第2节函数的求导法则

491第二节二、反函数的求导法则三、复合函数求导法则四、初等函数的求导问题一、四则运算求导法则

函数的求导法则

第二章492第二节函数的求导法则前面根据导数的定义，求出了一些简单函数的导数。但是，对于比较复杂的函数，直接根据定义来求它们的导数往往很困难。在本节和下节中，将介绍求导数的几个基本法则和基本初等函数的导数公式。借助这些法则和公式，就能比较方便的求出常见的函数—初等函数的导数。493学习指导1.教学目地：掌握导数的四则运算法则；掌握反函数求导法则与复合函数的求导法则；2.基本练习：熟记四则运算求导法侧，对四则运算表示的函数进行求导计算；熟记反函数求导法则与复合函数的求导法则，熟记反三角函数和对数函数的求导公式，对反函数和复合函数进行求导计算；熟练使用公式计算初等函数的导数。3.注意事项：

(1)若函数可以化简时，应先化简再进行求导运算，这样可以简化计算步骤。

(2)利用链式法则求复合函数的导数时，首先应对函数的复合关系做到心中有数，在具体计算时不要遗漏复合函数的复合步骤。

(3)要注意商的求导、复合函数的求导以及区分与的求导公式。494思路:(构造性定义)求导法则其它基本初等函数求导公式证明中利用了两个重要极限初等函数求导问题本节内容495一、四则运算求导法则

定理1.的和、差、积、商(除分母为0的点外)都在点x

可导,且下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和例题.496此法则可推广到任意有限项的情形.证:

设,则故结论成立.497(2)证:

设则有故结论成立.498(3)证:

设则有故结论成立.推论:(C为常数)4994910求导法则的推广

(u

v

w)

=u

v

w

(uvw)

=u

vw+uv

w+uvw

特殊情况

(Cu)

=Cu

注意

一般地说,乘积的导数≠导数的乘积;

商的导数≠导数的商.4911例1解例2求及解4912例3求解4913例4解同理可得4914例5解同理可得正割函数的导数余割函数的导数4915例6解4916二、反函数的求导法则定理或即反函数的导数等于直接函数导数的倒数。4917

由于x

f(y)可导(从而连续)

所以x

f(y)的反函数y

f

1(x)连续

当x

0时

y

0

所以4918例7解同理可得4919特别地例8解利用反函数的求导方法4920在点x

可导,三、复合函数求导法则定理3.在点可导复合函数且在点x

可导,证:在点

u可导,故（当时)故有(复合函数导数的链式法则)

4921推广即因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)4922例如,关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导。推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.4923例9解4924例10求解可看作由复合而成，4925例11解4926例12解例13解4927例14求解思考:

若存在,如何求这两个记号含义不同练习:

设的导数?4928例15.

求下列导数:解:(1)(2)(3)说明:

类似可得4929注熟练地掌握了复合函数的分解及链式法则后，可以不写出中间变量（符号），采用逐层求导的方式计算复合函数的导数（这样可省去还原这一步）。4930四、基本求导法则与导数公式

1.基本初等函数的导数公式(1)(C)

0

(2)(xm)

m

xm

1

(3)(sinx)

cosx

(4)(cosx)

sinx

(5)(tanx)

sec2x

(6)(cotx)

csc2x

(7)(secx)

secx

tanx

(8)(cscx)

cscx

cotx

(9)(a

x)

a

xlna

(10)(e

x)

ex

49312.有限次四则运算的求导法则(C为常数)3.复合函数求导法则4.初等函数在定义区间内可导,由定义证,说明:最基本的公式其它公式用求导法则推出.且导数仍为初等函数4932现在我们可以（利用基本初等函数的导数及常数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数导数的链式法则）求出所有初等函数的导数。4933解例16求函数

的导数.4934解例17求函数的导数.4935

例18

y

sinnx

sinn

x(n为常数)

求y

nsinn

1x

sin(n+1)x

ncosnx

sinn

x+nsinn

1x

cosx

(sinx)

n

sinn

1x+sinnx

sinn

x

ncosnx+sinnx

(sinn

x)

(sinnx)

sinn

x

解

4936例19解4937例20.求解:例21.设解:求4938例22.求解:关键:

搞清复合函数结构由外向内逐层求导4939例23.设求解:4940五、小结2、反函数的求导法则（注意成立条件）.3、复合函数的求导法则（链式法则）（注意函数的复合过程）.4、基本函数的导数公式。

注意:分段函数求导时,分界点处的导数要用左右导数来求.1、导数的四则运算法则：5、可以求出所有初等函数的导数。

49411.思考与练习对吗?2.

设其中在因故时,下列做法是否正确?在求处连续,4942正确解法:49433.

求下列函数的导数解:(1)(2)或49444.

设求解:

方法1

利用导数定义.方法2

利用求导公式.4945作业P972(2),