高二数学寒假讲义练习（人教B用 选择性必修三）第07讲 等差数列及其求和（教师卷）

第07讲等差数列及其求和【学习目标】1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系.【知识导航】1.等差数列的概念(1)定义：一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d，即an＋1－an＝d恒成立，则称{an}为等差数列.其中d称为等差数列的公差.数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数).(2)等差中项：①如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的等差中项，A＝eq\f(x＋y,2).②推广：若{an}为等差数列，则2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N＋)成立.2.等差数列的通项公式与前n项和公式(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）d,2)＝eq\f(n（a1＋an）,2).3.等差数列的性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也为等差数列.(6)若等差数列的项数为2n(n∈N＋)时，则S2n＝n(an＋an＋1)，且S偶－S奇＝nd，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1).(7)若等差数列的项数为2n－1(n∈N＋)时，则S2n－1＝(2n－1)an，且S奇－S偶＝an，S奇＝nan，S偶＝(n－1)an，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n,n－1).1.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.2.在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值.3.等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列.4.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).【知识预习】考点一：等差数列1．在等差数列中，若，，则（

）A．14 B．15 C．16 D．8【答案】C【详解】由题意可知，在等差数列中，由等差数列性质可知，若则；所以故选：C.2．等差数列中，已知，，则公差d（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【详解】因为等差数列中，，，所以，解得故选：A.3．已知数列满足，且，则的通项公式（

）A．n B． C． D．【答案】A【详解】由题意可得，解得，则，所以是以1为首项，1为公差的等差数列，．故选：A4．等差数列的前项和为，若，则（

）A．2020 B．1525 C．1515 D．2015【答案】C【详解】法一、法二、（特值法）不妨设为常数列，令故选：C5．已知为递增的等差数列，，若，则（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】C【详解】设公差为，根据等差数列性质可知，又，且递增，解得：，又，即，解得.故选：C.考点二：两角和与差的余弦6．设等差数列的前项和为，若，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：由等差数列的性质可知，、、、成等差数列，且该数列的公差为，则，所以，，因此，.故选：D.7．设公差不为零的等差数列的前n项和为，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为是公差不为零的等差数列，，所以，得，令，则，则所以.故选：D.8．已知等差数列，前n项和为，则（

）A．200 B．300 C．500 D．1000【答案】C【详解】设等差数列的首项为，公差为d，则，化简得,故选:C．9．在等差数列中，，则数列的前项和的最大值为（

）A． B． C．或 D．【答案】A【详解】因为是等差数列，，所以，整理得，又因为，所以；所以．故当时，取得最大值．故选：A.10．已知等差数列的前项和为，若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为为等差数列，所以成等差数列，因为，设，由，即，则，所以，所以，所以.故选：B.【对点训练】一、单选题1．已知是数列等差数列，，则公差（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】∵是等差数列∴，即：，∴，故选：C.2．在等差数列中，若，，则公差（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【详解】由等差数列的通项公式知．故选：A3．已知等差数列中，，，则的值是（

）A．4 B．15 C．31 D．64【答案】B【详解】因为是等差数列，所以，即，故.故选：B.4．数列的前项和，则当取最小值时是（

）A．2或 B．2 C．3 D．3或【答案】A【详解】将看成一个二次函数，其顶点横坐标为，又离对称轴最近的正整数为；故选：A5．已知等差数列，的前n项和分别为，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】，由题意可得.故选：B6．已知等差数列的前项和为，若，则（

）A．7 B． C． D．10【答案】B【详解】因为，，所以，解得，所以.故选：B.7．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积是（

）A．升 B．升 C．升 D．升【答案】A【详解】根据题意得该竹子自上而下各节的容积形成等差数列，设其首项为，公差为，由题意可得，所以，解得，所以，即第5节竹子的容积为升．故选：A．8．已知等差数列的前项和为且，则的前项和为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】设等差数列的公差为，，，，解得，，，设，当时，，数列是等差数列，首项为，公差为．则其前项和．故选：B二、多选题9．记为等差数列的前项和，则（

）A． B．C．，，成等差数列 D．，，成等差数列【答案】BCD【详解】由已知得，A选项，，，，所以，A选项错误；B选项，，B选项正确；C选项，，，，，，则，C选项正确；D选项，，，，则，D选项正确；故选：BCD.10．已知等差数列的前n项和为，公差为d，则下列等式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【详解】因为等差数列的前n项和公式为，故B正确；又，而，故，故D正确，故选：BD．三、填空题11．在等差数列中,,则___________.【答案】-19【详解】解:由题知为等差数列,记公差为,,,,.故答案为:-1912．设等差数列的前项和为，若公差则__【答案】55【详解】，，即则故答案为：55四、解答题13．已知是等差数列的前项和，，.(1)求数列的通项公式；(2)若，求的最小值.【答案】(1)(2)12【详解】（1）设数列的公差为，因为，所以.解得.所以.（2），所以.令，得，解得：（舍去）.因为，所以的最小值是12.14．已知数列中，且.(1)求；(2)求数列{}的前n项和的最大值.【答案】(1)＝﹣4n+17；(2)28.(1)由﹣4，可知，﹣＝﹣4，∴数列{}是以13为首项，以﹣4为公差的等差数列，∴＝13﹣4(n﹣1)＝﹣4n＋17；(2)由(1)可知，数列{}单调递减，且a4＞0，a5＜0，∴当n＝4时，{}的前n项和取得最大值＝13＋9＋5＋1＝28.15．已知等差数列的前n项和为.(1)求{an}的通项公式；(2)若，求数列{}的前n项和Tn.【答案】(1)(2)【详解】（1）设等差数列的公差为d，由题意知，解得：∴.故的通项公式为.（2）∵即：的前n项和.【提升作业】一、单选题1．已知等差数列中，，公差，则数列的前4项和（

）A．15 B．30 C．50 D．75【答案】C【详解】等差数列中，，公差，则首项，所以数列的前4项和.故选：C2．已知等差数列的前项和为，且，则的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】根据等差数列前项和公式得，，由等差数列的性质可知所以即．故选：B.3．记数列是等差数列，下列结论中一定成立的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【详解】对A，若，则，但，故A错误；对B，若，则，但，故B错误；对C，设公差为，则由可得，即，故，故C正确；对D，设公差为，则，故D错误；故选：C．4．已知等差数列的前n项和为，，，则（

）A．55 B．60 C．65 D．75【答案】C【详解】设等差数列的公差为d，，，，，解得，，则.故选：C.5．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，1852年，英国传教士伟烈亚力将该解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，此定理讲的是关于整除的问题，现将1到2022这2022个数中，能被2除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列共有（

）A．145项 B．146项 C．144项 D．147项【答案】A【详解】由已知可得既能被整除，也能被7整除，故能被整除，所以，，即，故，即，解得，故共项，故选：A.二、填空题6．等差数列前n项和，等差数列前n项和，，则_____.【答案】【详解】等差数列中，，则.故答案为：.7．为等差数列，，则__________.【答案】108【详解】方法1：∵为等差数列，∴，，∴，，∴，方法2：∵为等差数列，设公差为d，∴解得：∴故答案为：108.三、解答题8．已知是等差数列的前n项和，，．(1)求数列的通项公式；(2)若，求n的最小值．【答案】(1)(2)12【详解】（1）设数列的公差为，∵，∴，解得．∴；（2），则．令，即，解得舍去，∵，∴的最小值是12．9．已知数列满足，记，(1)写出数列的前4项；(2)记，判断数列是否为等差数列，并说明理由；(3)求的前20项和．【答案】(1)，，，；(2)是等差数列，理由见解析；(3)300.【详解】（1）因为数列满足．，，，，所以，；（2），，所以数列是以为首项，以3为公差的等差数列，所以