专题01 比较大小（精讲）

第24页（共31页）专题一比较大小命题规律函数值的大小比较在近年的高考中经常出现，并且呈现出试题越来越难的趋势，基本在选择题最后3道中出现。前些年通常考查利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性或图象比较大小，近两三年考查趋势转移到构造复杂函数，利用导函数研究所构造的函数的单调性，再利用赋值比较大小。特别是去年高考题中该类题型越来越刁钻，常规解法已无法满足解题所需。函数值的大小比较所需知识主要考查学生函数部分知识的掌握情况，解题同时需要的技巧多，试题灵活，突出对函数单调性的运用，考查学生的数形结合与方程思想，及构造、放缩等相关知识。题型归纳题型1利用单调性（或图象）比较大小【解题技巧】当底数或指数（真数）相同时，一般会求同存异，利用函数的单调性比较大小，同时注意结合图象．当时，指数函数与对数函数在各自的定义域上均单调递增；当时，指数函数与对数函数在各自的定义域上均单调递减．【例1】（2022秋•广安期末），，，则A． B． C． D．【分析】根据指数函数和对数函数的单调性即可得出：，，然后即可得出，，的大小关系．【解答】解：∵在R上是单调减函数，在上是单调减函数，∴，，∴．故选：．【点评】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．【例2】（2022秋•襄都区校级期末）若，则A． B． C． D．【分析】由已知可构造函数，然后结合函数的单调性即可比较大小．【解答】解：若，则，令，则为上单调递增的函数，由题意得，所以．故选：．【点评】本题主要考查了函数的单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．题型2利用0，1比较大小【解题技巧】当底数和指数（真数）都不同时，一般采用特殊介质0，1进行大小比较，同时注意结合图象及特殊值．因为幂指对函数的特殊性，往往比较大小，可以借助于临界值0与1比较大小；特别注意几个特殊值：，，．【例1】（2022秋•包头期末）设，，，则，，，的大小关系为A． B． C． D．【分析】根据对数函数和指数函数的图象和性质可得出：，，，从而得出，，的大小关系．【解答】解：，，，．故选：．【点评】本题考查了对数函数和指数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．【例2】（2022秋•河东区校级期末）设，，，则，，的大小关系是A． B． C． D．【分析】与中间数0，1比较大小，再利用函数的单调性，即可得．【解答】解：，即，，即，，即，则．故选：．【点评】本题考查函数单调性，比较大小，属于基础题．题型3取介质比较大小【解题技巧】估计比较大小的数所在的大致区间．利用二分法、指对互化来找合适的中间值．【例1】（2022秋•福清市期中）已知a＝log52，b=log23A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c【分析】由已知结合对数的运算性质及对数函数的单调性即可比较大小．【解答】解：因为a＝log52＜log55=又31所以b=log233=log231故b＞c＞a．故选：C．【点评】本题主要考查了对数函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．【例2】（2022秋•天津期末）设a=log38，b=21.1，c=0.8A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b【分析】分别利用对数函数、指数函数、幂函数的单调性判定a、b、c的范围即可比较大小．【解答】解：因为1＝log33＜log38＜log39＝2，所以1＜a＜2，又b＝21.1＞21＝2，c＝0.81.1＜0.80＝1，所以c＜a＜b．故选：C．【点评】本题主要考查了指数函数与对数函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．题型4利用换底公式比较大小【解题技巧】利用换底公式比较大小：将对数转化为同底数，再利用性质来比较．【例1】（2022秋•福州期末）设a＝log23，b＝log34，c＝log58，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．【解答】解：∵b＝log34=lg4lg3=2lg2lg3，c∴b﹣c=2lg2∴b＜c，∵log55＜log58＜log5125∵a=log23＞log∴b＜c＜a，故选：D．【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．【例2】（2022•淄博一模）若4x＝5y＝20，z＝logxy，则x，y，z的大小关系为（）A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．y＜x＜z D．z＜y＜x【分析】根据条件得出x=1log204，y=1log205，进而得出x【解答】解：x=log420=∵0＜log204＜log205＜1，∴1log204＞∴lgx＞lgy＞0，log∴z＜y＜x．故选：D．【点评】本题考查了指数式和对数式的互化，对数的换底公式，对数函数的单调性，考查了计算能力，属于中档题．题型5分离常数再比较大小【解题技巧】分离常数再比较大小类似于分式中的分离常数，将复杂的数据简单化，再由函数的单调性比较大小．【例1】（2022春•明水县校级期末）a=73，b＝log420，c＝log32+log36，则a，b，A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b【分析】由题意得a＝1+43，b＝1+log45，c＝1+log34，再比较43，log3【解答】由题意得a＝1+43，b＝1+log45，c＝1+log∵43=loglog4∴log45＜log34，∴1+43＞1+log3∴a＞c＞b，故选：B．【点评】本题考查利用对数知识比较大小，属于中档题．【例2】（2021春•郴州期末）设a＝log36，b＝log612，c＝log918，则（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c【分析】利用对数函数的单调性、对数的换底公式，运算法则即可求解．【解答】解：a＝log36＝1+log32＝1+lg2b＝log612＝1+log62＝1+lg2c＝log918＝1+log92＝1+lg2∵0＜lg3＜lg6＜lg9，lg2＞0，∴lg2lg3∴a＞b＞c，故选：D．【点评】本题考查了对数函数的单调性、对数的换底公式和运算法则，考查了计算能力，属于中档题．题型6作差法与作商法比较大小【解题技巧】作差或作商主要解决底数不统一的对数比较大小．作差或作商简单，难点在于后续变形，需要一定的技巧与方法．【例1】（2022秋•香坊区校级月考）设a＞1，且实数x，y，z满足a2xA．x＜y＜z B．z＜x＜y C．y＜z＜x D．y＜x＜z【分析】由a2x2=1整理可得x=loga22，同理y=loga33【解答】解：由a2x可得a2x＝2，则2x＝loga2，即x=log同理y=loga3因为a＞1，所以x，y，z均为正数，则xy同理可得xz=log所以z＜x＜y．故选：B．【点评】本题考查利用作商法比较大小，考查指数对数的转化，属于基础题．【例2】（2023•毕节市模拟）已知a＝3log83，b=−12log1316，c＝log4A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c【分析】利用对数的运算性质以及对数函数的单调性化简a，b，c，并判断范围，采用作差法结合基本不等式可判断a＞b，即可得答案．【解答】解：由题意可得a=3log83=3×log23又log由于lg2＞0，lg4＞0，lg2≠lg4，∴lg2lg4＜(故log23﹣log34＞0，∴a＞b，综合可得a＞b＞c．故选：A．【点评】本题主要考查对数值大小的比较，属于基础题．题型7利用均值不等式比较大小【解题技巧】注意对数或指数的形式，巧妙运用均值不等式进行放缩，进而比较大小．【例1】（2022•石家庄二模）已知x=(43)54，y＝log45，z＝log34，则A．y＞x＞z B．x＞y＞z C．z＞x＞y D．x＞z＞y【分析】利用对数函数和指数函数的性质，判断x，y，z的大小即可．【解答】解：∵y＝log45＞log44＝1，z＝log34＞log33＝1，∴yz=log45log34=∵43＜34，∴4＜343，∴log34＜4∵x=(43)54＞故选：D．【点评】本题考查三个数大小的比较，需注意对数函数和指数函数的性质的合理运用，属基础题．【例2】（2022春•东兴区校级月考）已知a＝log75，b＝log97，c＝1.110.1，则a，b，c的大小为（）A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜b＜a【分析】利用有理指数幂与对数的运算性质分别比较a、b、c与1的大小关系，再利用作差比较a，b的大小．【解答】解：a＝log75＜1，b＝log97＜1，c＝1.110.1＞1，log75﹣log97=lg5∵lg5lg9＜（lg5+lg92）2＝（lg452）2＜（lg492）2＝∴log75﹣log97＜0，∴a＜b，∴a＜b＜c．故选：B．【点评】本题考查了对数函数的运算以及性质，构造中间量比较大小．属于中档题．题型8构造函数法比较大小【解题技巧】构造函数法比较大小的总体思路：先化简变形，再从形式上寻找共性，最终构造函数．【例1】（2023•青秀区校级一模）已知a=ln33，b＝e﹣1，c＝（9﹣3ln3）e﹣3，则a，b，A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a【分析】构造函数f（x）=lnxx，考虑f（x）在（【解答】解：a=ln33，b=lnee令f（x）=lnxx，则f'(x)=1−lnxx2，当x∈（e所以f（x）在（e，+∞）单调递减，又e＜3＜e∴f（e）＞f（3）＞f（e3即b＞a＞c，故选：C．【点评】本题考查了不等式比较大小，函数的性质，学生的数学运算能力，属于基础题．【例2】（2022春•信阳期末）log23，log38，log510的大小关系为（）A．log23＞log38＞log510 B．log510＞log38＞log23 C．log38＞log23＞log510 D．log38＞log510＞log23【分析】可得出log23＝log49，从而只需比较log38，log49，log510的大小，构造函数f（x）＝logx（x+5）（x＞2），根据导数符号即可判断出f（x）在（2，+∞）上单调递减，从而可得出log38，log49，log510的大小关系．【解答】解：log23＝log49，所以只需比较log38，log49，log510的大小，设f（x）＝logx（x+5）（x＞2），因为x＞2，所以f'(x)=lnx记φ（x）＝xlnx，所以φ'（x）＝lnx+1＞0（x＞2），所以φ（x）＜φ（x+5），所以f′（x）＜0，所以f（x）在（2，+∞）上单调递减，所以f（3）＞f（4）＞f（5），即：log38＞log49＞log510．故选：C．【点评】本题考查了对数的换底公式，对数的运算性质，构造函数解决问题的方法，根据函数的导数判断函数单调性的方法，基本初等函数和商的导数的求导公式，考查了计算能力，属于中档题．题型9放缩法比较大小【解题技巧】指数与幂函数相结合放缩比较大小．对数，用单调性放缩底数或真数比较大小．常见的放缩不等式：指数型函数不等式、对数型函数不等式、三角函数不等式．【例1】（2022•甲卷）已知a=3132，b＝cos14，cA．c＞b＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．a＞c＞b【分析】构造函数f（x）＝cosx+12x2−1，（0＜x＜1），可得cos14＞3132，即b＞a，利用三角函数线可得tanx＞x【解答】解：设f（x）＝cosx+12x2−1，（0＜x＜1），则f′（x设g（x）＝x﹣sinx（0＜x＜1），g′（x）＝1﹣cosx＞0，故g（x）在（0，1）单调递增，即g（x）＞g（0）＝0，即f′（x）＞0，故f（x）在（0，1）上单调递增，所以f（14）＞f（0）＝0，可得cos14＞3132利用三角函数线可得x∈(0，π2）时，tanx＞∴tan14＞14，即sin14cos综上：c＞b＞a，故选：A．【点评】本题考查了三角函数不等式的证明与应用，考查了运算能力，属难题．【例2】（2022•上杭县校级模拟）设a＝e0.2﹣1，b＝ln1.2，c=15，则a，b，c的大小关系为【分析】构造f（x）＝ex﹣x﹣1，利用导数研究其单调性，根据f（0.2）＞f（0）可判断a与c的大小关系；构造g（x）＝lnx﹣x+1，同理可由g（1.2）＜g（1）判断b与c的大小关系，从而可得解．【解答】解：设f（x）＝ex﹣x﹣1，则f'（x）＝ex﹣1，当x＞0时，f'（x）＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，故f（0.2）＞f（0）＝0，即e0.2﹣0.2﹣1＞0，即e0.2﹣1＞0.2，故a＞c．设g（x）＝lnx﹣x+1，则g'（x）=1x−当x＞1时，g'（x）＜0，故函数g（x）在（1，+∞）上单调递减，故g（1.2）＜g（1）＝0，即ln1.2﹣1.2+1＜0，即ln1.2＜0.2，故b＜c．所以b＜c＜a．故答案为：b＜c＜a．【点评】本题考查了利用导数比较数的大小，考查了构造法，属于较难题．题型10函数奇偶性和单调性等综合【解题技巧】抽象函数：可借助周期、对称性来去除f()来比较大小．有解析式的函数：通过求导或函数的性质，找到函数的对称性或单调性来比较大小．【例1】（2022秋•西昌市期末）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且函数图像连续不断，在[0，+∞）增函数，则（）A．f（0.83）＜f（20.3）＜f（lne） B．f（ln1）＜f（20）＜f（﹣eln2） C．f（0.83）＜f（lne）＜f（20.3） D．f（ln1）＜f（20）＜f（e﹣ln2）【分析】由已知结合函数的单调性及奇偶性即可比较函数值大小．【解答】解：因为f（x）是定义在R上的奇函数，且函数图像连续不断，在[0，+∞）增函数，所以f（0）＝0，f（x）在R上单调递增，因为0＜0.83＜1，20.3＞1，lne＝1，所以f（0.83）＜f（lne）＜f（20.3），A错误，C正确；ln1＝0，20＝1，﹣eln2＝﹣2，e﹣ln2=1所以f（﹣eln2）＜f（ln1）＜f（20），f（ln1）＜f（e﹣ln2）＜f（20），BD错误．故选：C．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性及单调性在函数值大小比较中的应用，属于中档题．【例2】（2022秋•遂宁月考）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且g（x）＝cos2x﹣xf（x），对于[0，+∞）上任意两个不相等实数x1和x2，g（x）都满足g(x1)−g(x2)x1−x2＞0，若a=g(log127.1)，b＝A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．..【分析】由题知函数g（x）为偶函数，在[0，+∞）上单调递增，进而根据20.9＜2＜1og27.1＜3＜31.1，结合函数的性质比较大小即可．【解答】解：因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），所以g（﹣x）＝cos（﹣2x）﹣（﹣x）f（﹣x）＝cos2x﹣xf（x）＝g（x），即函数g（x）为偶函数，因为对于[0，+∞）上任意两个不相等实数x1和x2，g（x）都满足g(x所以函数g（x）在[0，+∞）上单调通增，因为a＝g（log127.1）＝g（﹣log27.1）＝g（log27.1），20.9＜2＜1og27.1＜3＜3所以，g（20.9）＜g（log27.1）＜g（31.1），即b＜a＜c．故选：A．【点评】本题考查函数的性质，属于中档题．题型11三角函数值比较大小【解题技巧】将角通过诱导公式等化简到一个单调区间来比较大小．利用正余弦的有界性、正负值，结合三角函数性质来比较大小．【例1】（2022秋•安徽期末）若a＝log32，b＝log43，c=tanA．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c【分析】利用对数函数和指数函数的性质求出12＜a＜34，b＞【解答】解：∵24＜33，∴2＜3∴log33＜log32＜log3334，∴1∵b＝log43＞log422=c=tanπ8∴c＜a＜b，故选：B．【点评】本题考查对数函数和指数函数的性质，二倍角公式的应用，属于中档题．【例2】（2022秋•朔州期末）已知a=22tan48°1+tan248°，b=1+cos122°2，A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c【分析】由已知结合二倍角公式对a，b，进行化简，结合对数函数的性质对c化简，分别确定a，b，c的范围即可比较大小．【解答】解：因为a=22tan48°b=1+cos122°2=1+2cosc=log232=log所以a＞c＞b．故选：C．【点评】本题主要考查了二倍角公式，同角基本关系及对数函数的性质在函数值大小比较中的应用，属于基础题．最新模拟1.（2023•重庆模拟）已知，，则a、b、c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a【答案】C【题型】利用单调性（或图象）比较大小【解析】因为函数是定义域R上的单调减函数，且，所以，即．又函数在上单调递增，且，所以，即，所以a、b、c的大小关系为．故选C．2．（2022•榆林一模）已知a=2，b＝log36，c＝0.90.2A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞c＞a【答案】A【题型】取介质比较大小．【解析】解：因为1＜2＜1.5，0.90.2＜1，所以a＞因为log32＞log3所以b＞a，故b＞a＞c．故选：A．3．（2022春•东兴区校级月考）已知a＝log75，b＝log97，c＝1.110.1，则a，b，c的大小为（）A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜b＜a【答案】B【题型】作差法与作商法比较大小．利用均值不等式比较大小．【解析】解：a＝log75＜1，b＝log97＜1，c＝1.110.1＞1，log75﹣log97=lg5∵lg5lg9＜（lg5+lg92）2＝（lg452）2＜（lg492）2＝∴log75﹣log97＜0，∴a＜b，∴a＜b＜c．故选：B．4．（2022•聊城二模）已知a=2ln4，b=ln3A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a【答案】D【题型】作差法与作商法比较大小．【解析】解：∵e2＜2.82＜8，∴a﹣c=2∴a＜c；∵b﹣c=ln3∴b＞c，∴b＞c＞a，故选：D．5．（2022秋•昆明期末）已知a=loA．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b【答案】C【题型】利用换底公式比较大小．【解析】解：∵a＝log2ππ=11+logπ2，b＝log2ee∵0＜logπ2＜ln2＜1，∴12又∵4ln2＞4∴c=4故c＜b＜a，故选：C．6．（2022秋•丰城市期末）已知a=log132022，b=log20222023，c=202A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．c＞a＞b【答案】B【题型】利用0，1比较大小．利用单调性（或图象）比较大小．【解析】解：因为y=log又2022＞1，所以a=log因为y＝log2022x在（0，+∞）上单调递增，又2023＞2022，所以b＝log20222023＞log20222022＝1，因为c=2022−2022=120222022，所以0＜c故选：B．7．（2022秋•北海期末）已知a=2log322，b＝0.30.01，c=log22A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b【答案】B【题型】取介质比较大小．【解析】解：因为a=2log322=log38，1＝log33＜log故a∈（1，2），b∈（0，1），c=log所以b＜a＜c．故选：B．8．（2022秋•如东县期末）已知函数f（x）＝2x+x3，记a＝f（log0.32），b＝f（20.3），c＝f（0.32），则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b【答案】B【题型】函数奇偶性和单调性等综合．【解析】解：∵y＝2x和y＝x3在R上都是增函数，∴f（x）＝2x+x3在R上是增函数，∵log0.32＜log0.31＝0，20.3＞20＝1，0＜0.32＜1，∴log∴a＜c＜b．故选：B．9．（2022春•南昌月考）已知a＝log324，b＝log432，5c＝23，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a【答案】A【题型】取介质比较大小．【解析】解：因为a＝log324，b＝log432=52=log335所以a＞b，因为5c＝23即c＝log523＜2，所以a＞b＞c．故选：A．10．（2023•河曲县校级开学）已知45＜74，114＜75，设a＝log47，b＝log711，c＝log81243，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【答案】C【题型】取介质比较大小．【解析】解：∵45＜74，114＜75，∴5lg4＜4lg7，4lg11＜5lg7，∴lg7lg4∴a＞54，b＜∴b＜c＜a．故选：C．11．（2022秋•武昌区校级期末）设a＝log32，b＝log64，c＝log13540，则（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．a＜c＜b【答案】D【题型】作差法与作商法比较大小．【解析】解：∵b﹣c＝log64﹣log13540=2lg2(3lg3+1−lg2)−(lg3+lg2)(2lg2+1)(lg3+lg2)(3lg3+1−lg2)=4lg2lg3+lg2−4(lg2=(4lg2−1)(lg3−lg2)(lg3+lg2)(3lg3+1−lg2)＞0，∴b∵c﹣a＝log13540﹣log32==(2lg2+1)lg3−lg2(3lg3+1−lg2)=lg3−lg2lg3−lg2+(lg2=(lg3−lg2)(1−lg2)(3lg3+1−lg2)lg3＞0，∴c∴b＞c＞a，故选：D．12．（2022春•京口区校级期末）已知a＝ln33，b＝e﹣1，c＝（9﹣3ln3）e﹣3，则a，b，cA．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．b＜c＜a【答案】B【题型】构造函数法比较大小．【解析】解：令函数f（x）=lnxx（x≥则f'（x）=1−lnxx2所以f（x）在[e，+∞）上单调递减，又a=ln33=f（3），b=lnee=f（e），且e＜3＜e∴f（e）＞f（3）＞f（e33），即b＞a＞故选：B．13．（2022春•揭阳期末）已知a=6lnπ，b=2πln3，c=3πln2，则A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜b＜a【答案】D【题型】构造函数法比较大小．【解析】解：令函数f（x）=lnxf′（x）=1故当x∈（0，e2）时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，e2）上单调递增，而2＜3＜π＜e2，故f（2）＜f（3）＜f（π），即ln22故3πln2＜2πln3＜6ln即c＜b＜a，故选：D．14．（2022•梅州模拟）已知a，b，c∈（0，1），且a﹣lna+1＝e，b﹣lnb+2＝e2，c﹣lnc+3＝e3，其中e是自然对数的底数，则（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．a＞b＞c【答案】D【题型】构造函数法比较大小．【解析】解：由a﹣lna+1＝e，b﹣lnb+2＝e2，c﹣lnc+3＝e3得a﹣lna＝e﹣1，b﹣lnb＝e2﹣2，c﹣lnc＝e3﹣3，由y＝ex﹣x得y′＝ex﹣1，当x＞0时y′＝ex﹣1＞0，∴当x＞0时函数y＝ex﹣x单调递增，∴e﹣1＜e2﹣2＜e3﹣3，∴a﹣lna＜b﹣lnb＜c﹣lnc，对函数y＝x﹣lnx求导得y′＝1−1x，当x∈（0，1）时∴当x∈（0，1）时函数y＝x﹣lnx单调递减，又∵a﹣lna＜b﹣lnb＜c﹣lnc，∴a＞b＞c．故选：D．15．（2022•南京模拟）已知实数a，b∈（1，+∞），且log2a+logb3＝log2b+loga2，则（）A．a＜b＜b B．b＜a＜b C．b＜【答案】B【题型】函数奇偶性和单调性等综合．【解析】解：∵logb2＜logb3，∴log2a+logb2＜log2b+loga2，即log2a﹣loga2＜log2b﹣logb2，∵函数f(x)=x−1∴log2a＜log2b，即a＜b，故排除选项C、D；∵log2b＞log3b，∴log2a+logb3＞log3b+loga2，即log2a﹣loga2＞log3b﹣logb3，∵函数f(x)=x−1∴log2a＞log3b，又∵log∴log即a＞b故b＜a＜b故选：B．16．（2022秋•苏州月考）已知a＝0.7e0.4，b＝eln1.4，c＝0.98，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞a＞b【答案】A【题型】作差法与作商法比较大小．构造函数法比较大小．【解析】解：因为ac=0.7e0.4令函数F(x)=elnx−12x当x∈(0，e)时，F′（x）＞0，F（x）单调递增；当x∈(e，+∞)时，F′（x）＜0，所以F(x)≤F(e所以F(1.4)=eln1.4−12×1.42综上，a＞c＞b，故选：A．17．（2022春•福安市校级月考）已知a=ln22，b=1e，c=ln7A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a【答案】C【题型】构造函数法比较大小．【解析】解：设f(x)=lnxx，则f'(x)=1−lnxx2，0＜x＜e时，f'（x）＞0，f（x）递增；x＞e时，f'（x所以f(x)max=f(e)=lnee=1e又ln22−ln7所以c＜a＜b．故选：C．18．（2022秋•河东区校级月考）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且g（x）＝cos2x﹣xf（x），对于[0，+∞）上任意两个不相等实数x1和x2，g（x）都满足g(x1)−g(x2)x1−x2＞0，若a=g(log127.1)，b＝A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜c＜a【答案】A【题型】函数奇偶性和单调性等综合．【解析】解：因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），所以g（﹣x）＝cos（﹣2x）﹣（﹣x）f（﹣x）＝cos2x﹣xf（x）＝g（x），即函数g（x）为偶函数，因为对于[0，+∞）上任意两个不相等实数x1和x2，g（x）都满足g(x所以函数g（x）在[0，+∞）上单调递增，因为a=g(log因为20.9所以，g(20.9)＜g(log27.1)＜g(3故选：A．19．（2022•天津模拟）定义在R上的偶函数f（x）满足对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0．若a=f(log312)，b=f(log313)，c＝A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜b＜a【答案】D【题型】函数奇偶性和单调性等综合．【解析】解：因为定义在R上的偶函数f（x）满足对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0，所以f（x）在[0，+∞）上单调递减，因为a=f(log312)=f（log32），b=f(log313)=又30.2＞1＞log32，则f（30.2）＜f（1）＜f（log32），所以c＜b＜a．故选：D．20．（2022•苏州模拟）sin1，sin2，sin3按从小到大排列的顺序为（）A．sin3＜sin2＜sin1 B．sin3＜sin1＜sin2 C．sin1＜sin2＜sin3 D．sin2＜sin1＜sin3【答案】B【题型】三角函数值比较大小．【解析】解：sin2＝sin（π﹣2），sin3＝sin（π﹣3），因为0＜π−3＜1＜π−2＜π2，y＝sinx在所以sin（π﹣3）＜sin1＜sin（π﹣2），所以sin3＜sin1＜sin2．故选：B．21．（2022•南京模拟）设a＝2sin38°cos38°，b=2tan35°1−tanA．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c【答案】B【题型】三角函数值比较大小．【解析】解：∵a＝2sin38°cos38°＝sin76°＜1，b=2tan35°1−tan235°=tan70°＞tan60°∵a＝sin76°＞sin60°=32，∴a＞所以c＜a＜b．故选：B．22．（2023•和平区校级一模）已知a＝sin20°，b=π9，A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a【答案】A【题型】放缩法比较大小．【解析】解：设f（x）＝x﹣sinx，则f′（x）＝1﹣cosx≥0，∴f（x）在R上为增函数，∵sin20°＝sinπ9＜π9，∴∵c=12lne=∴c＜a＜b，故选：A．真题在线1．（2022•天津）已知a＝20.7，b＝（13）0.7，c＝log21A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．c＞a＞b【答案】C【题型】利用0，1比较大小．【解析】解：因为y＝2x是定义域R上的单调增函数，所以20.7＞20＝1，即a＝20.7＞1；因为y=(13)x是定义域R上的单调减函数，所以(13)0.7因为y＝log2x是定义域（0，+∞）上的单调增函数，所以log213＜log21＝0，即c＝log2所以a＞b＞c．故选：C．2．（2022•甲卷）已知9m＝10，a＝10m﹣11，b＝8m﹣9，则（）A．a＞0＞b B．a＞b＞0 C．b＞a＞0 D．b＞0＞a【答案】A【题型】构造函数法比较大小【解析】解：∵9m＝10，∴m＝log910，∵1=lo∴1＜m＜3a＝10m﹣11＝10m﹣10﹣1，b＝8m﹣9＝8m﹣8﹣1，构造函数f（x）＝xm﹣x﹣1（x＞1），∴f′（x）＝mxm﹣1﹣1，∵1＜m＜32，x＞1，∴f′（x）＝mxm∴f（x）＝xm﹣x﹣1在（1，+∞）单调递增，∴f（10）＞f（8），又因为f(9)=9故a＞0＞b，故选：A．3．（2022•新高考Ⅰ）设a＝0.1e0.1，b=19，c＝﹣A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b【答案】C【题型】构造函数法比较大小．【解析】解：构造函数f（x）＝lnx+1x，则f'（x）=1x−当f'（x）＝0时，x＝1，0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）在x＝1处取最小值f（1）＝1，∴lnx＞1−1∴ln0.9＞1−10.9=−19，∴﹣ln0.9＜∵﹣ln0.9＝ln109＞1−9∴0.1e0.1＜19，∴a＜设g（x）＝xex+ln（1﹣x）（0＜x＜1），则g'(x)=(x+1)令h（x）＝ex（x2﹣1）+1，h′（x）＝ex（x2+2x﹣1），当0＜x＜2−1时，h′（x）＜0，函数h（当2−1＜x＜1时，h′（x）＞0，函数h（x∵h（0）＝0，∴当0＜x＜2−1时，h（当0＜x＜2−1时，g′（x）＞0，g（x）＝xex+ln（1﹣∴g（0.1）＞g（0）＝0，∴0.1e0.1＞﹣ln0.9，∴a＞c，∴c＜a＜b．故选：C．4．（2021•全国）已知a＞b＞1，则以下四个数中最大的是（）A．logba B．log2b2a C．log3b3a D．log4b4a【答案】A【题型】取介质比较大小．【解析】解：令a＝4，b＝2，则logba＝log24＝2，log2b2a＝log48=lg8log3b3a＝log612＝1+log62＜1+log66=1+log4b4a＝log816＝1+log82＝1+1故最大的是logba，故选：A．5．（2021•天津）设a＝log20.3，b=log120.4，cA．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b【答案】D【题型】利用0，1比较大小．【解析】解：∵log20.3＜log21＝0，∴a＜0，∵log120.4＞log∵0＜0.40.3＜0.40＝1，∴0＜c＜1，∴a＜c＜b，故选：D．6．（2021•新高考Ⅱ）已知a＝log52，b＝log83，c=1A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c【答案】C【题型】取介质比较大小．【解析】解：∵log52＜lo∴a＜c＜b．故选：C．7．（2020•天津）设a＝30.7，b＝（13）﹣0.8，c＝log0.70.8，则a，b，cA．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【答案】D【题型】利用0，1比较大小．【解析】解：a＝30.7，b＝（13）﹣0.8＝30.8则b＞a＞1，log0.70.8＜log0.70.7＝1，∴c＜a＜b，故选：D．8．（2020•新课标Ⅲ）设a＝log32，b＝log53，c=2A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【答案】A【题型】取介质比较大小．【解析】解：∵a＝log32=logb＝log53=logc=2∴a＜c＜b．故选：A．9．（2020•新课标Ⅲ）已知55＜84，134＜85．设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【答案】A【题型】取介质比较大小．利用均值不等式比较大小．【解析】解法一：由34∵log5∴log53＜log85，即a＜b；∵55＜84，∴5＜4log58，∴log58＞1.25，∴b＝log85＜0.8；∵134＜85，∴4＜5log138，∴c＝log138＞0.8，∴c＞b，综上，c＞b＞a．解法二：∵a＝log53，b＝log85，c＝log138，∴a﹣b＝log53﹣log85=＜(∴a＜b，∵55＜84，∴5log85＜4，∴b＝log85＜4∵134＜85，∴4