新高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 课时作业49 圆的方程（含解析）-人教版高三数学试题

课时作业49圆的方程一、选择题1．若k∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，0，\f(4,5)，3))，方程x2＋y2＋(k－1)x＋2ky＋k＝0不表示圆，则k的取值集合中元素的个数为(A)A．1 B．2C．3 D．4解析：方程x2＋y2＋(k－1)x＋2ky＋k＝0表示圆的条件为(k－1)2＋(2k)2－4k>0，即5k2－6k＋1>0，解得k>1或k<eq\f(1,5)，又知该方程不表示圆，所以k的取值范围为eq\f(1,5)≤k≤1，又因为k∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，0，\f(4,5)，3))，所以满足条件的k＝eq\f(4,5)，即k的取值集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))，故选A.2．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，那么与圆C有相同的圆心，且经过点(－2,2)的圆的方程是(B)A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5B．(x－1)2＋(y＋2)2＝25C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5D．(x＋1)2＋(y－2)2＝25解析：圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝4，圆心C(1，－2)，故排除C，D，代入(－2,2)点，只有B项经过此点．也可以设出要求的圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝r2，再代入点(－2,2)，可以求得圆的半径为5.故选B.3．已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为(C)A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1D．(x－3)2＋(y－1)2＝1解析：到直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x－4y＋5＝0，联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－4y＋5＝0，,y＝－x－4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－1，))又两平行线之间的距离为2，所以所求圆的半径为1，从而圆M的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝1.故选C.4．圆心在y轴上，且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是(B)A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0解析：根据题意，设圆心坐标为(0，r)，半径为r，则32＋(r－1)2＝r2，解得r＝5，可得圆的方程为x2＋y2－10y＝0.5．圆(x－2)2＋y2＝4关于直线y＝eq\f(\r(3),3)x对称的圆的方程是(D)A．(x－eq\r(3))2＋(y－1)2＝4B．(x－eq\r(2))2＋(y－eq\r(2))2＝4C．x2＋(y－2)2＝4D．(x－1)2＋(y－eq\r(3))2＝4解析：设圆(x－2)2＋y2＝4的圆心(2,0)关于直线y＝eq\f(\r(3),3)x对称的点的坐标为(a，b)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,a－2)·\f(\r(3),3)＝－1，,\f(b,2)＝\f(\r(3),3)·\f(a＋2,2)，))解得a＝1，b＝eq\r(3)，从而所求圆的方程为(x－1)2＋(y－eq\r(3))2＝4.故选D.6．圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是(A)A．1＋eq\r(2) B．2C．1＋eq\f(\r(2),2) D．2＋2eq\r(2)解析：将圆的方程化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x－y＝2的距离d＝eq\f(|1－1－2|,\r(2))＝eq\r(2)，故圆上的点到直线x－y＝2的距离的最大值为d＋1＝eq\r(2)＋1，故选A.7．如果圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在到原点的距离为eq\r(2)的点，则实数a的取值范围是(D)A．(－3，－1)∪(1,3) B．(－3,3)C．[－1,1] D．[－3，－1]∪[1,3]解析：圆(x－a)2＋(y－a)2＝8的圆心(a，a)到原点的距离为|eq\r(2)a|，半径r＝2eq\r(2)，由圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在点到原点的距离为eq\r(2)，得2eq\r(2)－eq\r(2)≤|eq\r(2)a|≤2eq\r(2)＋eq\r(2)，∴1≤|a|≤3，解得1≤a≤3或－3≤a≤－1.∴实数a的取值范围是[－3，－1]∪[1,3]．故选D.8．在平面直角坐标系xOy中，以点(0,1)为圆心且与直线x－by＋2b＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为(B)A．x2＋(y－1)2＝4 B．x2＋(y－1)2＝2C．x2＋(y－1)2＝8 D．x2＋(y－1)2＝16解析：解法1：由题意可得圆心(0,1)到直线x－by＋2b＋1＝0的距离d＝eq\f(|1＋b|,\r(1＋b2))＝eq\r(1＋\f(2b,1＋b2))≤eq\r(1＋\f(2b,2b))＝eq\r(2)，当且仅当b＝1时取等号．所以半径最大的圆的半径r＝eq\r(2)，此时圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝2，故选B.解法2：由直线x－by＋2b＋1＝0可得该直线过定点A(－1，2)，设圆心为B(0,1)，由题意可知要使所求圆的半径最大，则rmax＝|AB|＝eq\r(－1－02＋2－12)＝eq\r(2)，所以半径最大的圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝2，故选B.二、填空题9．(多填题)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是(－2，－4)，半径是5解析：由已知方程表示圆，则a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1.当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，5为半径的圆．10．当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α＝eq\f(3π,4).解析：由题意知，圆的半径r＝eq\f(1,2)eq\r(k2＋4－4k2)＝eq\f(1,2)eq\r(4－3k2)≤1，当半径r取最大值时，圆的面积最大，此时k＝0，r＝1，所以直线方程为y＝－x＋2，则有tanα＝－1，又α∈[0，π)，故α＝eq\f(3π,4).11．若圆C经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是(x－2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(3,2)))2＝eq\f(25,4).解析：因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m)．又因为圆与直线y＝1相切，所以eq\r(22＋m2)＝|1－m|，解得m＝－eq\f(3,2).所以圆C的方程为(x－2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(3,2)))2＝eq\f(25,4).12．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝1.解析：设圆上任一点坐标为(x0，y0)，xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝4，连线中点坐标为(x，y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＝x0＋4，,2y＝y0－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2x－4，,y0＝2y＋2，))代入xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝4中，得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.三、解答题13．已知圆C的圆心在直线x＋y＋1＝0上，半径为5，且圆C经过点P(－2,0)和点Q(5,1)．(1)求圆C的标准方程；(2)求过点A(－3,0)且与圆C相切的切线方程．解：(1)设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝25，点C在直线x＋y＋1＝0上，则有a＋b＋1＝0.圆C经过点P(－2,0)和点Q(5,1)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2－a2＋0－b2＝25，,5－a2＋1－b2＝25，))解得a＝2，b＝－3.所以圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝25.(2)设所求直线为l.①若直线l的斜率不存在，则直线l的方程是x＝－3，与圆C相切，符合题意．②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＝0.由题意知，圆心C(2，－3)到直线l的距离等于半径5，即eq\f(|2k＋3＋3k|,\r(k2＋1))＝5，解得k＝eq\f(8,15)，故切线方程是y＝eq\f(8,15)(x＋3)．综上，所求切线方程是x＝－3或y＝eq\f(8,15)(x＋3)．14．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若直线l过点(－2,0)且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程；(2)从圆C外一点P向圆C引一条切线，切点为M，O为坐标原点，满足|PM|＝|PO|，求点P的轨迹方程．解：(1)x2＋y2＋2x－4y＋3＝0可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝2.当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝－2，易求得直线l与圆C的交点为A(－2,1)，B(－2,3)，|AB|＝2，符合题意；当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，则圆心C到直线l的距离d＝eq\f(|－k－2＋2k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq\f(3,4)，所以直线l的方程为3x－4y＋6＝0.综上，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.(2)如图，PM为圆C的切线，连接MC，PC，则CM⊥PM，所以△PMC为直角三角形，所以|PM|2＝|PC|2－|MC|2.设P(x，y)，由(1)知C(－1,2)，|MC|＝eq\r(2).因为|PM|＝|PO|，所以(x＋1)2＋(y－2)2－2＝x2＋y2，化简得点P的轨迹方程为2x－4y＋3＝0.15．(多选题)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆在平面直角坐标系xOy中，A(－2,0)，B(4,0)，点P满足eq\f(|PA|,|PB|)＝eq\f(1,2).设点P的轨迹为C，下列结论正确的是(BC)A．C的方程为(x＋4)2＋y2＝9B．在x轴上存在异于A，B的两定点D，E，使得eq\f(|PD|,|PE|)＝eq\f(1,2)C．当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线D．在C上存在点M，使得|MO|＝2|MA|解析：设点P(x，y)，则eq\f(|PA|,|PB|)＝eq\f(1,2)＝eq\f(\r(x＋22＋y2),\r(x－42＋y2))，化简整理得x2＋y2＋8x＝0，即(x＋4)2＋y2＝16，故A错误；当D(－1,0)，B(2,0)时，eq\f(|PD|,|PE|)＝eq\f(1,2)，故B正确；对于C选项，cos∠APO＝eq\f(AP2＋PO2－AO2,2AP·PO)，cos∠BPO＝eq\f(BP2＋PO2－BO2,2BP·PO)，要证PO为角平分线，只需证明cos∠APO＝cos∠BPO，即证eq\f(AP2＋PO2－AO2,2AP·PO)＝eq\f(BP2＋PO2－BO2,2BP·PO)，化简整理即证PO2＝2AP2－8，设P(x，y)，则PO2＝x2＋y2,2AP2－8＝2x2＋8x＋2y2＝(x2＋8x＋y2)＋(x2＋y2)＝x2＋y2，则证cos∠APO＝cos∠BPO，故C正确；对于D选项，设M(x0，y0)，由|MO|＝2|MA|可得eq\r(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0))＝eq\r(x0＋22＋y\o\al(2,0))，整理得3xeq\o\al(2,0)＋3yeq\o\al(2,0)＋16x0＋16＝0，而点M在圆上，故满足x2＋y2＋8x＝0，联立解得x0＝2，y0无实数解，于是D错误．故答案为BC.16．(2019·全国卷Ⅰ)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切．(1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径；(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由．解：(1)因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上．由已知A在直线x＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a)．因为⊙M与直线x＋2＝0相切，所以⊙M的半径为r＝|a＋2|.连接MA，由已知得|AO|＝2，又eq\o(MO,\s\up16(→))⊥eq\o(AO,\s\u