.

1

16.-

2

【解析】

基本事件总数〃=4x4=16,第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字的基本事件有8个，由此能求

出概率.

【详解】

解：从编号为1,2,3,4的张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，

基本事件总数〃=4x4=16,

第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字的基本事件有8个，分别为：（1,1）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,

（2,2）,（2,4）,（3,3）,（4,4）.

所以第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为尸=三=1.

162

故答案为二.

2

【点睛】

本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(I)2x-y-l=0.(H)见解析；(ffl)见解析.

【解析】

试题分析：(I)由题/(x)=x+Inx,XG(0,+OO).

所以/'(x)=l+L故/(1)=1,/'⑴=2.,代入点斜式可得曲线y=在x=l处的切线方程；

X

(n)由题/("=1+@=e8.

XX

(1)当“20时，/(X)在(0,+8)上单调递增.则函数/(X)在［l,e］上的最小值是/⑴=1.

(2)当a<0时,令_f(x)>0,即x>_a,令f(x)<0,即x<-&

⑴当0<-aWl,即时，“X)在［l,e］上单调递增，

所以/(x)在［l,e］上的最小值是/⑴=1.

(ii)当即一eWaW-l时，由/(力的单调性可得/(x)在［l,e］上的最小值是/(一。)

(iii)当-aNe,即心—e时，/(x)在［l,e］上单调递减，/(x)在［l,e］上的最小值是/(e)=e+a.

,E、厂/\1Hnxwcqe/\2-x-41ar

(m)/(力=一+「-.当”=2时，F(x)=----—.

令g(x)=2-x-41nt,则g(x)是单调递减函数.

因为g⑴=1>0,g(2)=-41n2<0,

所以在(1,2)上存在/,使得g($)=0,即2-尤0-41叫=0.

讨论可得尸(x)在(1,不)上单调递增，在(%,2)上单调递减.

所以当x=x0时，尸(x)取得最大值是加=/(%)=血驾团.

xo

z、2

因为2-x—41nx=0,所以M=2埠=J-+，-1-.由此可证M<』.

2/24J162

试题解析：(I)因为函数/(x)=x+alnx,且a=l,

所以/(x)=x+ln%,x£(0,+oo).

所以尸(x)=l+：.

所以/(i)=i,r(i)=2.

所以曲线在x=l处的切线方程是>-l=2(x-l),即2x-y-l=0.

(II)因为函数/(x)=x+alrMx>0),所以r(力=1+q=叶区.

(1)当时，/'(x)>0,所以/(x)在(0,y)上单调递增.

所以函数“X)在［l,e］上的最小值是/(1)=1.

(2)当。<0时，令/'(x)>0,即x+a>0,所以x>一〃

令/'(x)<0,即x+a<0,所以x<—a.

⑴当0<-aWl,即心一1时，“X)在［l,e］上单调递增,

所以/(x)在［1,e］上的最小值是"1)=1.

(ii)当即一eWaW-l时，/(x)在［1,-可上单调递减，在(一。目上单调递增,

所以/(力在［l,e］上的最小值是/(-a)=-a+aln(-a).

(iii)当—aNe,即e时，/(x)在［l,e］上单调递减,

所以/(x)在［l,e］上的最小值是〃e)=e+a

综上所述，当aN-l时，/(力在［1,e］上的最小值是/⑴=1.

当-eWaW-1时，/(x)在［l,e］上的最小值是〃-a)=-a+aln(-a).

当时，/(x)在［l,e］上的最小值是/(e)=e+a

(ni)因为函数/(x)=5/(x),所以尸(力=：+券

所以当a=2时，/(力=2-：41nx

令g(x)=2-x-41nx,所以g(x)是单调递减函数.

因为g(l)=l>0,g(2)=-41n2<0,

所以在(1,2)上存在/,使得g(拓)=0,即2-/一41叫,=0.

所以当XG（l,x（））时，g（x）＞0；当xe（天,2）时，g（x）＜0.

即当XG（1,X（））时，F（x）＞0；当xe（用,2）时，尸（x）＜0.

所以F（x）在（1,%）上单调递增，在（不，2）上单调递减.

所以当x=/时，F（x）取得最大值是M=/（/）=•为±2".

九0

z\2

因为2—%—41nx=0,所以M=一——=—+———.

2%/2%（%4J16

因为毛«1,2）,所以

3

所以

2

18.（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）求得“X）的导函数/（X）,对。分成。＜2,。＞2两种情况，讨论/（x）的单调性.

（2）由（1）判断出。的取值范围，根据韦达定理求得为,刍的关系式，利用差比较法，计算

x

〃芍)-(4-2巾为-e迎)=a(ef-e'+2x,)f通过构造函数g(f)=e，-e'+力«>0),利用导数证得

g(f)<(),由此证得。⑹“一2+2xJ<0,进而证得不等式/(%)—/(◎)<("—2乂e"-j)成立.

【详解】

八、(ex)2-aex+l

(1)f(x)=-ex+tz=----——--------•

当aV2时，r(x)<0,此时/(x)在R上单调递减；

当a>2时，由/'(6=0解得x=in""m或x=m”半三L•.•¥=€'是增函数，二此时〃x)在

',a-Ju2_4]Ca+da2-41a—yja2-4,aJa?-4'

—毛——和In—毛——,+8单调递减，在In—\——,ln—f——单调递增.

\)\7\)

(2)由(1)知。>2.9・e叼=1,X,+x2=0,Xj=-x2,

A,2

不妨设玉〉工2，・">0，/(x1)-/(x2)-(«-2)(e-e')

=(e-*-ex'+aYj_(e72—e电+3)_(。_2)(。再—P一』)=々俟一%-ex,+2%),

令g(r)=eT-e，+2，(r>0),

...g'Q)=—e——e，+2=—(8+!)+2W—+2=0,

•••g⑺在(0,+。)上是减函数，g⑺<g(0)=0,

a(e—e*+2内)<0,即/(内)一/(x,)<(a—2乂e、'一e'?j.

【点睛】

本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归

与转化的数学思想方法，属于中档题.

e2—Je4-8eez+Je4-8e

19.(1)证明见解析；(2)---------------，----------------.

44

【解析】

2

⑴先求出r(x),又由打一百>i可判断出7a)在i,|上单调递减，故/(玉)一/(々)|=?一“1吟一1,令

t=3>2,记〃(f)="-2/lnt—l,利用导数求出〃(/)的最小值即可；

(2)由g(x)在［l,e］上不单调转化为g'(x)=0在(l,e)上有解，可得助=至四*,令

X

F(x)=3x+"詈+：,分类讨论求尸(x)的最大值，再求解*%)而0e即可.

【详解】

2

(1)已知b=a+2(a>0),f(x)=x-bx+a\nx9

f'(x)=2x-b+-=d)(2i),

XX

由尸(x)=0可得M=l,x2=|,

又由W—X21>1，知］>2

・•・/(x)在《上单调递减,

-aIn--1

2

令可

>29记〃(%)=产—2/ln/—1,则〃'(1)=2/—21nZ—2

h\t)=2—="L0>0⑺在(2,+oo)上单调递增；

.♦./?'«)>"(2)=2(1-In2)>0,h(t)在(2,+oo)上单调递增;

.-./?(0>/z(2)=3-41n2>0,

.••|/(^)-/U2)|>3-4ln2

(2)^(x)=x3-bx2+axlnx,/.gz(x)=3x2-2bx+a\nx+a,

•••g（x）在［l,e］上不单调,

g'（x）在（1,e）上有正有负，二g'（x）=0在（1,e）上有解,

〜3x2+a\nx+a”、

2h=------------------,尤e(1,e),

x

•：2Z?+L44e恒成立，

a

、r~\"a+a\nx1百，广,/\3x2-a\nx(3Inx

记尸(x)=3x+---+-,则尸(x)=——p——---

记G(x)——9,.G(x)一,

xx

G(…G(&)=/

于是知

3I

（i）当斤即时，尸（幻20恒成立，尸（力在（l,e）上单调增,

/.F（e）=3^+—+—<4e?,

ea

e2-\je4-8ee2+Je、-8e

2a2-e2a+e<0>---------------<a<----------------

44

(ii)当。>6e时,

3及+呼=12&>4e,故不满足题意.

网=3五+++3

24e

e27e4-8ee1+Je4-8e

综上所述，

44

【点睛】

本题主要考查了导数的综合应用，考查了分类讨论，转化与化归的思想，考查了学生的运算求解能力.

20.(I)上渔(II)函数的定义域为rxeR,且r。版■+值域为£3

2,2

【解析】

(1)由a为第二象限角及sin。的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosa及tana的值，再代入/(x)中即

可得到结果.

(2)函数“X)解析式利用二倍角和辅助角公式将/(x)化为一个角的正弦函数，根据x的范围，即可得到函数值域.

【详解】

解：(1)因为a是第二象限角，且sina="

3

所以cosa=->/l-sin2a-——

3

g、isinarr

所以tana=------=72,

cosa

所以/(々)=(1—0x血)

jr

(2)函数/(x)的定义域为,xxeR,自/HZ乃+,,ZeZ>.

化简，得F(x)=(l+Gtanx)=cos2x

/+必咻心

ICOSX)

=cos2x+百sinxcosx

1+cos2xJ3..

---------十——sm2x

22

1

=sin2x+-\+~,

[622

冗

因为XER,且+—,keZ,

2

所以2x+工工2版■+/，

66

所以一1Wsin[2x+?)Ml.

i3

所以函数的值域为一万，2.

(注：或许有人会认为“因为xHbr+W，所以/(力/0”，其实不然，因为/(一彳］=0.)

【点睛】

本题考查同角三角函数的基本关系式，三角函数函数值求解以及定义域和值域的求解问题，涉及到利用二倍角公式和

辅助角公式整理三角函数关系式的问题，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于常考题型.

21.(1)证明见解析(2)I呵

190

【解析】

(1)因为BC//AD,利用线面平行的判定定理可证出8。/平面24。，利用点线面的位置关系，得出BC〃尸M和

EFHBC,由于B4_L底面ABC。，利用线面垂直的性质，得出

PALB