高中数学课件(必修一)全册

高中数学课件 宋老师

2012.5.18永一切隔数形数焉数远体莫离形少无能与 联

华系

罗莫

庚分

离忘分结数形分形九家合时时作架何万百难少两是代事般入直边相数休好微觉飞倚统依第二章：基本初等函数第三章：函数的应用第一章：集合与函数第一节：集合 集合的含义与表示一、请关注我们的生活，会发现1、高一班的全体学生：A=｛高一班的学生｝ 2、中国的直辖市：B=（中国的直辖市｝

3、2,4»6,8,10,12,14:C=｛2»4,6,8,10,12,14｝ 4、我国古代的四大发明：D=｛火药，印刷术，指南针，造纸术｝ 5、2004年雅典奥运会的比赛项目：E=[2008年奥运会的球类项目｝如何用数学的语言描述这些对象？?二，集合的定义与表示

1、通常，我们把研究的对象称为元良，而某些拥有共同特征的元素所组 成的总体叫做集合。并用花括号势括起来，用大写字母带表一个集合，其 中的元素用逗号分割。2、集合有三个特征：确定性、互异性和无序性。就是根据这三个特征来判断是否为一个集合口2、1,223这四个数字3、我们班上的高个子男生讨论2:集合｛2,b,c,d｝与｛b,c,d,a｝是同一个集合吗?三、数集的介绍和集合与元素的关系表示1、常见数集的表示N:自然数集（含0）即非负整数集N+或N*:正整数集（不含0）Z: 整数集Q： 有理数集R: 实数集 若一个元素m在集合A中，则说mwA,读作"元素m属于集合A”否则，称为meA,读作“元素m不属于集合A口例如：1WN,-5Z,kQ1.5任N四、集合的表示方法1、列举法就是将集合中的元素一一列举出来并放在大括号内表示集合的方法注意：1、元素间要用逗号隔开；2、不管次序放在大括号内。例如：book中的字母组成的集合表示为：{b,o,o,k} {b,o,k}一次函数y二x+3与y二-2x+6的图像的交点组成的集合。{1,4}{(1.4)}就是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。其一般形式为：{XIp(x)}例如：book中的字母的集合表示为：A={x|x是book中的字母}所有奇数组成的集合：A={xeR|x=2k+l,keZ}所有偶数组成的集合：A={xeR|x=2k,kCZ}注意：1、中间的 不能缺失；2.不要忘记标明kwR或者kCZ,除非上下文明确表示。思考：L比较这三个集合：A={x€Z|x<10}，B={xWR|x<10},C={x|x<10}；例题：求由方程y-1二0的实数解构成的集合。解：⑴列举法:”,1}或{1,-1}。(2)描述法:{x|x2-l=0,kwh}或隹|又为方程(-1二0的实数解}如果两个集合的元素完全相同，则它们相等。例：集合A二｛x|x为小于5的素数｝,集合A二｛x R|(x-1)(k-3)二0｝,这两个集合相等吗。五、集合的分类

根据集合中元素个数的多少，我们将集合分为以下两大类：

1、有限集：含有有限个元素的集合称为有限集特别，不含任何元素的集 合称为空集，记为0,注意：6不能表示为的｝。2.无限集：若一个集合不是有限集，则该集合称为无限集1、直线厂区上的点集如何表示？2、方程组JU-y=1 rx+v=2' 的解集如何表示？3、若｛1,a｝和｛a,a9表示同一个集合，则a的值不能为多少？ 实数有相等关系、大小关系，如5=5,5<7,5>3,等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间的什么关系？观察下面几个例子，你能发现两个集合之间的关系吗？A二{1,2,3},B={1,2,3,4,5};A为新华中学高一⑵班女生的全体组成的集合,B为这个班学生的全体组成的集合；设C={x|x是两条边相等的三角形},D二{x|k是等腰三角形}.一、子集和真子集的概念1、子集：一般地，对于两个集合A、B, 如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子记作：Ac5读作：A包含于B,或者B包含A k可以联系数与数之间的V2、真子集：

如果集合AG8,但存在元素 且keA,则我们称集合A是集合B的真 子集。即在子集的情况下，去掉二者相等的情况。记作4u风或者 可以联系数与数之间的关系二”和*>”3、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作力，并加定；空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。注意：1、任何一个集合是它本身的子集，即AGA2、对于集合A、B、C,如果AUB,则AGC,对于也同样适用。3、注意“W”“仁”在什么时候用，不能混淆。4、补集与全集设AqS,由S中不属于集合A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集,记作C.A,即C.A={xlxES.JLx^A}如图，阴影部分即CsA.如果集合S包含我们所要研究的各个巢合，这时集合S看作一个全集，通常记作U。例题、不等式组/2x-l>°的解集为人，U=R,试求A及gA,并把它们分别表示在数轴上。KCDA在U中的补集是什么？2、U=Z,A={x|x=2k,keZ}? B二{x|x=2k+1,KWZ},则CgA=3= 练习题1、下列命题： 重点考察对空集的理解！集没有子集；

集合至少有两个课；

是任何集合的真律：0uA,贝Mw0.其中正确的有)v 13x-2=1},2&—1},B&A,A.0个B*1个C.2个D.3个2•设才,p£R,A={(x,y)|y-3=x-2},B={(x?y)|则A,B的关系是.3•已知A二{x|—2x5},B二{x|且+1£求实数且的取值范围.4、设集合A={k门＜x13},B={x|x-a》O},若A是B的真子集，求实数a的取值范围。5、设A二{1,2}5B={x|x^A}.问A与B有什么关系？并用列举法写出B?6、设集都={x|x*+4x二0},B二{x|x*-F2(a+1)x+a2-1=0,aeR},若B7A,求实数次的值.7、判断下列表示是否正确：(l)ae{a}; {a,b};{a,b}i{b,*;(4){-1,1}u{-1,0,1}0的； (6)(|)c(-1,1}. 集合与集合的运算

1、交集

一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集, 记作AAB,即

AAB={x|x€A,且x£B}

AAB可用右图中的阴影部分来表示。其实，交集用通俗的语言来说，就是找两个集中中共同存在的元素。例题：

LA={-1,1>2,3},B={-1>-2>1}JC={-U};交集的运算性质：

(l)AcA=A

(2)Ac0=0

(3)4小6=6八4(4)Ar>B A,Ar\B(5)A=B则Ac6=4B思考题：如何用集合语言描述？ 设平面内直线4上的点的集合双1，直线4上点的集合为l,试用集合 的运算表示么，小的位置关系

解： 4"之相交于一点阿表示为：乙C与 二｛点口；

（2）直线4，4平行可表示为：乙c/ 二0;

（3）直线4人重合可表示为：Zic4=4=4*2、并集

一般地，由所有属于集合A或者属于集合B的所构成的集合，称为A与B的并集,记作AUB,即

AUB二{x|xcA,或x6B} 一AUB可用右图中的阴影部分来表示其实，并集用通俗的语言来说，就是把两个集合的元素合并到一起口所以交集是“求同”，并集是存并。例题：设集合人二《X/-1M2},集合B={£"q<3} <AUB.解:AUB二{x/- U{xjl<x<3}

-{xl~l<x<3}123并集的运算性质：

(1)AuA=A Au0=A

(3)AuB=5uAAUB(4)AcAuB?BcAu5,AnBcAuB

(5)4R则AuB”注意：计算并集和交集的时候尽可能的转化为图像，减少犯错的几率，常用的图像有Venn图，数轴表示法，坐标表示法口尤其是涉及到不等式和坐标点的时候。判断正误

(1)若U二｛四边形),A二｛梯形｝,

则CQ二｛平行四边形｝

(2)若U是全集，且A三B,则CQuCuB

(3)若U二｛1，2,3｝,A二U,则Q；A二巾2.设集合A二{|2a-1|,2},B二{2,3,a2+2a-3},且CbA二{5},求实数a的值口3.已知全集U={1,2,3,4,5},非空集A={xwU|x2—5x+q二0},求CQ及q的值口-4、己矢IL4={"/-px-2=0}, 二{k \x2+qx+r=0}且W9B={-2,1,5},AoB-{-2},求p,q,M勺值. （解得：p=-l,q=-3,F=_K））5”设/={—4,2百―1,标},6={&―5,1—氢9},己知月c5={9},求h的值，并求出/u民6、己知力={, 1/一3x+2=0},8 二{, 1十 一ht+w-1=0}若/\jB-A,求实数h的值.7、设集合月={x 一2<M< —1}u{%|犬>1},3 二{/|a 犬 3}若兑uB={x 式>—2},rc9 二{x|1<4 3},求晶入的值. （解得g=-1/=3）第一章：集合与函数界二P:函数^函数及其表示一、函数的概念 小明从出生开始，每年过生日的时候都会测量一下自己的身高，其测量数据如下：年龄（岁）身高（cm） 在物理上，站在一个高楼上，向下扔一颗石子做自由落体运动，如果石子的初速度为0，则其下降的高度与时间t的关系公式是：

h=}g*2,g取9.8的话，则八=4.9“ 从以上两个例子，我们可以把年龄当做一个集合A,身高当做一个集合B;把时间当做一个集合C,把下降高度当做一个集D。那么对于集合A、C中的每一个元素，集合B、D中都有唯一的一个元素与其相对应。比如，对于A的每一个元素“乘以w再加20"，就得到了集合B中的元素。对于集合C中的元素“平方后乘以4.9”就得到集合D中的元素。因此，函数就是表达了两个变量之间变化关系的一个表达式。其准确定义如下： 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数X,在集合B中都有唯一令定的数f(x)和它对应,那么就称f:AtB为集合A到集合B的一个函数(function),记作y二f(x),

其中，x叫做自变量,x的取值范围A叫做'函数的卫域；与k的值相对应的y值叫做函数值(因变量)，函教值的集合｛f(x)|xWA｝叫做函数的值域。而对应的关系f则成为对应法则，则上面两个例子中，对应法则分别是“乘以10再加20”和“平方后乘以4.9” 通过上面的两个例子，我们说明了什么是函数，上面的两个例子都是研究的数值的情况，那么进一步扩展，如果集合A和集合B不是数值，而是其他类型的集合，则这种对应关系就称为映射。具体定义如下：

设A、B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系「使对于集合A中的任何一个元素m在集合B中都有唯一确定的元素、与之相对应，那么就称对应f：AfB为集合A到集合B的一个映射口 三、函教的三种表示方法

解析法，图像法，列表法。详见课本P19页。四、开区间、闭区间和半开半闭区间：jtiuVr*Cb}/· 尔名称符号-0" b 0——* • b *数轴代示HJIKOdu«h，FIK间(u«〃)(।加TJFTfflKliiJ3・6)-"•b

-A

o*"uWMVJF#用区间Q.川实数R的区间可以表示为（-8，十8） ★深入理解函数表示方法的解析法

Y=/(x)二2,+3工=5j求f(2x),f(打+x2)若g(》)=2尤+1,求：f(g(x))1、函数是高中数学乃至大学数学中最为重要的组成部分，大部分的章节都会与函数进行穿插出题.2、不管是映射还是函数，都是唯一确定的对应，即对于A中的元素有且仅有一个B中的元素与其相对应c深入的理解这句话就可以得到：可以多对一，而不能一对多.3、分母不能等于零，二次根号下不能为负数，分子分母的未知数不能随便约,根号不能随便去掉，都是求定义域的典型考点。详见课本例题。4、判定两个函数相同的条件：一是对应法则相同，二是定义域和值域相同口1、判断下列对应是否为函数：

(1)X —> —,X 金0,才£火；(2)才2、下列几种说法中，不正确的有：一 匕这里y2=x,xwN,ywR. 才A、在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应;B、函数的定义域和值域一定是无限集合；

C、定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定；

D、若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素口E、若函数的值域只含有一个元素，则定义域也只含有一个元素。3、求下列函数的定义域：(1)4)=-1;(2)4)=.(1)干(犬)=(,—if+1,X£{—1,0,1,2,3}; =(X-l)3+1-5、判断下列各组函数是否表示同一函数？(D、y=工2一1X—1 =*+1(2)、y=J大工—l^y=x—16、已知f(x)二 (xWR,且 g(x)=尤2+2(1)求f(2)、虱2)的值;(2)求f[g(2)]的值；(3)求电(初1- 求下歹1J函数白勺定义城<1)片(X)=马3k+2=—x-3 +V^2—4(3)广(X)= -x之十(j：Vx2、求下列函数的值域;y=Ju+1+2y=/—4才+6函数的基本性质——单调性设函数尸人»的定义域为4区间/之4如果对于属于定义域川内某个区间1 设函数户《药的定义域为4区间ICA如果对于属于定义域月内某个区间/上上的任意两个自变量的值 药， 的任意两个自变量的值孙丐，当工i＜制时，都有（看） k巧）， 当.8＜当时，都有f区） 4题）， 那么就说在不见这个区间上是单调增函数，用；为《刘的单调增区间. 那么就说在《为这个区间上是单调减函数，用;为《尺的单调减区间.单调区间 二、函数单调性考察的主要问题

1、考察一个函数的单调性,必须指明区间,否则没有意义，也就是说必须指明函数在某个确定的区间上是否有单调性口函数单调性是针对某个区间而言的，是且X2>X1,通过计算f(X2)—f(Xl)>0或者<0恒成立。里面通常都是用因式分解的办法，把f(X2)—f(xi)转化成(X2-X1)的表达式。最后判断f(X2)—f(xi)是大于口还是小于00例1、下图为函数尸f(x),xf[-4,7]的图像,解：单调增区间为 [—1.5,3],[5,6]单调减区间为 [—4,-1.5],[3,5],[6,指出它的单调区间。例2.画出下列函数图像，并写出单调区间：

"L y二!的单调减区间是（一吟0），。* +8）形 缺（i）y=—（•<■*0）；1 能不能说y=，讨论1:根据函数单调性的定义， X5m0）在定义域（-吟0）U（0,+8）上 是单调减函数？讨论2:/㈤二七依a0）在（-8,0）和（0,+8）上的单调性？例3.判断函数y=3+—在定义域口，+8）上的单调性, X主要步骤1.任取玉，巧€77,且玉<%；2-作差纶Q—《©；3.变形（通常是因式分解和配方）；4.定号（即判断差《£］）—《x3的正负）；5.下结论并给出证明：形 少 教日十

稚入微证明：在区间[1,+8）上任取两个值X1和x2,且xl<x2取值则=（xL-x2）+（—一 - 一9内 马）-/(^2)=(xL+-)-(x2+—)/ 、（马一项）作差变形**'xinX2E(L十0^),口_修<X2***JVj一*2V°3工1x2一1>0｝定号结论「./（项）-/（j）<o,二/（须）</02）所以函数y=%+- X在区间上[L+8）是增函数.练习题1、若二次函数/@)=—3十4在区间(-8』上单调递增，求a的取值范围。2、课后习题函数的基本性质极值(最大值和最小值)一般地，设函数kf(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: (1)对于任意的 都有

(2)存在了0CI,使得f(&)=Mo

那么我们称M是函数LRx)的最大值元二次函数一、定义一般地，如果y=ax2+bx+c（ajb,c是常数，a*。），那么，y叫做m的二次函数0推得对称轴为直线一a顶点坐标为（一，一般式解析式使用范围y=ax2+bx+c已知任意三个点顶点式已知顶点（h,k）及另一点y=a(x-h)2+k交点式y=a(x-x)(x-Kj已知与X轴的两个交点及另一个点四、平移问题

对一个已知函数进行平移，如函数的表达式可以统一表示为y=f(x),则平移后的方程遵循右上减，左下加的原则，具体如下：

净向右平移k个单位, 则平移后的表达式为y二g-k);

今向左平移k个单位, 则平移后的表达式为y=f(x+k);

净向上平移h个单位,

则平移后的表达式为y-h二f(x)； 今想下平移h个单位, 则平移后的表达式为y+h二f(x);

多如果在横向和纵向上都有移动，则同时根据上述原则变化y和f(x),各变各 的，再进行整理。如：向左平移k个单位，向上平移h个单位，则平移后 的表达式为y-h=f(x+k)对其向左平移100个单位，再向上平移50个单位，则平移后的方程为:解：向左平移100个单位，则用（x+ioo）代替所有的x,向上平移50个单位，则用（f50）代替所有的上代替结果如下：y-5O=3（x+ioo）2+8O（x+100）—10, 整理后即可。注意：

1、在替换的时候要替换所有的,尤其是x,替换时候最好带上括号，避免出错。2、平移的先后次序不影响平移结果,即无所谓先向左右，还是先向上下。只要是向坐标轴的正向移动，就用负号，只要是向坐标轴的负向移动就用正号。例题：已知二次函数尸三4k-- 1 *（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于G息，与x轴交于A、B两点，求J A,B的坐标口

（3）画出函数图象的示意图内

（4）求AMAB的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时,y<o?x为何值时,y>o?:抛物线的开口向上 对称轴 1

ty=53+2x+l)-2二1(k+1产2，对称轴 顶点坐标M(lf-2)x=0,解得产号「.抛物线与y轴的交点C(0,—-)由尸0,得#+x-；0解得：与二-3 的二1，与x轴交点A(-3,0)B(1,0) 定顶点

确定与坐标轴的交点及对称点由对称性可知

MA二MB二 二2加AB=|xrx2|=4「•AMAB的周长二2MA+AB =2夜X2+4=4V2+4

的面积二2ABXMD二-><4X2=42由图象可知

当-3<k<i时，y<o

当x03或*>1时，y>0当xw-1时，y随x的增大而减小；

当k二-1时，y有最小值为y截小值二-21.抛物线y=2(光 —3)的顶点坐标是().(A)(」,—3)(1,3)(C)(-l,8)2.在同一直角坐标系中，抛物线是()(A)0个个(C)2个(D)3个+4无-、

与坐标轴的交点个数3,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则有( )(A)a<0,b<0,c>0 (B)a<0,b<0,c<0(C)a<0,b>0,c>0 (D)a>0,b<0,c>04、二次函数x—6的图象顶点坐标是对称轴是05、抛物线y二-2xz+4x与k轴的交点坐标是6、已知函数y二一x2-x-4 当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是7、二次函数y=m/-3x+2m- 的图象经过原点，则m二 口8、二次函数的图象如图所示，则在下列各不等式中成立的个数是abc<0a+b+c<0a+c>b@2a+b=0A二b-4ac>09、二次函数/因满足给研V二Q切且华片0有两个实根盯电,则占子均等于.当xw(-8,-1］时是减函数，当xe(-1,+8)时是增函数，则10、数@=2N-mx+3,f(2)=11.关于x的方程/研优-功h0习二巡一根比1大，另一根比1小，则有( )(A)」y 2或鼻>?(C)-2Va<1 (D)nV—『或笈>212、设其了是关于m的方程序-为m年/严片＞1严的最小值是(C)于6=0的两个实根，则(A)-12 (B)18 (C)8 (口)3413、设函数f(x)二jxj *x+bx+c、给出下列命题：时，/闻=0只有一个实数根；中0时，尸取)是奇函数；y二次幻的图象关于点(0,0对称；版=0至多有2个实数根.上述命题中的所有正确命题序号是卫驾函数的基本性质——奇偶性1、已知函数f(x)二x2,求f(-2*(2),f(-及并画出它的图象。长2)二给解：f(-2)=(-2)2=4f(2)=4f(-X)二(-X产二X2说明:当自变量任取定义域中的两个相反数时,对应的函数值相等即f(-x)=f(x)偶函数定义：如果对于f(x)定义域内的任意一个X,都有竹-x)才仪),那么函数Hx)就叫偶函数.2.已知f(x)二x',画出它的图象，并求出f(-2),f(2),ff(-x)解：f(-2)=(-2)3=-8f(2)=8f(-2)=-f(2)f(-l)=(-l)3=-lf(l)=lf(-D=-f(l)f(-x)=(-x)3=-x3f(-x)=-f(x)说明:当自变量任取定义域中的两个相反数时，对应的函数值也互为相反拍即奇函数定义:如果对于f(x)定义域内的任意一个X,都有f(-K)=-f(X)，那么函数f(x)就叫奇函数.★对奇函数、偶函数定义的说明:

(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。如，Rx)=x2(X>0)是偶函数吗出句1®b]*°(2)奇、偶函数定义的逆命题也成立，即:若f(x)为偶函数，则f(-x)二f(x)成立。若f(x)为奇函数，则f(-x)二一f(x)成立。(3)如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。例1.判断下列函数的奇偶性f(X)=X3+2X(2)f(X)=2X4+3X"解：定义域为R解：定义域为R•••R-x)=(-x)3+2(-x) =-x3-2x=-(x3+2x)即f(-x)=-f(x)・・・f(K)为奇函数Vf(-x)=2(-x)4+3(-x)2

=2x4+3x2即长x)二f(x)「.f(x)为偶函数★奇偶函数图象的性质:

(1)偶函数的图象关于y轴对称.反过蒋如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数为偶函数.(2)奇函数的图象关于原点对称.反过来，如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数为奇函数.注：奇偶函数图象的性质可用于:

.简化函数图象的画法。

判断函数的奇偶性。★两个定义:

对于f(x)定义域内的任意一个X,

如果都有f(-X)二-f(x) 为奇函数。 如果都有f(-x)二f(x)^*f(x)为偶函数。★两个性质：

一个函数为奇函数(=它的图象关于原点对称。一个函数为偶函数小�它的图象关于y轴对称。练习题(l)f(x)=x+j f(x)二-Y+lf(x)=5(4)f(x)=O[-1?3]•f(x)二x+1(6).f(x)=x2x(8).f(x)3(7).f(x)二近第二章：基本初等函数 第一节：解教函数指数与指数赛的运算根式我们学过（土2）2=4，（±2）4=16,25=32,我们分别把土2叫做4的2次方根，16的四次方根，把2叫做32的五次方根。因此，在这一节，我们规定如果xn-a,那么汇叫做q的ri次方根，其中n>1,ILnwN+

当门是奇数时，正数（即aaQ）的n次方根有一个，负数（即a<0）的n次方根有一个，即版.当n是偶数时，正数（g即a>o）的n次方根有两个，这两个数互为相反数即：±顿，负数（即a<o）的n次方根没有意义。探究根据上述定义】知而表示什么含义呢？表示〃的n次方根, 那么可以推导出如下公式： a a>o

当口为奇数时,V苏二日，当n为偶数时,V而二同=-4I-日 a≤o1 1在上面，我们知道22=4,24=16,25=32,那么2乐2可又等于多少呢？我们规定：m

获二且n》1）. 一里

a~^-^j==（日＞0,m,nEN*,且nx）0的正分数指数赛等于o,0的负分数指数赛没有意义。指数运算法则as=屋+s,—=ar~s,a~r=—(a>0,r」sER)as ar(Q)=ars(a>0,r,sGfi)(qb)r= 'br(a>Q,rfsER)指数函数及其性质4|例1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……门个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系是什么？分裂次数：1,2,3,4,⋯，x细胞个数：2,4,8,16,⋯，y由上面的对应关系可知，函数关系是 y=2"引例2:某种商品的价格从今年起每年降低15%,设原来的价格为1,k年后的价格为y,则y与x的函数关系式为y二°.85定义我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于o且不等于1的常量的函数叫做指数函数.即：y二诡（0>0且,其中x是自变量，函数定义域是R探究1：为什么要规定日＞0，且日P呢？二0,贝1]当X＞0时，q'二0；当XM0时，0’无意义.]x=-，…等等，在实数范围内函数值不存在"＜0,则对于K的某些数值，可使诡无意义.如（-2）\这时对于x=1,二1,则对于任何xwR,a工=1,是一个常量，没有研究的必要性.为了避免上述各种情况，所以规定日＞0且a1在规定以后，对于任何XR, 都有意义，且4工＞0.因此指数函数的定义域是R,值域是（0,+8）.探究2：如何判断一个函教是不是指数函数：指数函数的解析式产Q*中，Q汇的系数是1.有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如尸g+k（a＞o且 kWZ）;有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如y=Qf（40,且31）,因为它可以化为y=（今"其中a〉。，且a#仁教你一招：看该函数是否通过（0力）点。在同一坐标系中分别作出函数y二2"y=尸，y=10"y=一0.25240.13

3 8

尸的图象.++列表如下：00.51X++e-3-2-1-0.511.42++ey=2汇++e0.130.250.50.71尸（：）"++e8421.410.710.5++eX++e-1.5-1I-0.5-0.2500.250.51I1.5…y=10^++e0.030.10.320.5611783.161031.62++ey=（力++e31.62103.161.7810.560.320.10.03++e我们观察y=2汇，y=G)二片103y=(1产的图象特征，就可以得到的图象和性质如下：课本P56、57中的例6、例7和例8课堂练习：课本P58的练习1、2 进二一步拓展例1求下列函数的定义域、值域：卡(Dy=0.4口 (2)y=3匹 (3)y=2X+1.^例2求函数y=(g) 的单调区间，并证明在例3设a是实数，f(x)=a-^^(xeR)^ 2+1试证明对于任意a,/(x)为增函数；，进二步拓展例2求函数y= 的单调区间，并证明.对任意的1<%<毛.，有小<的 是减函数+1「•『=- 在［1,+x）是减函数川对任意的修〈修≤，有均>物，又门Y¬是减函数?21"%<外 落3 门、

二y=- _

在［1,+M0是增函数川引申：求函数y=

【2J的值域（o<y徐查统习课本P59页习题2」第二章：基本初等函数 第二节：对教函教对数及其运算前节内容回顾：在上一节中，我们研究了指数函数冷於的性质，包括了：定义域，值域，单调性，单调区间，指数的运算法则，其实，对于任何一个函数，其研究才法都是从这几个南度开始，下面我们按照同样的思路对对数函数进行学习。引导：在指数函数中我们研究的是22二？，23=?,25=? 0那么，反过来，2?=42?=8,2?=32,就是研究的对数问题。定义：一般地，如果小二N(q0,且,那么数x叫做以a为底的N的对数,记作x=log”。底数指数分J«J* 底数真数H激/I I =NologaN=*两种特殊的底：10和七

通常，我们把以10为底的对数叫做邕座i数，并把logioN记作IgN。另外，在科学技术中常使用以无理数户2,71828……、为底教的对数,以e为底的对数称为直然对数,并把log州记作InM>og2(-l)=?Jog20=?,log2l=?匚＞结论：负数和零没有对数0练习：

课本P64页从指数函数的运算法则，我们知道Q711*出1=以m+"，我们设M二Qm,n二腔，那么MN二九，由对数的定义我们可以知道lugoM=m,loga/V=n,所以，我们可以得到：加果a>0,且3于17M>0,N>0，那么：

log式MN)=m+n=log口M+log/；

同理，由t=出1\我们可以得至klogn第=m-h二logqM-logj；由(o切f=amn,我们可以得到：logaMn=nlogaM(n^R)探究：log/】N=?小g“N=?loganN=-loga/V；Q0gaN=Nn两边取『I然对数得：―帖群力三.ln_trI小 ,InA

请证明：10且如人=臀也，其中，a>0,且aol,c>0,且g1，ba0;设1了三人唱」瓦切：相三人（23口后：："0）我的边取常用对数得： 电/=植物工也0三棺瓦h0星-噌nfw：1幅3丁警棺比或两边收以任何大于1的数为底的对效对：也叫:电31例题讲解：1、课本P65页，例2—例6：

2、log2M8=?课堂练习：1,课本P68页 对数函数及其性质

复习引入

我们研究指数函数时，曾讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，由1个分裂成a个，2个分裂成4个 1个这样的细胞分裂成X次后，得到细胞个数y是分裂次数x的函数，这个函数可以用指数函数上?^ 表示。反过来，1个细胞经过多少次分裂，大约可以等于1万个、10万个 细胞？已知细胞个数y,如何求分裂次数x?得唯样一个新的函数？工—>4x=log2y丫二炉y=log2x 一般地,函数y=logH（a>05且aml）叫做对数函数；其中x是自变量（在真数位置），函数定义域是（0,+8）

注意：3>0且"1,xw（01+oo）2、指数函数与对数函数两者图像之问的关系在同一坐标系下利用描点法，画出函数y二1留2M和函数n二2工的图像338 •*-8Zj3 **-X**-3-2-1-0.500.512尸2汇**0.130.250.50.7111.424X**0.130.250.50.7111.424y=io§2^**-3-2-1-0.500.512y二庄y二Hy=iogj2例1:求下列函数的定义域：

(l)y=log〃/； y=log“(4-X);y二log口(9-炉)分析：此即主要利用对数函数V=10gqX的定义域(0?-8)求解#解：(1)由i>0得工工°"(2)由4一.(>0得x<4,'•.函数y=logi4-x)的定义域是｛x|x<4｝d .函数y=logm/的定义域是 工。。｝:"(3)由9— >0W~3<x<3? /.二函数1y=108式9一1)的定义域是｛k|一3cx<3b反函数1、定义： 由函数y=2*我们可以写成x=logzy,对于y=2x来说，每一个自变量芯的值都有唯一的y值与其相对应，同样，对于每一个y值也只有唯一的一个X与其相对应，而x=log2V,我们可以看成自变量为外因变量为K的函数D对于这样的函数，我们称二者互为反函数。但是通常我们都是把k作为自变量，因此把X=log2y记作y=log2x 互为反函数的两个函数的图像是关于y二k的直线对称。2、求法: 已知某个函数的表达式，Lf(x),求其反函数的方法和步骤如下: (1)通过表达式y二f(x),把函数表示成x=g(y)的形式

(2)把求得的x=g(y)的位置对调,即y=g(x)的形式

3、注意：只有是严格一一对应的函数才能求其反函数，对一的情况的函数是没有反函数的口有反函数不一定有单调性，如*1/x练习课本P73,74页・第三节：赛函教第二章：基本初等函数需函数定义

一艇地，函数y=1。叫做球函数,其中X是自变量，0是常数。对于森函数，我们只讨论a=123,g-1时的情况。注意：赛函数的判断标准：针的系数必须是1,根据这一定义，氟函数必过(1,1)点。yX2y=x12 元

y=x2y=-%268y二尤0<a<1时a<0时81014第三章：函数的应用 第I节：函教与方程 基础知识自主学习

要点梳理

L函数的零点

(1)函数零点的定义

对于函数y=f(x)(xWD),把使f(x)=O成立的实数x叫 做函数y=f(x)(x£D)的零点.方程f(x)=0有实数根。函数y=f(x)的图象与金_有交点a函数v=f(x)有零点.(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数月G)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)・f(b)<0,那么函数V=f(x)在区间(a,b) 内有零点.即存在 (a,b),使得《)=0 ,这个q也就是f(x)=0的根.2，二次函数卡联+bc+cq>0）的图象与零点的关系A>0A=0A<07（a>0）的图象y=a^+b0x7i0[（V0）(%0)无交点与涮的交点(%0)零点个数两个一个无3.二分法

(1)二分法的定义

对于在区间［a,b］上连续不断且f(a)・f(b)<0的函数ff(W，通过不断地把函数f(X)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近重照,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.(2)用二分法求函数f(m零点近似值的步骤第一步，确定区间［a,b］,验证.f・f(b)<0,给定精确度£；

第二步，求区间(a,b)的中点为；第三步，计算f(v：

f(X)=O,则m就是函数的零点；

f(a)・f(xJ<0,则令b=%

(此时零点％£(a,均))；

f(xj•f(b)<0,则令a=%

(此时零点飞£(%,b))；

第四步，判断是否达到精确度2：即若|a-b|<e，则得到零点近似值a(或b)；否则重复第二、三、四步.L若函数f（W=ax+靖一个零点为2,则g 零点是 A.0,2 B.0,工 2 C.O,-i D・2,_L 2 2，g3=-2睽-ax=-ax(2xH)• 由f(2)=2a+b=0,得b=-2a,令g®=o,得x=o,x=-；,•••g(x)的零点为o,—L2 ax的（C）2.函数f（X）=3ax-2a+l在［-1, 贝（la的取值范围是在一个零点， （D）A.a — B・aWl

5

C�一l≤a≤l5 a≥—或a5

-1解析 f(x)=3册2a+l在［T,1］上存在一个零点,则…】3。之*-3.函数图象与谢均有公共点，但不能用二分法求公解析 图B不存在包含公共点的闭区间［a,b］使函数f(a)・f(b)<0.4.下列函数中在区间［1,2］上一定有零点的是(D) A.f(融=3淤-4x+5B,f(x)=^-5^5C・f(X)=m*-3x+6D・f(X)=ex+3x-6解析 对选项D, •・¥(1)=e-3<0,f(2)=e2〉0,Af f(2)<0.解析 当X21时，/（X）-_=0,即2k-2-—=0,4 49，x=W.当）（（1时， ——=0,即f—2%—j=05··· 4 的零点为4学.o

光=小@（舍去大于1的根）.7k 4 4 题型分类深度剖析

题型一 零点的判断

【例1】判断下列函数在给定区间上是否存在零点.(l)f(x)=m-3天18,xe[1,8]；(2)f(x)=log2(x+2)-x,xe[1,3].思维篇i1)问利用零点的存在性定理或

直接求出零点，第(2)问利用零点的存在性定理或利用两图象的交点来求解.解 (1)方法一•••f(1)=12-3Xl—18=—20<0,f(8)=82-3X8-18=22>0,•••f •f(8)<0,故f(X)f?-3x-18,X£[L8]存在零点.方法二 令f(»=0,得弁-3犬18=0,X£[1,8L，(犬6)(x+3)=0,·..六6£[1,8],玲-3仁[L8],Af(x)=x?-3x-18,xw[l,8]有零点.(2)方法一 Vf(1)=log23-l>log22-l=0,f(3)=log25-3<log28-3=0,・・・f •f(3)<0,故我m=1082（22）-hm6[1,3]存在零点.方法二 设t10取（x+2）,卢K在同一直角坐标系中画出它们的图象，从图象中可以看出当l≤xW3时，两图象有一个交点，

因此f®=log2（X+2）-K

XG[1,3]存在零点.探究觥的零点存在性问题常用的办法

有三种:一是用定理，二是解方程，三是用图象.值得说明的是，零点存在性定理是充分条件，而并非是必要条件. 判断下列函数在给定区间上是否存在零点.(1)—=—+1；

(2)f(x)=--x^xe(o,i)·九

解 (1)Vf(x)=)^+l=(x+l)(i^-x+1), 令f(x)=0,即(x+1)($-x+l)=0,•••右-1, ···式溜=誉+1有零点-1.(2)方法一 令f(t=0,得工—x=0,上t=0, JC X

・..X=±l,而±1任(0,1),

Af(x)=--x,xe(0,1)不存在零点.方法二 令y=Fix,在同一平面直角坐标系中，作出它们的图象,从图中可以看出当0<x<1时,两图象没有交点.故 即（。，1）没有零点.题型二 函数零点个数的判断【例2】求函数TInX+2出6的零点个数.思藏I鳗转化为求函数月n串户6-2湖图象的交点个数，因此只需画出图，数形结合即可.解 在同一坐标系画出 ：丁y^lnX与f6-2项图象，由 北 6一次故函数卢Inx+2)e6只有一个W'零点.探究*用基本作图法，画出函数六加X+2*6的图象求零点个数，则太冗长.构造新函数/InX与W6-2K用数形结合法求交点，则简洁明快.知能迁移2 已知函数〃m=工+三伯>1）,判断f00=0的根的个数.解 设f】®=不（a>D,^（x）=一号，则f°d=。的解即为 17t菰以加的解,即为函数彳便 ）J.与f2（用图象交点的横坐标.在同一坐标系中，作出函数L3=小（a>l）与f2（x）=—三=3—1的图象（如2I%+1 X+1图所示）.两函数图象有且只有一个交点，即方程f（W=0有且只有一个根.【例3】(12分)已知函数f(X)=*+2ex+m-1,g3=x+ —(x>0)•(1)若g便二m有零点，求m的取值范围；

(2)确定m的取值范围，使得g®-f(W=O有两个相异实根.思维届迪)可结合图象也可解方程求之.(2)利用图象求解.等号成立的条件是ne.g(x)=jv+—2G=2e, '故g(廿的值域是［2e,+8),

因而只需m22e,则g3=m就有零点.方法二 作出g(%)=x+0的图象如图： 芯可知若使g(X)=m有零点，则只需m22e.4分

6分6分 若gN-f3=0有两个相异的实根，

即g(x)=f(x)中函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，其对称轴为ne,开口向下，"：10分最大值为m-l+e2.故当m-l+e2〉2e,即m>-e2+2e+l时，g(2与f(X)有两个交点，即g(X)-f(X)=0有两个相异实根.・・・m的取值范围是(-e2+2e+l,+oo).12分 探究她染利用零点求参数的范围的问题，可

利用方程，但有时不易甚至不可能解出，而转化为构造两函数图象求解，使得问题简单明了.这也体现了当不是求零点，而是利用零点的个数，或有零点时求参数的范围，一般采用数形结合法求解.知能迁移3是否存在这样的实数a,使函数f(m=健+ (3a-2)x+a-1在区间［-1,3］上与谢恒有一个零点,且只有一个零点.若存在,求出范围,若不存在,说明理由.f(-l)•f(3)=(l-3ai-2+a-l)•(9+9a-6+a-l)，若实数隔足条件,则只需f(-l)-f WO即可.所以aWT或a21.检验：⑴当吸1)=0时,a=l.所以f(w费+JC令f(冷=0,即m+x=0,得x=0或x=-l.方程在［-1,3］上有两根，不合题意，故a#l.(2)当f(3)=0时,a=_l,

5此物(x)=X2—

^/(x)=0,BPx2-yX-|=0,解之得x=一2或x=3. 5

1方程在［T,3］上有两根，不合题意，故aW--: 1

综上所述,a<--或粉L 思想方法感悟提高

方法与技巧

L函数零点的判定常用的方法有： 零点存在性定 理； 结合； 解方程f(X)=0.2.研究方程f(W=g®的解，实质就是研究G便= f(x)-g(x)的零点.3.二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法.其实质是通过不断地“取中点”来逐步缩小零点所在的范围，当达到一定的精确度要求时，所得区间的任一点就是这个函数零点的近似值.I.对于函数Tf(X)(XeP),我们把使f(x)=o的实数xnu 做函数的零点，注意以下几点：

(1)函数的零点是一个实数,当函数的自变量取这个 实数时,其函数值等于零.(2)函数的零点也就是函数rf(W的图象与湘的交点的横坐标.(3)一般我们只讨论函数的实数零点.(4)函数的零点不是点,是方程f(X)=O的根.2.对函数零点存在的判断中,必须强调：<)f®在［a,b］上连续;(2)f(a)•f(b)<0;(a,b)内存在零点.事实上,这是零点存在的一个充分条件,但不必要. 定时检测

一、选择题

L设f(X)=3J艳则在下列区间中，使函数 有零点 的区间是 (D) A.[0,1] B.[1,2]

C.[-2,—1] D.[-1,0]

1 7

解析 Vf(-1)=3-1-(-1)2=--1=--<05

3 3

f(0)=30-02=1>0，

Af(-1) •f(0)<0,

二有零点的区间是[-1,0].：•（2009•天津爵4）设函数—in%（x>0）,则月便（）A.在区间（L1）,（1,e）内均有零点B.在区间（LJ）,（1,e）内均无零点C.在区间（Lj）内有零点，在区间（l,e）内无零点D.在区间（1j）内无零点,在区间（1,e）内有零点解析 因为门1)./⑴e3 e e 3 33e因此f()0在d,l)内无零点.ei i e-3因此f(W在(1,e)内有零点.Xf(l)*/(e)=(-xl-lnl)<(-e-lne)=-^-<0.答案 D3.(2009-gW=492代2的零点之差的绝对值不超过0.25,则福建文，1T5若函数f(X)的零点与f00可以是 ( )设g(依=4叶2天2的零点为2,贝!I

^(1)=V2+|-2=V2-|<0,g(|)=2+1-2=1>0.解析

C.-川=所1・・・g(w=4乂+2-2在R上连续且D.“1

％)=111*—；<-, 1A.f(k)=4天1 B.f(X)=(w1)2又f(W=4x-1零点为

我w=6-1)2零点为41；

我的=€j1零点为X=0；

1 3

八1)=w;)零点为1=：2 2

答案 A4•方程|M-2x|=a2+lQ£R+）的解的个数是（b）A.1B.2C3D・4/X解析•••a£R+,•••a2+l>L而yH索-2x|的图象如图， 广工y=|炉-2x|的图象与y=a2+l\I的图象总有两个交点.OVTv1~~2二方程有两解.5.方程凶6-1)-1<=0有三个不相等的实根，贝!|k的取 值范围是人中) B・(O