卷2-2021年中考数学卷（江苏淮安专用）1月卷（解析版）

备战2021年中考数学【名校,地市好题必刷】全真模拟卷•1月卷

第二模拟

注意事项：

本试卷满分130分，考试时间120分钟，试题共28题.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自

己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.（2020秋•上海期末）已知a=2X2X3X5,6=2X3X5,那么a,b最大公因数是（）

A.4B.60C.30D.2

【分析】直接利用最大公因数的定义分析得出答案.

【解答】解：a=2X2X3X5,*=2X3X5,

。和b的最大公因数为2X2X3X5=30；

故选：C.

【知识点】有理数的乘法

2.（2020秋・中山市期末）港珠澳大桥是目前世界上最长的跨海大桥，工程造价约1100亿元，1100亿元用

科学记数法表示为（）

A.1100X108元B.11X101。元C.1.1X10"元D.元

【分析】科学记数法的表示形式为aX10〃的形式，其中lW|a|<10,〃为整数.确定〃的值时，要看把原数

变成a时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值210时，n

是正整数；当原数的绝对值<1时，〃是负整数.

【解答】解：U00亿=110000000000=1.1X10”,

故选：C.

【知识点】科学记数法一表示较大的数

3.（2020秋•凤凰县期末）若实数x满足x2-2x-1=0,则2x3-7X2+4A-+2023的值为（）

A.2020B.2021C.2022D.2023

【分析】将所求式子变形，然后将/-2x-1=0代入，即可解答本题.

【解答】解：1=0,

.♦.2x3-7x?+4x+2023

=2x（x2-2x-1）-3（x2-2x-1）+2020

=2rX0-3X0+2020

=0+0+2020

=2020,

故选：A.

【知识点】因式分解的应用

4.（2020秋•定西期末）一艘轮船在静水中的最大航速为50h"/〃，它以最大航速沿河顺流航行80人机所用时

间和它以最大航速沿河逆流航行60岫所用时间相等，设河水的流速为Mw/A,则可列方程（）

A8060D8060

x+50x-50x-50x+50

C80-60D8000

50+x50-x50-x50+x

【分析】根据“以最大航速沿河顺流航行80切?所用时间和它以最大航速沿河逆流航行60km所用时间相等”

建立方程即可得出结论.

【解答】解：设河水的流速H”?/〃，则以最大航速沿江顺流航行的速度为（50+x）以最大航速逆流航

行的速度为（50-x）km/h,

根据题意得，晶-=用一，

50+x50-x

故选：C.

【知识点】由实际问题抽象出分式方程

5.（2020秋•会宁县期末）在一个不透明的布袋中，有大小、形状完全相同，颜色不同的若干个红球和白球，

其中红球5个，且从中摸出红球的概率为羡，则袋中白球的个数为（）

A.10B.15C.5D.2

【分析】设白球有x个，根据概率公式求出答案即可.

【解答】解：设有白球x个，

根据题意得：再=《，

5+x3

解得:x=10,

故选：A.

【知识点】概率公式

6.（2020秋•长春期末）如图，在△/8C中，ZA=45°,N8=60°,点。在边上，且BD=8C,连结

CD,则N4CD的大小为（)

A

D

A.30°B.25°C.15°D.10°

【分析】先根据三角形内角和定理求出N4C8,再根据等腰三角形的性质求出N8C。，再根据角的和差关系

即可求解.

【解答】解：在△AbC中，ZJ=45°,ZB=60°,

・・・N4C8=180°-45°-60°=75°,

*：BD=BC,

：.ZBCD=（180°-60°）4-2=60°,

AZACD=ZACB-ZBCD=75°-60°=15°.

故选：C.

【知识点】等腰三角形的性质

7.（2020秋•齐河县期末）如图，在△4?。中，ZC=90°,4c=32,4?的垂直平分线"N交力C于点

7

连接BD,若sin/C8D=4，则BC的长是（）

【分析】根据线段垂直平分线的性质，得到力0=80,利用直角三角形的边角间关系及的正弦值,

可得到CD与AD的关系并求出它们的长，最后利用勾股定理求出BC的长.

【解答】解：•••〃可是线段的垂直平分线，

：.AD=BD.

7

在中，VsinZCSD=—,

9

•CD=CD^Z

••丽―丽一©.

'：AC=AD+CD=32,

：.CD=\4,4D=BD=18.

在RtABCD中，

5C=VBD2-CD2

=V182-142

=V128

=8&.

故选：B.

【知识点】线段垂宜平分线的性质、解直角三角形

8.（2020秋•东西湖区校级月考）已知二次函数>=a/+bx+c的图象经过（-4,0）与（2,0）两点，关于

x的方程分2+bx+c+m=0（/«>0）有两个根，其中一个根是4.若关于x的方程ox2+bx+c+〃=0（0<n<

m）也有两个整数根，则这两个整数根是（）

A.-2或0B.-4或2C.-5或3D.-6或4

2

【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数与一元二次方程的关系，可以得到关于x的方程ax+bx+c+n

=0（0<n<m）的两个整数根，从而可以解答本题.

【解答】解：I•二次函数y=ax2+6x+c的图象经过（-4,0）与（2,0）两点，

当y=0时，0=加+云+。的两个根为-4和2,函数、=加+辰+。的对称轴是直线*=-1.

又关于x的方程ax2+6x+c+"?=0（m>0）有两个根，其中一个根是4.

方程ax2+bx+c+m=0（zn>0）的另一"个根为-6,函数y=ax2+6x+c的图象开口向下，

•关于x的方程。/+加计£?+"=0（0</i<w）有两个整数根，

.•.这两个整数根是-5或3,

故选：C.

【知识点】根的判别式、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点

9.（2020秋•拱墅区校级期中）如图，△/BC内接于半径为爬的半。。，为直径，点M是位的中点,

连结8M交/C于点E,4D平分NC4B交BM于点D,且。为8M的中点，则8c的长为（）

【分析】如图作于连接/M,OM,OM交AC于F.解直角三角形求出利用全等三角形

的性质证明OF=OH,再利用三角形的中位线定理求出BC即可.

【解答】解：如图作F用，连接/A/,OM,0M交/C于尸.

是直径，

4M8=90°

VZJDA/=I8O°-ZADB=45°,

：.MA=MD,

,:DM=DB,

：.BM=2AM,设/A/=x,则8M=2x,

YAB=2®

.*+4x2=20,

：.x=2（负根已经舍弃），

：.AM=2,BM=4,

22

..“2”遍

2屈5

:.OH2d（巫）2_（华，=唔,

•；AM=CM,

：.OM±ACf

；・AF=FC,

•：OA=OB,

:,BC=2OF,

•：/OHM=NOE4=90°,NAOF=NMOH,OA=OM,

：./\OAF^/\OMHCAAS）f

：.OF=OH=^^,

5

：.BC=2OF=^^-.

5

故选：C.

【知识点】圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理、垂径定理

10.（2020春•雨花区期中）如图，在矩形/8C。中，E是X。边的中点，BEA.AC,垂足为点尸，连接。尸,

有下列五个结论：①AAEFs^CAB；@CF=2AF；③DF=DC；④tan/C4D=/；⑤SAABF：SKMBCDF

=1：4.其中正确结论的个数是（）

C.3D.4

【分析】结合矩形的性质证明NE4尸=//C8,AFE=NCBA,可证明①：证明尸s/iCBR利用相似

三角形的性质可证明②；过。作。N〃8E,//C于M,则ONLNC,证明M为CF的中点，可证

明③；根据已知条件无法证明④；设S=EF=a，则S：=2a,由相似三角形的性质可求解相关

三角形的面积，进而可求得S四边舷BC0「=4a,即可证明⑤.

【解答】解：在矩形/8C。中，NABC=90°,AD//BC,AD=BC,

：.ZEAF=ZACB,

•：BELAC,垂足为点尸，

，N/FE=90°,

NAFE=NCB4,

：./\AEF^/\CAB,故①正确：

,:AD〃BC,

：./\AEF^/\CBF,

.AFAE

••二一1,

CFCB

为的中点，

.AE_AE_1

**CB=AD

.AE1

••—,

CF2

：.CF=2AE,故②正确；

过D作DN〃BE,交/C于M,则。ALL/C,

■：AD//BC,

...四边形BNDE为平行四边形，

:.BN=ED=/BC,即N为8c的中点，

.*.M为CF的中点，

：.DF=DC,故③正确；

根据已知条件无法判断4。=2月8,故无法得到tan/C4O=a，故④错误;

设S^AEF=a,则SAADF=2a,

・・・/\AEFs4CBF,

.SAAEF/AE、2_1

一酸嬴Y而二了

S^CBF=4a,

■:S△ABF：SACBF=AF：CF=1：2,

:,S4ABF=2a，

•*•S/SADC=S^ABC=6〃,

S四边形BCDF=8a，

，S△"尸：S四边形BCD尸=2〃：8a=I：4,故⑤正确.

综上，正确个数有4个.

故选：D.

【知识点】解直角三角形、相似三角形的判定与性质、矩形的性质

二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分,不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上)

11.(2020秋•肇源县期末)已知a、b满足1|+(6+3)2=0,则.

【分析】先根据非负数的性质求出。、b的值，进而代入代数式计算即可得出结论.

【解答】解：\a-11+(b+3)2=0,

：・a-1=0,6+3=0,

：.a=1,b=-3,

：.ab=l'3=l.

故答案为：1.

【知识点】非负数的性质：绝对值、非负数的性质：偶次方

12.(2020秋•中山区期末)已知(x+a)(x2-x)的展开式中不含N项，则。=.

【分析】利用多项式乘多项式法则展开已知整式，根据展开式中不含N项确定。的值.

【解答】解：(x+a)(x2-x)

=x3+ax2-x2-ax

=x3+(a-\)x2-ax.

•・•展开式中不含/项，

：.a-1=0.

BPa=\.

【知识点】多项式乘多项式

2

13.(2020秋•南岗区期末)当x=2«时，代数式*二^'+1,+(x-1)的值为___.

xZ-X

【分析】根据分式的除法和因式分解可以化简题目中的式子，然后将X的值代入化简后的式子即可解答本

题.

【解答】解：T2+1+（X-1）

x,-x

（x-1）2,1

X（x-l）X-1

_1

-----，

X

当x=2«时，原式=-==返,

_2y6

故答案为：返.

6

【知识点】分式的化简求值

14.（2020秋•涪城区校级期末）如图△/8C中，ZC=90°,AC=BC,4D平分NB/IC交BC于点、D,DE

LAB,垂足为E,且48=8&cro,则△DE'8周长为.

【分析】先根据角平分线的性质得到£>£=£>C，再证明且Rt2M£Z）得到ZE=/C,则4E=8C,然

后利用等线段代换得到△DE8周长=/8.

【解答】解：平分/84C,DEA.AB,DC1AC,

:.DE=DC,

在RtAJCZ）和Rt/\AED中，

fAD=AD

IDC=DE'

...RtZX/8丝RtZXZEC（HL）,

：.AE=AC,

"：AC=BC,

：.AE^BC,

：.XDEB周=DE+BD+BE=DC+BD+BE=BC+BE=AE+BE=AB=队历cm.

故答案为8圾CTO.

【知识点】角平分线的性质、等腰宜角三角形

15.（2020秋•顺德区期末）如图，四边形"CD是正方形，△C8E是等边三角形，贝

D

【分析】先根据正方形和等边三角形的性质得出AD=DE,ZADE=300,求出/。瓦1和/CE8,再用周

角减去三个角即可得出结果.

【解答】解：•••四边形Z8CO是正方形，△CDE是等边三角形，

：.AD=CD=BC,ZADC=90a,DE=CD=CE,NEDC=NDEC=60°,

:.AD=DE,//。£=30°,

:.NDEA=Z(180°-30°)=75°,

2

同理：NCEB=75：

：.ZAEB=360a-75°-75°=-60°=150°,

故答案为：150°.

【知识点】正方形的性质、等边三角形的性质

16.(2020秋•荔湾区期末)如图，已知A.8两点的坐标分别为(2,0)、(0,2),OC的圆心坐标为(-2,

0),半径为2.若。是。C上的一个动点，线段。/与y轴交于点E,则△Z8E面积的最小值是,

【分析】先根据当力。与。C相切，且在x轴的上方时，△Z8E的面积最小，连接C。，则再求

出4、8两点的坐标，再根据勾股定理求出4D,从而得出SMCD，再根据△ZOEs/vioc,求出△

ABE的面积.

【解答】解：当与。C相切，且在x轴的上方时，△/BE的面积最小，

连接CD,则CDA.AD,

."、B两点的坐标是(2,0),(0,2),

在RtZ\4C£>中，CD=2,AC=OC+OA=4,

由勾股定理，得：/。=2遥，

二5“8=a孙8=/X2“X2=2«,

'：/\AOE^>/\ADC,

工，

...“AOE_(AU)2=(__2_)2=

^AACD虹12V33

.o_lo_2«

・・、AAOE---TOADC------------

33

:•SAABE=SAAOB~S^AOE-X2X2-=2-.

233

故答案为：2-2叵.

3

【知识点】垂径定理、坐标与图形性质、勾股定理、点与圆的位置关系

17.(2020秋•南关区校级期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-4ax+3a(〃<0)与x轴交于4

B两点,与y轴交于点。，点C的坐标为(2,-4)；当8最短时，则抛物线顶点纵坐标为.

【分析】当轴时，线段8最短.根据点C的坐标求得点。的坐标，将点Q的坐标代入二次函数解

析式来求“的值；最后利用配方法将二次函数解析式转化为顶点式，可以直接得到抛物线的顶点

纵坐标.

【解答】解：根题意知，当C£>J_y轴时，线段C。最短.

•••点C的坐标为(2,-4),

.•.点。的坐标为(0,-4).

将其代入卜=。『-4ax+3a,得3a=-4,

解得a--暂.

.•.该抛物线解析式是：y=-当2+3-4.

33

'：y=--.^+―x-4=(x-2)2+—.

’3333

.♦•该抛物线的顶点坐标是（2,-|）

.••抛物线顶点纵坐标为

故答案是：

【知识点】二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点、二次函数的性质

18.（2020秋•松江区月考）如图，△/8C中，NC=90°,48=30°,NC=2,点P是边力8上一点，将

△/8C沿经过点P的直线折叠，使得点/落在边8c上的H处，若△「反，恰好和△Z8C相似，则此

时/尸的长为.

【分析】分两种情形：①如图I中，当NP4'B=NC=90°时，ABPA'②如图2中，当NPBC

=90°时，4BPA，sABCA,分别利用相似三角形的性质构建方程求解即可.

【解答】解：①如图1中，当/以'8=/C=90°时，设%=以'=x.

图1

在RtZ\NBC中，VZC=90°,AC=2,ZS=30°,

：.AB=2AC=4,BC=MAC=2几

■：ZB=ZB,NBA'P=ZC=90°,

Z./\BPA'sABAC,

•PB_PA'

"BA-"AC-*

.4-xx

42

②如图2中，当NPBC=90°时，△8%'s/xso,

图2

.BP_PAZ

,•而-"AC-'

.4-x_x

..访一万

：.x=2«-2,

综上所述，满足条件的AP的值为暂或2M-2.

【知识点】含30度角的直角三角形、翻折变换(折叠问题)、相似三角形的判定

三、解答题(本大题共10小题，共76分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过

程或演算步骤)

19.(2020秋•金昌期末)计算：

(1)-I3-(1+0.5)X—4-(-4)；

3

113

(2)(--—+—)X(-36).

1264

【分析】(1)根据有理数的乘方、有理数的乘除法和加减法可以解答本题;

(2)根据乘法分配律可以解答本题.

【解答】解：(1)-I3-(1+0.5)(-4)

3

311

=.1-2-x-lx(-2L)

234

=-\+—

8

=7_

~于

(2)(―-^—)X(-36)

1264

=—X(-36)--X(-36)--X(-36)

1264

=(-3)+6+(-27)

=-24.

【知识点】有理数的混合运算

20.(2020秋•广州期末)已知代数式西+勿3+4J»C,当y=0时，该代数式的值为-5.

(1)当j，=l时，该代数式的值为-8,求a+b的值；

(2)当y=3时，该代数式的值为-12,求当y=-3时该代数式的值.

【分析】先根据题设，确定。的值.

(1)把夕=1、值为-8代入代数式得到关于a+b的方程，求值即可；

(2)先把y=3、值为-12代入代数式，求出35q+33b+4X3的值，

再把y=-3代入代数式，整体把354+333+4X3的值代入求值即可.

【解答】解：把y=0代入代数式，由于代数式的值为-5,

所以c=-5.

所以原代数式为05+勿3+4y-5.

(1)由题意，当卜=1时，该代数式的值为-8,

所以a+b+4-5=-8,

解得a+h=-7；

(2)当y=3时，该代数式的值为-12,

所以35a+33*+4X3-5=-12,

即35a+33/?+I2=-7.

当y=-3时，ay^+by^+^y-5

=(-3)5。+(-3)3&+4X(-3)-5

=-35a-33b-12-5

=-(35a+33ft+12)-5

=7-5

=2.

【知识点】代数式求值

21.(2020秋•会宁县期末)解方程：

(1)(x+2)2-16=0；

(2)(x-1)2-2(x-1)=0.

【分析】(1)先移项，然后利用直接开平方法解方程；

(2)设y=x-l,则原方程转化为产-2y=0,利用因式分解法解方程求得了的值.

【解答】解：(1)由原方程，得(x+2)2=16,

直接开平方，得x+2=±4.

解得为=2,X2=-6；

(2)设y=x-l,则原方程转化为2y=0,

整理，得y(y-2)=0.

解得y=0或_y=2.

'.x-1=0或x-1=2,

•«X1=1»X2=3

【知识点】解一元二次方程-因式分解法、解一元二次方程-直接开平方法、换元法解一元二次方程

22.（2020秋•连山区期末）有4、B两个不透明的盒子，/盒里有两张卡片，分别标有数字1、2,B盒里有

三张卡片，分别标有数字3、4、5,这些卡片除数字外其余都相同，将卡片充分摇匀.

（1）从8盒里抽取一张卡片、抽到的卡片上标有数字为奇数的概率是一；

（2）从N盒、8盒里各随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片上标有的数

字之和大于5的概率.

【分析】（1）由概率公式即可得出结果；

（2）画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与抽到的两张卡片上标有的数字之和大于5

的情况，再由概率公式即可求得答案.

【解答】解：（1）从8盒里抽取一张卡片、抽到的卡片上标有数字为奇数的概率是卷，

故答案为:

（2）画树状图如下：

A12

/N

5345345

和456567

共有6种等可能的结果，抽到的两张卡片上标有的数字之和大于5的有3种情况，

两次抽取的卡片上数字之和大于5的概率为

62

【知识点】列表法与树状图法、概率公式

23.（2020秋•南京期末）为了强化学生的环保意识，某校团委在全校举办了“保护环境，人人有责”知识

竞赛活动，初、高中根据初赛成绩，各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队进行复赛，两个队学

生的复赛成绩如图所示：

（1）根据图示填写表：

平均数中位数众数方差

初中队8.5——0.7

高中队8.5—10—

（2）小明同学说：“这次复赛我得了8分，在我们队中排名属中游偏下！”小明是初中队还是高中队的学

生？为什么？

(3)结合两队成绩的平均数、中位数和方差，分析哪个队的复赛成绩较好.

□

初中队

□

高中队

1尸

1234

【分析】(1)由条形图得出初中队和高中队成绩，再根据中位数、众数及方差的概念求解可得；

(2)根据中位数的意义求解可得；

(3)从平均数、中位数及方差的意义求解可得.

【解答】解：(1)由图知初中队的成绩从小到大排列为：7.5、8、8.5、8.5、10,

所以初中队成绩的中位数是8.5,众数是8.5；

高中队成绩从小到大排列为:7、7.5、8、10、10,

所以高中队成绩的中位数为8,方差为3■><[(7-8.5)2+(7.5-8.5)2+2X(8.5-8.5)2+(10

5

-8.5)2]=].6,

补全表格如下:

平均数中位数众数方差

初中队8.58.58.50.7

高中队8.58101.6

(2)小明在初中队.理由如下：

根据(1)可知，初中、高中队的中位数分别为8.5分和8分，

V8<8.5,

.••小明在初中队.

(3)初中队的成绩好些.

因为两个队的平均数相同，初中队的中位数高，而且初中队的方差小于高中队的方差，

所以在平均数相同的情况下中位数高、方差小的初中队成绩较好.

【知识点】算术平均数、众数、方差、中位数

24.(2020秋•永年区期末)如图，在△4BC中，点E、F分别在/8、AC1.,是E厂的垂直平分线，DE

VAB,DFVAC,EF交4D于点、G.

(1)求证：49平分NB4C；

(2)若N8NC=60°,求证：DE=2DG.

【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得。尸，结合。。凡L/C可证明4。平分N8/C；

（2）由（I）可/瓦4。=30°,由余角的性质可求得/。£'6=/£4。=30°,再利用含30°角

的直角三角形的性质可证明结论.

【解答】证明：（1）是E尸的垂直平分线，

:.DE=DF,

'：DE±AB,DF±AC,

二/1。平分N8ZC

（2）'：ZBAC=60°,4D平分NB4C,

ZEAD=—ZBAC=30a,

2

,JDE1.AB,DFLAC,

：.NE4D+NAEG=NDEG+NAEG=90",

:.NDEG=NEAD=30°,

：.DE=2DG.

【知识点】角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形

25.（2020秋•锦州期末）如图，过△Z8C边/C的中点。，OELAC,交4B于点、E,过点/作/O〃8C,

与8。的延长线交于点。，连接。，CE,若CE平分/ZC8,CELBO于点、F.

（1）求证：

①OC=BC；

②四边形/BCD是矩形；

（2）若8c=3,求DE的长.

【分析】（1）①根据角平分线定义得到NOCE=/8CE,由垂直的定义得到NCR9=/CF8=90°,根据

全等三角形的性质即可得到结论；

②根据平行线的性质得到/D4O=/8cO,根据全等三角形的性质得到AD

=8C,推出四边形力8c。是平行四边形，根据全等三角形的性质得到NE8C=NEOC=90°,

于是得到四边形ABCD是矩形；

(2)由矩形的性质得到AD=BC=3,NDAB=90°,AC=BD,得到△O8C是等边三角形，

求得/OC8=60°,根据勾股定理即可得到结论.

【解答】(1)证明：①...CE平分//C8,

：.ZOCE=ZBCE,

,:BOICE,

:.NCFO=NCFB=90°,

在△0C尸与中，

rZOCE=ZBCE

■CF=CF,

ZCFO=ZCFB

/XOCF^/XBCF(ASA),

：.OC=BC；

②•点。是/c的中点，

：.OA=OC,

■:AD//BC,

：.ZZ)/O=ZBCO,N4D0=NCBO,

在△<?/£>与△OC8中，

"ZDAO=ZBCO

<OA=OC,

ZADO=ZCBO

:.△0AD/40CB(ASA),

：.AD=BC,

■:AD//BC,

四边形ABCD是平行四边形，

,：OE1AC,

：.Z£OC=90",

在△OCE与△BCE中，

'CE=CE

<Z0CE=ZBCE.

OC=BC

:AOCE名LBCE(SAS),

:.NEBC=NEOC=90°,

...四边形是矩形；

(2)解：二•四边形Z8C。是矩形，

：.AD=BC=3,ZDAB=90°,AC=BD,

：.OB=OC,

'：OC=BC,

：.OC=OB=BC,

...△O8C是等边三角形，

：.NOCB=60°,

：.ZECB=^ZOCB=30°,

VZ£5C=90",

：.EB=—EC,

2

,:BEZ+B—EC1,BC=3,

:.EB=^,EC=2«,

'：OELAC,OA^OC,

:.EC=EA=2M，

在RtZvlOE中，NDAB=9G°,

P£=VAD2+AE2=.32+(2%)2=收.

【知识点】勾股定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性质

26.(2020秋•荔湾区期末)如图1,在矩形中，AB=6cm,BC=8cm,点尸从点8出发，沿边向

终点N以每秒1cm的速度运动，同时点。从点C出发沿C-B-A向终点A以每秒3cm的速度运动,P、

。其中一点到达终点时.，另一点随之停止运动，设运动时间为，秒.解答下列问题:

(1)当0在8c边时，

①当1为秒时，PQ的长为2&C7M?

②连接40,当f为几秒时，△4P0的面积等于16cm2?

(2)如图2,以P为圆心，P。长为半径作。P,在整个运动过程中，是否存在这样的，值，使OP正好

与的一边(或边所在的直线)相切？若存在，求出f值；若不存在，请说明理由.

备用图

【分析】(1)①由题意得8P=/,CQ=3f,则“尸=6-BQ=BC-CQ=S-3t,在RtZ\BCP中，由勾股

定理得出方程，解方程即可；

②由三角形面积得(6-/)(8-3f)=16,解方程即可；

(2)分情况讨论：①若与8。相切，过户作PKL8O于K,5PJ/PK8=90°,PK=PQ=PB-

BQ=t-(3/-8)=8-2t,证APBKSADB4,得黑=黑，即可得出答案；

ADBD

②若与4D相切，0在8c上，PQ=PA,。在8C上，则尸0=以=6-1,在RtAsP80中，由

勾股定理得出方程，解方程即可：

③若与相切，当R。两点中。先到/点时，此时/=粤；

④若与相切，当点。未到达点Z时，则RI=P0,得67=f-(3f-8),解得f=2,舍去;

即可得出结论.

【解答】解：(1)①由题意得：BP=t,CQ=3t,

贝i]/P=6-t,BQ=BC-CQ=S-3Z,

•.•四边形488是矩形，

AZABC=90°,

在RtZXBCP中，由勾股定理得：BP2+BQ2=PQ2,

即产+(8-3/)2=(2圾)2,

解得：t=2,或/=普(不合题意舍去)，

5

f=2,

即当f为2秒时，P0的长为2五“7,

故答案为：2；

②如图1所示：

图1

由题意得：点。在8c边上，

的面积=*,4PX8Q=16,

—X(6-0(8-3f)=16,

2

解得：Z=1,或f=8(不合题意舍去)，

•••当/为日秒时，△/尸。的面积等于16cm2；

(2)存在这样的/值，使0尸正好与的边/。或8。相切，此时。在48上，且£冷$,

理由如下：

①若与8。相切，过尸作尸于K,如图3所示：

D

则/PK8=90°,PK=PQ=PB-BQ=t-(3/-8)=8-It,

•••四边形/8CN)是矩形，

:.NBAD=90°=/PKB,AD=BC^,

5£>=22

,VAB+AD=^62+82=1。’

NPBK=NDBA,

:ZBRs△DBA,

.PKPB

*,AD^BD'

解得：

②若与力。相切，。在8。上，PQ=PA,。在8c上，如图2-1所示:

则P0=P4=6-f,

在RtZ\P80中，由勾股定理得：尸+(8-3r)2=(6-f)2,

2

解得：「J二运,或，=史2返(不合题意舍去)，

33

.『6-2弧.

3

③若与相切，当P、。两点中0先到/点时，如图4所示:

D

此时,=甘，

，OP的半径为6-芋=卷；

④若与相切，当点。未到达点/时，如图5所示:

则P4=PQ,

(3f-8),

解得：f=2,

当，=2时，PB=2,则/P=6-2=4WP0,故舍去;

综上所述，/的值为£2返秒或空秒或苧秒.

373

【知识点】圆的综合题

27.(2020秋•西宁期末)如图，二次函数y=ax2+&+c,的图象与x轴交于48两点，其中/的坐标为(-

1,0),与y轴交于点C(0,5),并经过点(1,8),M是它的顶点.

(1)求二次函数的解析式；

(2)用配方法将二次函数的解析式化为y=(x-h)2+4的形式，并写出顶点〃的坐标；

(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使RI+PC的值最小？若存在，求出P点坐标；若不存在，

请说明理由.

【分析】(1)把/(-1,0),C(0,5),(1,8)三点代入二次函数解析式，解方程组即可.

(2)利用配方法将抛物线方程转化为顶点式，直接写出点M的坐标.

(3)如图中，由/、8关于对称轴对称，连接BC交对称轴于P,连接为，此时PA+PC的值最

小.求出直线8c的解析式，即可解决问题.

【解答】解：(D•.•二次函数)，="2+6广。的图象经过/(-1,0),C(0,5),(1,8),

a-b+c=0

则有：(a+b+c=8,

c=5

'a=-l

解得，b=4.

c=5

.•.抛物线的解析式为y=-X2+4X+5.

(2)-x2+4x+5=-(x2-4x+4)+5+4=-(x-2)2+9,

.•.二次函数的解析式化为y=-(X-2)2+9,

二顶点”的坐标为(2,9)；

(3)存在，理由如下：

如图，由/、8关于对称轴对称，连接8c交对称轴于尸，连接孙，此时RJ+PC的值最小.

由^=-x2+4x+5=-(x-5)(rH)知X(-1,0),B(5,0),

,:B(5,0),C(0,5),设直线8c的解析式为(加W0),则有

/5m+n=0

In=5

解得尸1,

In=5

直线BC的解析式为y=-x+5.

:抛物线的对称轴x=2,

：.P(2,3).

【知识点】二次函数综合题

28.(2020秋•皇姑区期末)在矩形N8CD中，点E在边8c上，连接NE.

(1)如图①，当矩形为正方形时，将沿/E翻折得到△ZFE,连接跖并延长交边8于

点G,连接ZG.求证：GE=BE+DG；

(2)如图②，在矩形/BCD的边上取一点G,连接ZG,使NE4G=45°.

①若/3=3,