决胜2021高考数学中高档题分项演练01 函数、方程与不等式【解析版】

决胜2021高考数学中高档题分项演练

专题01函数、方程与不等式

一、单选题

1.(2021•山西高三一模(理))函数/(x)=a[log«x|-l(a>0,且awl)有两个零点，则a的取值范

围为()

A.(1,+<»)B.ee>u(l,+oo)C.1e-e|u(l,+oo)D.51,+8)

【答案】B

【解析】

令/(x)=O,将题意转化为函数y=log』X图象与函数y=图象有两个交点，结合图象确定正确选项.

【详解】

/(x)=0,得|log“x|=e，即log|X=仕].由题意知函数y=log|X图象与函数y=仕丫图象有两

个交点.

(1Y

当。>1时，y=log|X,y=-草图如下，显然有两交点.

当0<a<l时，函数y=log】x图象与函数>=(£)”图象有两个交点时，注意到y=,y=logy互

为反函数，图象关于宜线丁=%对称，可知函数y=图象与直线丁=%相切，设切点横坐标与,则

综上，。的取值范围为《e7、U(l,+。。).

故选：B.

2.(2021•山东烟台市•高三一模)已知/(x)是定义在R上的奇函数，/(2-x)=/(%),当xe［0』］时,

/(x)=x3,则()

A./(2021)=0B.2是〃力的一个周期

C.当xe(l,3)时，=4D.〃x)>0的解集为(伏必+2)(丘Z)

【答案】D

【解析】

由f(x)是定义在R上的奇函数、f(2—x)=/(x)可得/(X)的最小正周期是4,即可判断A、B的正误，

然后可得时，=a然后结合条件可判断C、D的正误.

【详解】

因为“X)是定义在R上的奇函数，所以“2-力=/(*)=一/(一%)

所以〃2+x)=-/(x),所以/(4+x)=-/(2+x)=〃x)

所以/(x)的最小正周期是4,故B错误

42()21)="1)=1,故A错误

因为当x«0,l］时，〃x)=d,是定义在R上的奇函数

所以当xe［T,l］时，=

当xe(l,3)时，2-xe(-l,l),/(x)=/(2-x)=(2-x)3,故C错误

因为当xe(O,2)时，/(x)>(),/(x)的最小正周期是4,

所以/(x)>0的解集为(41,4k+2)化GZ),故D正确

故选：D

x3--x70

3.(2021•江苏常州市•高三一模)若〃x)=x'则满足好'(x-l)NO的x的取值范围是()

0,x=0

A.[-1,1JU[3,-HX>)B.(-X,-1]U[0,1]U[3,-HX)

C.[-l,0]u[l,+oo)D.(-oo,-3]U[-1,0]U[1,+00)

【答案】B

【解析】

按x=l或0,x<0,x>l和0<x<l四种情况，分别化简解出不等式，可得X的取值范围.

【详解】

①当x=l或0时，#(%-1)=0成立；

②当x<0时，xf(x-V)=x(x-1)'>0,可有(x—l)，解得XW-1；

「/、3161

③当x>0且xwl时，xf(x-l)=x(x-1)------>0

X—1_

若x>l,则(无一1)4216,解得X23

若0<x<l,则(X—1)4〈16,解得()<X<1

所以xe(^x),-l]u[0,l]u[3,+oo)

则原不等式的解为-1]D01]U[3,+OO),

故选：B

„Ilog,x|,x>0,八

4.(2021•陕西渭南市•高三一模(理))已知函数/(幻=471若函数g(x)=/(x)-加有四

-x-4x+4,x<0.

个不同的零点七,々,七,％4，则内七工匕的取值范围是()

A.(0,4)B.(4,8)C.(0,8)D.(0,+oo)

【答案】A

【解析】

将函数g（x）=/（x）-加有四个不同的零点，转化为函数/'（X）的图象与直线y=/n有四个不同的交点，利

用数形结合法求解.

【详解】

函数g（x）有四个不同的零点等价于函数/*）的图象与直线丁=加有四个不同的交点.

画出了。）的大致图象，如图所示.

由图可知加€（4,8）.不妨设玉〈工2〈七＜：工4，

则一4＜$＜—2＜Z＜0，且玉+々.

所以％2=——4,

所以百工2=百（_玉-4）=一（芭+2）2+4e（0,4）,

则0＜巧＜1＜匕,

因为|log2F|=|log2x/,

所以一1（唱2天=lOg2%4，

所以lOgz^T=1。82%4，

所以X3M4=1，

所以X1・％3'S=X|e（0,4）.

故选：A

2232

5.（2021•山西高三一模（理））已知a,0,C£R_,且。＞4,。力+〃C=4,则一+----+—:-----的最小值

ah+cQ+〃+C

是（）

A.8B.6C.4D.2

【答案】A

【解析】

根据题意，化简一+——+——="♦+，结合基本不等式,即可求解.

ab+ca+b+c2a+b+c

【详解】

因为R+且ab+ac=4,

22322(a+h+c)32a+b+c32

所以--1-----------1-

ab+ca+b+ca(h+c)Q+〃+C2a+b+c

由L=分,可得Q+b+c=8,所以b+c=8—a,

2a+O+c

代入H?+ac=4,得解得a=4±2百，

又因为a>4,所以a=4+2疯"c=4-2G.此时“等号”成立，

故所求最小值为8.

故选：A.

6.（2021•辽宁铁岭市•高三一模）若关于x的方程疝二巨-如-3=0有两个不相等的实数根，则实数〃?

的取值范围是（）.

A.1一00,-g）B.（F'-T

（34]「34、

I23」L23J

【答案】D

【解析】

将方程J2x—X?—初x—3=0,转化为12x—、=/nr+3，在同一坐标系中作出函数y=J2x—x2与

y=〃a+3的图象，利用数形结合法求解.

【详解】

方程—/nr—3=0，即为-mx+3，

因为方程_尔-3=0有两个不相等的实数根，

所以函数y=与y=〃a+3的图象有两不同的交点，

在同一坐标系中作出函数y=与丁=皿+3的图象如图所示:

.\m+3|

当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，即」/T=i,

V1+m'

4

解得m=--

3

34

所以实数〃?的取值范围是一3，一§

故选：D.

【点睛】

方法点睛：函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范

围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得

问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.

7.⑵4陕西汉中市•高三一模（理））若1门一1”<上一言（"1''>1）'则（）

A.e>T>lB.e>7<l

yxyx

C.e--'>1D.e--'<1

【答案】A

【解析】

构造函数/«)=，—；(/#0)，利用导数判断其单调性，结合题意可得lnx<lny,进而得到“<>,由此

即可得解.

【详解】

依题意，

,1,1

Inx-----<Iny-----,

Inx“Iny

令=；(叱0)，

则r(r)=l+5>0，

所以/(7)函数在(F,0),((),”)上单调递增；

又x>1,y>1,

得Inx>0,Iny>0,

,1,1

Xlnx---<lny---,

InxIny

则〃lnx)</(lny),

又/9)函数在((),+g)上单调递增，

IjiijInx<Iny=>1<x<y,

即y-x>0,

所以"r>e°=l，

选项A正确，B不正确；

乂y-x-1无法确定与0的关系，

故CD不正确；

故选：A.

8.(2021•天津高三一模)已知函数/(x)=1211,若存在实数a，b,c,当a<b<c时，

x\x>Q

满足〃“)=/S)=〃c),则/(a)+"0)+4'(c)的取值范围是()

A.(-4,0)B.(-3,0)C.[T,0)D.[-3,0)

【答案】B

【解析】

作出函数f(x)的图象，根据图象可知a+h=T,0<c<l,再将/(耳+/㈤+^⑥表示为关于0的

函数，利用导数可求得结果.

【详解】

1cC

-x+2,x<-2

2

f(x)=-2<x<0,

x3,x>0

作出函数F(x)的图象，如图:

由图可知a+b=T,0<c<l.

所以/(a)+"®+</(c)=(a+b+c)/(c)=(c-4)/(c)=(c-4)(?=c"-4c3,

22

令g(c)=_4c3(o<c<1),则g'(c)=4c3-12c=4c(c-3),

因为0<c<l，所以g'(c)<(),所以g(c)=c4-4d在(0,1)上为单调递减函数,

所以g⑴<g(c)<g(0),BP-3<c<0,

所以4(。)+"®+洋'(c)的取值范围是(一3,0).

故选：B

【点睛】

关键点点睛：求解关键有2个：①利用函数的图象得到a+匕=T，0<c<l,②将4(a)+/(b)+y(c)

表示为关于c的函数，利用导数求解.

\x\

I尤+4

9.(2021•天津南开区•高三一模)已知函数/(X)气「一若方程/(X)-"2=0有5个不等

后产x<6.

实根，则实数。的取值范围是()

人•。用B.图C.崎•住同唱

【答案】D

【解析】

把方程根的个数问题转化为函数零点个数问题，由方程求出&的表达式，根据已知函数的解析式，结合绝对

值的性质分类讨论，运用换元法，结合二次函数的单调性进行求解即可.

【详解】

因为“0)-/()2=0,所以％=0一定是方程“力一侬2=0的•个实根，

当龙。0时，由题意可知：此时方程/(x)—加=0有四个非零实根，

山)⑴-办?=0=>a=,设g(x)="；),问题转化为：函数g(x)■与函数

y=a有四个不同交点(交点不能在纵轴上)，

(1)当xe(-4,o)时，g(x)=^^-=一一1令t=x(x+4)=(x+2)2-4,

xx(x+4)

则gQ)=一；，

当xe(—4,—2)时，函数f=x(x+4)=(x+2)2-4单调递减，且，e(T,0),此时g(f)=-1单调递增，

t

1,、11

且g«)>—,所以g*)=一--—八此时单调递减，且g(x)>二；

4x(x+4)4

当xe[-2,0)时，函数f=x(jc+4)=(x+2)2—4单调递增，且^[-4,0),此时g(f)=-1单调递增，且

t

1/、11

g(r)>",所以g(x)=一一:一式此时单调递增，且g(x)N—；

4x(x+4)4

(2)当XG(0,2)时，g(尤)=)=------—,令根=x(x+4)=(x+2)2-4,

xx(x+4)

则g(m)=一,

m

当xe(0,2)时，函数/n=x(x+4)=(x+2)2-4单调递增，且me(0,12),此时g(m)=上单调递减，且

m

1/、11

g(M>g(12)=一,所以g(x)=——X此时单调递减，n.g(x)>—；

12元(x+4)12

(3)当xe[2,6)时，g(x)=

当xe[2,3)时，函数〃=x(6—x)单调递增，此时8<n<9.因此函数卜=」单调递减,

n

所以函数g(x)=J」一也单调递减，

vx(6—%)

16

所以g(x)eg，子]，

当xe[3,6)时，，函数〃=x(6—x)单调递减，此时0<〃w9，因此函数y=2单调递增,

n

根据以上的分析函数g(x)=J学的性质，结合图象可知：要想函数g(x)华与函数

Xx~

1S

y=a有四个不同交点(交点不能在纵轴上)，只需。或4〉生,

34

故选：D

【点睛】

关键点清：本题的关键有以下几点：

1、把方程根的问题转化为函数零点问题，进而转化为函数图象交点问题；

2、根据绝对值的性质分类讨论；

3、熟练掌握函数单调性的性质；

4、数形结合思想的运用.

0,0<x<1

10.(2021•天津红桥区•高三一模)已知函数/(x)=|lnx|,g(x)=〈|2,,若关于x的方程

|x-4|,x>1

/(x)+m=g(x)恰有三个不相等的实数解，则用的取值范围是()

A.(-In2,01B.[0,ln2)

C.(—2—In2,0]D,[0,2+In2)

【答案】A

【解析】

设"x)=/(x)+m,则/i(x)是/(*)的图象上下平移得到，作出函数以“)与g(X)的图象，利用图象关系确

定两个函数满足的条件进行求解即可.

【详解】

设h(x)=f(x)+m,

作出函数/(%)和g(x)的图象如图

要使方程/(x)+m=g(x)恰有三个不相等的实数解,

则等价为々(X)与g(x)的图象有三个不同的交点,

'〃⑴”g(l)

则满足<

力(2)>g(2)

00

叫得《，

m+ln2>0[m>-ln2

即一In2<”4,(),

即实数力的取值范围是(Tn2,0]

故选：A

11.(2021•天津红桥区•高三一模)已知函数y=/(x)在区间(—8,0)内单调递增，且/(-x)=/(x),若

a=flog13,Z?=/(2~,2),则的大小关系为()

A.a>c>bB.b>c>aC.h>a>cD.a>b>c

【答案】B

【解析】

由偶函数的性质可得出函数y=f(x)在区间(0,+8)上为减函数，由对数的性质可得出由偶函数

2

的性质得出a=/(log23),比较出log2?、2T2、g的大小关系，再利用函数y=/(x)在区间(0,+8)上

的单调性可得出”,仇c的大小关系.

【详解】

f(-x)=f(x)，则函数y=/(X)为偶函数,

,:函数y=/(%)在区间(-oo,0)内单调递增，在该函数在区间(0,+o。)上为减函数，

vlog,3<log1l=0)由换底公式得1吗3=-唳23,由函数的性质可得“="log,3),

2227

对数函数y=log?X在(。，+8)上为增函数，则Iog23>log22=l,

指数函数y=2]为增函数，则0<2一|2v2-<2°，即

_1

xI9

0<T-<-<log23,因此，b>c>a.

故选：B.

f—2x0

12.(2021•北京石景山区•高三一模)已知/(幻=(，若|f(x)|.・"在1,1]上恒成立，则

3x-2,x>0

实数a的取值范围是()

A.(fTUO+8)B.[0,1]C.[-1,0]D.(-1,0)

【答案】c

【解析】

作出y=|/W|，y="在［T,I］上的图象，当y=|/(x)|的图象在丁="的图象的上方时，分析此时“的

取值范围即可.

【详解】

作出y=|/(x)|，y=〃在［T,I］上的图象如下图所示：

因为|/(刈..依在上恒成立，所以丁=7(x)1的图象在丁=打的图象的上方(可以部分点重合),

且=令力_2=0,所以尤=|，所以

根据图象可知：当＞="经过点时，a有最小值，amin=-1,

当丁=办经过点8(|,0)时，a有最大值，/ax=。，

综上可知。的取值范围是

故选：C.

【点睛】

关键点点睛：解答本题的关键是采用数形结合思想解决问题，通过数与形的相互转化能使问题转化为更简

单的问题，常见的图象应用的命题角度有：

(1)确定方程根的个数；

(2)求参数范围；

（3）求不等式解集:

（4）研究函数性质.

“、x-lax+2a,x<1

13.（2021•天津和平区•高三一模）已知aeR,设函数J（x）=〈，若关于x的方程

lnx+l,x>1

/（x）=-;x+a恰有两个互异的实数解，则实数。的取值范围是（）

【答案】D

【解析】

011

就2公+2。=一一x+及lnx+l=--x+a,x>l的根的个数分类讨论后可得实数。的取值范

44

围.

【详解】

因为关于x的方程〃x）=—（x+a恰有两个互异的实数解，

11

故9-2ax+2。=——x+1有两个不同的实数根旦lnx+1=——x+a,x>\无实根

44

11

或x9—2以+2。=——x+67,x<1>lnx+1=—x+a,x>l各有•个实数根

44

或犬-2ax+2a=一工工+。,工41无实根且lnx+1=-'x+a,x>l有两个实数根.

44

若111左+1=-‘1+。,》>1有两个不同的实数根，

4

则lnx+,x+1—a=0,x>l有两个不同的实数根，

4

因为y=lnx+'x+l-a,x>l为增函数，

4

故m方+l1+1-。=0,%>1有两个不同的实数根不成立.

4

11

若r9-2ax+2a=——尤+a,xW1、lnx+1=—x+tz,x>1各有一个实数根，

44

先考虑加工+1=-!*+。,%>1有一个实数根即

4

lnx+,x+l-Q=0,x>1有•个实数根，

4

因为y=lnx+'x+l-a,x>l为增函数，故Inl+,+l-acO,

44

故a>2.

4

再考虑好一2奴+2。=--x+a,x<\有一个实数根即x2-(2a--)x+a=0,x<\有一个实数根.

44

令〃(%)=x2一(2a-；)x+a,x<1,

因为〃(1)=1—2。+；+。<0,故Y-(2a—：)x+a=0,x<1有一个实数根.

5911

故。>一时，x—2QX+2Q=—x+a,x<1、Inx4-1——x+a,x>l各有一个实数根.

444

11

^x92-2ax+2a=一一x+<1有两个不同的实数根且lnx+1=--x+a,x>l无实根,

44

因为皿1+1=-'；1+。/>1无实根，则由前述讨论可得a4』，

44

1

因为x9-2ax+2a=——x+a,x<l有两个不同的实数根，

4

。1

2cl—

—4<1

2

25-276

故<2tz——I—4a>0,解得a<-------

8

l-2«+—4-6Z>0

4

故选：D.

【点睛】

方法点睛：知道分段函数零点个数，则可以根据各段函数的形式确定各段上零点的个数，并结合相应的函

数的特征再利用单调性或根分布等方法来处理即可.

尤,x<0

14.(2021•全国高三专题练习)已知a,beR,函数/(x)=h,1,,若函数

—X——(a+1)r+ax,x>0

132

>=/（尤）—依—力恰有三个零点，则

A.a<-\,h<QB.a<-l,b>0

C.a>-l,h<QD.a>-1,b>0

【答案】C

【解析】

当x<0时，y=/(%)一次一匕=》一办一人=(1一。)》一匕最多一个零点；当x..O时，

y=f{x)-ax-b=—xi——(a+\)x2+ax-ax-b=—x3——(a+l)x2-b,利用导数研究函数的单调性,

3232

根据单调性画函数草图，根据草图可得.

【详解】

b

当x<0时，y=f(x)-ax-b=x-ax-b=(l-a)x-h=O,得》=----；y=/(x)一办一匕最多一个

零点;

当X..0时，y=f(x)-ax-b=^x3--^(a+l)x2+ax-ax-b=^x,+-b,

y'=x2-(a+1)x,

当a+L,0,即4,一1时，.0,y=/(x)-ax-ftft[0,+<»)上递增，y=/(x)-以一人最多一个零点.不

合题意；

当a+l>0,即a>—1时，令y'>0得xe[a+l,+8),函数递增，令y<0得xe[0,a+1),函数递

减；函数最多有2个零点；

根据题意函数y=/(x)—以一b恰有3个零点o函数y=.f(x)-幺—。在(-oo,0)上有个零点，在[0,

+8)上有2个零点，

如图：

-h>0

b

二-----<0且《1q1，

1-a—(Q+1)——5+D3+1)29-/?<0

、32

1a

解得bvO,1—tz>0»0>/?>—(。+1)、，/.a>-1.

故选C.

遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及a,力两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，

这一过程中有可能分类不全面、不彻底.

15.（2021•山东滨州市•高三一模）定义在R上的偶函数“X）满足〃2+X）=/（2-X）,当x«—2,（）］时，

“x）=x+2,设函数力（力=6+7（_2＜》＜6）（0为自然对数的底数），则/（x）与丸⑴的图象所有交

点的横坐标之和为（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【解析】

根据已知条件求出/（x）的周期，利用周期性和偶函数作出/（x）在区间（-2,6）的图象，以及

/i（x）=e+T（-2＜x＜6）的图象，数形结合即可求解.

【详解】

因为/（X）满足f（2+x）=.f（2-x）,

所以/（X）图象关于直线x=2对称，

因为/（x）是R上的偶函数，所以“X）图象关于直线尤=0对称，

所以/（x）的周期为4，

力（犬）=/1（一2＜》＜6）的图象关于直线；1=2对称，

由xe[-2,0]时，/(x)=x+2,作出/(x)图象如图和〃(x)=e-|x-21(_2<x<6)的图象

由图知/(X)与h[x)的图象在区间(-2,6)有四个交点，设交点横坐标分别为x„x2,x3,x4,

且W+“4=2,々+看=2,

22

所以玉+/+七+Z=8,

所以f(x)4的图象所有交点的横坐标之和为8,

故选：D

【点睛】

关键点点睛：本题解题的关键点是得出两个函数图象都关于x=2对称，两个函数图象的交点应关于x=2对

称，数形结合判断出交点个数，利用对称性求交点的横坐标之和.

16.(2021•湖南岳阳市•高三一模)对于函数y=/(x),若存在/,使/(/)=一/(一/),则点(%,/(%))

与点均称为函数/(用的“先享点”已知函数=3八，且函数/(X)存在5个“先

6%—x',x<()

享点”，则实数。的取值范围为()

A.(6,+oo)B.(-oo,6)C.(0,6)D.(3,+oo)

【答案】A

【解析】

首先根据题中所给的条件，判断出"先享点''的特征，之后根据〃x)存在5个“先享点”，等价于函数

f2(x)=6x-x\x<0)关于原点对称的图象恰好与函数/；(x)=16-ax(x>0)有两个交点，构造函数利用

导数求得结果.

【详解】

依题意，/（X）存在5个“先享点”，原点是一个，其余还有两对,

即函数人（x）=6x-x\x<0）关于原点对称的图象恰好与函数工（x）=16-ax（x>0）有两个交点,

而函数力（幻=6%一/54（））关于原点对称的函数为人。）=6%一》3（》2（））,

即16—办=6x—d有两个止根,

16-6X+J?216,

Cl-----------------X~H-----6，

XX

令〃(X)=X?d----6(x>0),

.16213—8)

h\x)=2x--

XX

所以当0<x<2时，〃'(x)<0,当x>2时，〃'(x)>0,

所以/i(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增，目*(2)=4+8-6=6,

并且当xf0和xf+x)时，/(x)f+8,

所以实数a的取值范围为(6,+oo),

故选：A.

二、多选题

12

17.(2021•山东日照市•高三一模)已知M+log；=0,x2+log；=0,则()

A.0<x2<x,<1B.0<^<x2<1

C.马IgM—芯lg/<0D.x2lgx1lgx2>0

【答案】BC

【解析】

根据对数函数的性质可判断AB正误，由不等式的基本性质可判断CD正误.

【详解】

由玉=-log3X|>0可得0<%]<1,同理可得0<%2<1，

因为xe(0,1)时，恒有Iog2x<log3X

所以％-工2=1。82々-1。83%<0，即项<々，故A错误B正确;

因为0<X|vx?<1,

所以lgX|<lg々<0,即0<Tgw<TgX]，

由不等式性质可得一芯怆々<一X2电玉，即々馆西一司馆“<0，故C正确D错误.

故选：BC

18.（2021•山东烟台市•高三一模）若0<a<Z?<l,c>l,贝ij（）

cc

A.6<c"B.ba<ab

b-ah.,

C.----<-D.logc<logc

c-acafc

【答案】ABC

【解析】

根据指数函数，对数函数，幕函数的单调性可判断.

【详解】

对于A,当c>l时，y=c,单调递增，所以由可得c"<cJ故A正确；

对于B,当c>l时，所以c—l>0,所以y=在（0,+纺）单调递增，由0<。<匕<1可得相T<//T,故B

正确；

b-ab（b-a]c-b（c-a\a（b-c\

对于C,因为--------=-----7----r------=—（----r,又OvaV/?<1,C>L所以C一4>0,力一CV0,

c-ac（C-Q）Cc\c-a）

所以"故c正确；

c-ac

对于D,当c>l时，y=logcX单调递增，所以由0<a<万<1可得log’avlog,力<0,

11

则■；---->-—7.即logac>log/,故D不正确.

logralogt.b

故选：ABC.

【点睛】

方法点睛：比较指数式、对数式、幕的大小的常用方法为：（I）化为同底数、同指数或同真数的对数式和

指数式，利用其单调性进行比较，（2）借助于中间值0和1进行比较.

19.（2021•江苏常州市•高三一模）己知正数x,»z,满足3，=4>'=12=，则（）

A.6z<3x<4yB.

xyz

C.x+y>4zD.xy<4z2

【答案】AC

【解析】

令3、=4'=12'=机＞1，根据指对互化和换底公式得：-=log,„3,-=log,4,-=log,,,12,再依次讨论

xynz

各选项即可.

【详解】

1___J__1

由题意，可令3*=4,=12==加＞1，由指对互化得:log”3A，log,„4''log,,,12

1,J,,1,111

由换底公式得：一=log“,3,—=log,“4,—=log,/2,则有一+—=一，故选项B错误；

xyzxyz

124

对于选项A,----=log,,,12-log,,,9=log,,,->0,所以x>2z,又

zx3

---=log„,81-log64=log,,,>0,所以4y>3x,所以4y>3x>6z,故选项A正确;

xym64

111xy,2-孙（x+y）~xy（x-y）"八

对于选项C、D,因为一+一=一，所以z=，所以4z2一砂=—，八=―一~~*＜°＞

%yzx+y（x+y）（x+疔

所以孙＞4z?,贝Ijz（x+y）＞4z2,则x+y＞4z,所以选项C正确，选项D错误；

故选：AC.

【点睛】

本题考查指对数的运算，换底公式，作差法比较大小等，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在

1I1

于令3*=4'=12二=m>1，进而得7-x,\7=7?=2再根据题意求解.

log”3log,,,4log,,,12

20.（2021•湖南衡阳市•高三一模）已知函数/（力=^必+》河，以下结论正确的是（）

A./（X）是偶函数B./（X）最小值为2

C./(x)在区间(一肛上单调递减D.g(x)=/(x)-|；x的零点个数为5

【答案】ABD

【解析】

去掉绝对值，由函数的奇偶性及周期性，对函数分段研究，利用导数再得到函数的单调性，再对选项进行

判断.

【详解】

：xeR,/(-x)=/(x),是偶函数，A正确;

因为/(x+2〃)=/(%),由函数的奇偶性与周期性，只须研究f(x)在［0,2句上图像变化情况.

2esinx,Q<x<7r

小）=

e“nx

jrjr

当OWxW)，/'(x)=2cosMin1则y(x)在xe0,-匕单调递增，在万，万上单调递减，此时

”x)e［2,2e］；

。a

当万时，/r(x)=cosx(esin'-e-sin'),则/(x)在xe肛春上单调递增，在xe-y,2^上

单调递减，此时2,e+J,故当0WxW2万时，/(x)n，n=2,B正确.

因/(x)在上单调递减，又/(x)是偶函数，故/(x)在(一4,一、)上单调递增，故C错误.

对于D,转化为〃x)=2x根的个数问题.因/(%)在(。目上单调递增，在(奈%)上单调递减，在

卜，用上单调递增，在(芳,2，|上单调递减.当工«7»,乃)时，/(上2,|x<2,〃X)=|；尤无实

2234

根.xe(3%,+oo)时，一1>6>26=/(初鹏，〃x)=—x无实根，xen,—,显然尤=乃为方程之根.

।23

/(x)=esinA+e-sinx,/,(x)=cosx(esinv-e-sinxe+-〉—x==3,单独就这段图象,

）>。，图=e7T2

兀年上变化趋势为先快扣慢,3万

（⑺=广图=o,/（X）在故g（x）在小工内有1个零点，由

内有3个零点，乂/2e>5,结合图象，知D正确.

故选：ABD.

【点睛】

方法点睛：研究函数性质往往从以下方面入手:

（1）分析单调性、奇偶性、周期性以及对称性;

（2）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个容易画出图象的函数，将两个函数的图象画在同一个平

面直角坐标系中，利用数形结合的方法求解.

21.（2021•山东青岛市•高三一模）若实数a<b,则下列不等关系正确的是（）

b

A.

B.若。>1,则log“ab>2

b2

c.若a>0,则->-

1+a1+。

D.若机>g,a,Z?e(l,3),则;一犷)一根(/—力？)+a-b>0

【答案】BCD

【解析】

对A,由指数函数以及幕函数的单调性即可判断；对B,由对数的运算以及对数函数的单调性即可判断；对

C,利用做差法即可比较大小；对D,利用分析法即可证明.

【详解】

解：对A,y=（|）在R上单调递减,

又,：ci＜b、

<>（U

当。＞0时，＞=/在（0,+8）上单调递增;

当a＜0时，、="在（0,+力）单调递减；

故无法判断（2与（3|大小，故A错误;

15

75

对B,当。＞1时，

二.log”0>log”。=1,

log“ab=log4a+log.Z?>2,故B正确;

h2a2_h-'+b2-o,-b~_（/?5-a5）+（^2-«"）

对C,当q>0时，0<av〃,>0

1+Ql+〃（1+Q）（1+Z?）

,22

心一＞」二，故c正确;

1+Q1+。

对D,要证;—/?3）—加卜/+

即证（a，—b，）—3帆—b~）+3（。—/?）＞0,

即证（a2+〃/?+/?2）（〃一人）+3（〃一/7）＞3帆（〃+力）（〃一人）,

•：a<b,

目“+3与

即uk-------------<3m,

a+b

:。，Z?e（l,3）,

令/=a+Z?w（2,6）,

〃+3

a+b

6T+〃（，—+a）+3

t

ci~-at+广+3

t+^^-a<6+^-^-a=-a2-a+—<-x9-6+—=5,

t66262

,5

又；m>一,

3

:.a2+ab+b2+3<3〃?（a+匕）,

a2+ab+b2+3.

即------------<3〃2，

a+b

即原式得证，故D正确.

故选：BCD.

三、填空题

〃2+及+3

22.（2021•天津和平区•高三一模）已知a>o,b>0,则“+二的最小值为