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45分钟滚动基础训练卷(十二)(考查范围:第40讲~第43讲分值:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若直线l的倾斜角的余弦值为-eq\f(3,5),则与l垂直的直线l′的斜率为()A.-eq\f(3,4)B.-eq\f(4,3)C.eq\f(3,4)D.eq\f(4,3)2.[2012·湖北八市联考]已知直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0与l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,则k的值是()A.1或3B.1或5C.3或5D.1或23.[2012·枣庄模拟]已知圆x2+y2=4与圆x2+y2-6x+6y+14=0关于直线l对称,则直线l的方程是()A.x-2y+1=0B.2x-y-1=0C.x-y+3=0D.x-y-3=04.[2012·北京朝阳区二模]直线y=kx+3与圆(x-3)2+(y-2)2=4相交于A,B两点,若|AB|=2eq\r(3),则实数k的值是()A.0B.-eq\f(3,4)C.-eq\f(3,4)或0D.25.[2012·惠州调研]“a=-2”是“直线ax+2y=0垂直于直线x+y=1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.过点P(4,2)作圆x2+y2=4的两条切线,切点分别为A,B,O为坐标原点,则△OAB的外接圆方程是()A.(x-2)2+(y-1)2=5B.(x-4)2+(y-2)2=20C.(x+2)2+(y+1)2=5D.(x+4)2+(y+2)2=207.圆心在函数y=eq\f(2,x)的图象上,半径等于eq\r(5)的圆经过原点,这样的圆的个数是()A.1B.2C.3D.48.[2012·成都诊断]直线l:mx+(m-1)y-1=0(m为常数),圆C:(x-1)2+y2=4,则()A.当m变化时,直线l恒过定点(-1,1)B.直线l与圆C有可能无公共点C.对任意实数m,圆C上都不存在关于直线l对称的两点D.若直线l与圆C有两个不同交点M,N,则线段MN的长的最小值为2eq\r(3)二、填空题(本大题共3小题,每小题6分,共18分)9.[2012·东北三校二联]直线l:y=k(x+3)与圆O:x2+y2=4交于A,B两点,|AB|=2eq\r(2),则实数k=________.10.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,2),直线l:x+y-4=0.点B(x,y)是圆C:x2+y2-2x-1=0上的动点,AD⊥l,BE⊥l,垂足分别为D,E,则线段DE的最大值是________.11.设F1,F2分别为椭圆eq\f(x2,3)+y2=1的左、右焦点,点A,B在椭圆上,若eq\o(F1A,\s\up6(→))=5eq\o(F2B,\s\up6(→)),则点A的坐标是________.三、解答题(本大题共3小题,每小题14分,共42分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)12.求与x轴相切,圆心在直线3x-y=0上,且被直线x-y=0截得的弦长为2eq\r(7)的圆的方程.13.如图G12-1,已知圆心坐标为(eq\r(3),1)的圆M与x轴及直线y=eq\r(3)x分别相切于A,B两点,另一圆N与圆M外切、且与x轴及直线y=eq\r(3)x分别相切于C,D两点.(1)求圆M和圆N的方程;(2)过点A作直线MN的平行线l,求直线l被圆N截得的弦的长度.图G12-114.已知圆的方程是x2+y2-2ax+2(a-2)y+2=0,其中a≠1,且a∈R.(1)求证:a取不为1的实数时,上述圆恒过定点;(2)求恒与圆相切的直线方程;(3)求圆心的轨迹方程.45分钟滚动基础训练卷(十二)1.C[解析]设直线l的倾斜角为θ,则有cosθ=-eq\f(3,5),sinθ=eq\f(4,5),所以tanθ=-eq\f(4,3),所以直线l′的斜率为eq\f(3,4).故选C.2.C[解析]将k=3代入两直线方程,知两直线平行,排除B和D;将k=1代入两直线方程,则l1:-2x+3y+1=0,l2:4x+2y-3=0,斜率不等,两直线不平行,排除A,故选C.3.D[解析]两圆关于直线l对称,则直线l为两圆圆心连线的垂直平分线.圆x2+y2=4的圆心为O(0,0),圆x2+y2-6x+6y+14=0的圆心为P(3,-3),则线段OP的中点为Qeq\f(3,2),-eq\f(3,2),其斜率kOP=eq\f(-\f(3,2)-0,\f(3,2)-0)=-1,则直线l的斜率为k=1,故直线l的方程为y--eq\f(3,2)=x-eq\f(3,2),即x-y-3=0.4.C[解析]圆心为C(3,2),半径为r=2,弦长|AB|=2eq\r(3),根据垂径定理,得圆心到弦AB的距离为d=eq\r(r2-\f(1,2)|AB|2)=1.又圆心C(3,2)到直线kx-y+3=0的距离为d=eq\f(|3k-2+3|,\r(k2+1))=eq\f(|3k+1|,\r(k2+1)),所以eq\f(|3k+1|,\r(k2+1))=1,解得k=-eq\f(3,4)或0.5.C[解析]“a=-2”时两直线垂直,两直线垂直时“a=-2”,故选C.6.A[解析]由条件知O,A,B,P四点共圆,从而OP的中点(2,1)为所求圆的圆心,半径为r=eq\f(1,2)|OP|=eq\r(5).故选A.7.D[解析]设圆心坐标为(a,b),依题意有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2+b2=5,,b=\f(2,a),))消去b得a4-5a2+4=0,解得a=±2或a=±1,所以圆心有4个,从而圆有4个.故选D.8.D[解析]直线l方程化为m(x+y)-(y+1)=0,该直线恒过点A(1,-1),且点A(1,-1)与圆心C(1,0)间的距离为|AC|=1<2,因此点A(1,-1)位于圆内,过点A(1,-1)的最短弦长等于2eq\r(22-12)=2eq\r(3),即若直线l与圆C有两个不同的交点M,N,则线段MN的长度的最小值为2eq\r(3).结合各选项知D正确.9.±eq\f(\r(14),7)[解析]圆心到直线的距离为d=eq\f(|3k|,\r(k2+1)),圆半径为r=2,依题意有r2=d2+eq\f(1,2)|AB|2,所以4=eq\f(9k2,k2+1)+2,解得k=±eq\f(\r(14),7).10.eq\f(5\r(2),2)[解析]结合图形,可知线段DE的最大值等于圆心(1,0)到直线AD:x-y+2=0的距离加上半径,可解得最大值为eq\f(5\r(2),2).11.(0,±1)[解析]根据题意设A点坐标为(m,n),B点坐标为(c,d).F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,其坐标分别为(-eq\r(2),0),(eq\r(2),0),可得eq\o(F1A,\s\up6(→))=(m+eq\r(2),n),eq\o(F2B,\s\up6(→))=(c-eq\r(2),d).∵eq\o(F1A,\s\up6(→))=5eq\o(F2B,\s\up6(→)),∴c=eq\f(m+6\r(2),5),d=eq\f(n,5).∵点A,B都在椭圆上,∴eq\f(m2,3)+n2=1,eq\f(\f(m+6\r(2),5)2,3)+eq\f(n,5)2=1.解得m=0,n=±1,故点A坐标为(0,±1).12.解:方法一:设所求的圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心(a,b)到直线x-y=0的距离为eq\f(|a-b|,\r(2)),∴r2=eq\f(|a-b|,\r(2))2+(eq\r(7))2,即2r2=(a-b)2+14,①由于所求的圆与x轴相切,∴r2=b2.②又因为所求圆心在直线3x-y=0上,∴3a-b联立①②③,解得a=1,b=3,r2=9或a=-1,b=-3,r2=9.故所求的圆的方程是(x-1)2+(y-3)2=9或(x+1)2+(y+3)2=9.方法二:设所求的圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0,圆心为-eq\f(D,2),-eq\f(E,2),半径为eq\f(1,2)eq\r(D2+E2-4F).令y=0,得x2+Dx+F=0,由圆与x轴相切,得Δ=0,即D2=4F又圆心-eq\f(D,2),-eq\f(E,2)到直线x-y=0的距离为eq\f(-\f(D,2)+\f(E,2),\r(2)).由已知,得eq\f(-\f(D,2)+\f(E,2),\r(2))2+(eq\r(7))2=r2,即(D-E)2+56=2(D2+E2-4F又圆心-eq\f(D,2),-eq\f(E,2)在直线3x-y=0上,∴3D-E=0.⑥联立④⑤⑥,解得D=-2,E=-6,F=1或D=2,E=6,F=1.故所求圆的方程是x2+y2-2x-6y+1=0或x2+y2+2x+6y+1=0.13.解:(1)由于⊙M与∠BOA的两边均相切,故M到OA及OB的距离均为⊙M的半径,则M在∠BOA的平分线上.同理,N也在∠BOA的平分线上,即O,M,N三点共线,且直线OMN为∠BOA的平分线.因为M的坐标为(eq\r(3),1),所以M到x轴的距离为1,即⊙M的半径为1,则⊙M的方程为(x-eq\r(3))2+(y-1)2=1.设⊙N的半径为r,其与x轴的切点为C,连接MA,NC,由Rt△OAM∽Rt△OCN可知,|OM|∶|ON|=|MA|∶|NC|,即eq\f(2,3+r)=eq\f(1,r)⇒r=3,则OC=3eq\r(3),则⊙N的方程为(x-3eq\r(3))2+(y-3)2=9.(2)由题知直线l的方程是y=eq\f(\r(3),3)(x-eq\r(3)),即x-eq\r(3)y-eq\r(3)=0,圆心N到该直线l的距离d=eq\f(\r(3),2),则弦长为2eq\r(r2-d2)=eq\r(33).14.解:(1)证明:当a=1时,该方程表示点(1,1).当a≠1时,将圆的方程整理为x2+y2-4y+2-a(2x-2y)=0,令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2+y2-4y+2=0,,x-y=0,))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x=1,,y=1.))所以定点为(1,1).(2)易得已知圆的圆心坐标为(a,2-a),半径为eq\r(2)|a-1|.设所求切线方程为y=kx+b,即kx-y+b=0,则圆心到直线的距离应等于圆的半径,即eq\f(|ka+(a-2)+b|,\r(k2+1))=eq\r(2)|a-1|恒成立.整理得2(1+k2)a2-4(1+k2
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