河南省名校联盟顶尖计划2022届高中毕业班第三次考试理数试题（含答案解析）

河南省名校联盟"顶尖计划“2022届高中毕业班第三次考试

理数试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合A={x|14xW4},8=卜|凶43},则AC8=（）

A.{x|-3<x<41B.|x|-3<x<31C.{邓4x44}D.1x|l<x<3}

2.己知复数z满足|z-i|=2,N为z的共聊复数，则zD的最大值为（）

A.1B.4C.9D.16

1*2/3

3.已知椭圆C：点+方=l（a>b>0）的离心率为巨，以C的上、下顶点和一个焦点为

顶点的三角形的面积为48,则椭圆的长轴长为（）

A.5B.10C.15D.20

4.某市为了解市民对机动车单双号限行的看法，随机调查了一部分市民，其年龄

（岁）统计结果如下，则这组数据的中位数为（）

5.盈亏平衡点又称零利润点，通常是指全部销售收入等于全部成本时（销售收入线与

总成本线的交点）的销售量，其计算公式为BEP⑼=（其中BEP（Q）为盈

亏平衡点，Q为单位产品变动成本，兀为单位产品税金及附加，P为产品单价，CF

为总固定成本）.某企业某种产品的年固定成本为1800万元，单位产品变动成本为600

元，单位产品税金及附加为200元，若该企业这种产品每年的盈亏平衡点为75000

台，则该产品的单价为（）

A.1000元B.1020元C.1040元D.1060元

6.已知正项数列{4}满足a；+3a,=2"q+3-2",则数列{q}的前10项和九=

()

A.1022B.1023C.2046D.2047

7.（J7+l）13&-5）2的展开式中N项的系数为（）

A.-1120B.-140C.140D.1120

8.在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的

上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所

示的曲池，它的高为2,A4,BBi，CC,,。力।均与曲池的底面垂直，底面扇环对应

的两个圆的半径分别为1和2,对应的圆心角为90。，则图中异面直线AB|与CA所成

角的余弦值为（）

小!----、

9.已知是定义在R上的奇函数，/（x-2）为偶函数，且当0<x42时,

/(x)=log22x,贝lj*201)+/(202)=()

A.4B.3C.2D.1

10.在四棱锥S-ABCD中，侧面SA£>,底面ABCQ,且SA=SD,ZA5£>=90°,底面

ABC力是边长为2的正方形，设P为该四棱锥外接球表面上的动点，则三棱锥P-S4D

的最大体积为（）

2+2也2+应

A.1+72RcD

3---¥

22

11.已知双曲线C:*■-春=1（。>0）的左、右焦点分别为匕、F],过C的左顶点A作

一条与渐近线平行的直线与y轴相交于点3,点M为线段A8上一个动点，当

砒•丽分别取得最小值和最大值时，点M的纵坐标分别记为加、几,则£=

（）

43

A.-B.-C.3D.4

32

12.在数列｛4｝中，4=34（/1<0）,《用+2储=为+24向，且对任意见HGN\

则实数2的取值范围是（）

4,16）

二、填空题

13.已知向量1=（-6,-3）,石=（-2,机-1）,若（方-药）/万，则实数机=.

x+4y+4>0,

14.已知变量x,y满足约束条件，x-2）“220,贝ijz=2x+4y的最小值为.

x+y-2<0,

15.将函数〃x）=sin（2x+。）（。>0,|同<9的图像向左平移。个单位长度得到函数g（x）

的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为g,则9=___________.

2

16.已知对任意xeR,不等式cos（2sinx）4acos2x（aeR）恒成立，则实数。的取值

范围是.

三、解答题

17.已知AABC的内角A,B,C所对的边分别为“，b,c,且满足

2ccosC=fzcosB-Z?cos（B+C）.

⑴求角C

⑵若c=6,AABC的面积S=MsinB,求S.

18.如图，在直四棱柱A8CO-A4GA中，底面ABC。为菱形，且ZB4D=60。，E为

AB的中点，尸为BG与8c的交点.

(1)求证：平面DEF_L平面CDD.C,；

⑵若DR=AD,求二面角。-DE-尸的余弦值.

19.无土栽培由于具有许多优点，在果蔬种植行业得到大力推广，无土栽培的类型主

要有水培、岩棉培和基质培三大类.某农科院为了研究某种草莓最适合的无土栽培方

式，种植了400株这种草莓进行试验，其中水培、岩棉培、基质培的株数分别为200,

100,100.草莓成熟后，按照栽培方式用分层抽样的方法抽取了40株作为样本，统计

其单株产量，数据如下：

方式

株数水培岩棉培基质培

单株产量(g)

(50,KX))X43

[100,150)53Z

[150,200)422

[200,M)1y0

(1)求x,y,z的值；

(2)若从这40株草莓中随机抽取2株，求这2株中恰有1株的单株产量不小于150g的

概率；

(3)以这40株草莓的不同单株产量的频率代替每一株草莓的产量为对应数值的概率，若

从这400株草莓中随机抽取3株，用X表示单株产量在［150,200)内的株数，求X的分

布列和数学期望.

20.在平面直角坐标系xOy中，已知产为抛物线C：V=2px(p>0)的焦点，点

P(t,s)(s>0)为抛物线C上一点，户关于x轴对称的点为Q,且△。尸。和△OP尸的面

积分别为16和2.

(1)求C的方程；

⑵设直线/：y=H+2仕>0)与抛物线C相交于48两点，过点A作X轴的垂线与直线

分别相交于点M,N,证明：

21.已知函数f(x)='乎(〃?*0,〃?€11)的图象在》=：处的切线斜率为262.

⑴求函数〃x)的极大值；

(2)若(%,“)，(W，a)是函数y=/(x)图象上不同的两点，求实数a的取值范围，并证

2

明：xtx2>e.

22.在平面直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为<(f为参数)，以。为

极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为

夕+―=4cos6-2sin。

P

(1)求直线/的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

(2)设直线/与曲线C的两个交点分别为A,8,点P(2,0),记APQ4与的面积分

别为S1,s2,求［+!的值.

23.已知函数/(x)=|4x—1］.

⑴求不等式〃x+l)+/(x)N6的解集；

(2)若函数y=/(x)+/的图象与函数y=5r-/(x+1)的图象有公共点，求实数f的取值

范围.

参考答案：

1.D

【解析】

【分析】

先化简集合B,再去求A08.

【详解】

B=[料43}={止34x43}

贝|JAryB=|x|l<x<41n|x|-3<x<3j={x|l<x<3j

故选：D

2.C

【解析】

【分析】

由复数模的几何意义可得复数z对应的点在以(0,1)为圆心，

以2为半径的圆上，从而可求得的最大值.

【详解】

设z=x+>i(xeR,yeR),则z-i=x+yi-i=x+(y-l)i,

由|z—i|=2,得Jd+(y-l)2=2,即f+(y_iy=4,

所以z所对应的点(x,y)的轨迹是以(0,1)为圆心2为半径的圆,

因为三为z的共舸复数，所以z=x-yi

B[Jz-z=x2+y2,

而Z-N=V+y2可看作该圆上的点(x,y)到原点的距离的平方，

所以(z-5：U=(J(°—°)2+(°一3)2『=9

故选：C.

3.D

【解析】

【分析】

根据题意，列出a,4c的方程组，解得a,〃,c,则问题得解.

答案第1页，共19页

【详解】

根据题意，由椭圆的离心率为；3可得c93

5a5

又gx勖xc=48,即从=48,又a2=6+c2,

故可得a=10,6=8,c=6,则椭圆的长轴长2«=20.

故选：D.

4.B

【解析】

【分析】

根据频率分布直方图的中位数的计算方法，准确计算，即可求解.

【详解】

由频率分布直方图，可得区间［0,30］的频率为(0.005+0.018+0.020)xl0=0.43,

又由区间［30,40］,0.025x10=0.25,

设这组数据的中位数为七,则』=30+三05-意04丝3x10=32.8.

故选：B.

5.C

【解析】

【分析】

根据题中公式代入相应数据即可求解产品的单价.

【详解】

由公式BEP(Q)=得

1800x10，

75000=，解得P=1()40元

P-600-200

故选：C

6.C

【解析】

【分析】

由a：+34=2"q+32,变形为(4+3)(a“—2")=0,根据4>0,得到q=2”求解.

【详解】

答案第2页，共19页

因为｛4,,｝满足片+3a“=2"q+32,

所以&+3)(0“-2")=0,

因为＞。，

所以4=2”,

因为詈=击=2,

an-\N

所以｛%｝是以2为首项，以2为公比的等比数列，

所以兀=2(1-2)=2"—2=2046

101-2

故选：C

7.B

【解析】

【分析】

把题给(4+1)7(3五-5『展开整理成9》(«+1)7-30仪五+1)7+25(«+1)7,再依据二

项展开式通项公式去求解即可.

【详解】

(4+1)(3«-5)=9x(五+1)-306(&+1)+25(4+1)

又(T+1)，的展开式的通项公式为c；x子

贝iJ(4+l)，34-5『的展开式中V项为

7-37-27-1

9%0T-30yC^x2+25Gxr=(9C,-30C；+25C；)x3=-l40x3

即(4+1『卜五-5『的展开式中V项的系数为一140

故选：B

8.A

【解析】

【分析】

建立空间直角坐标系，以向量法去求解异面直线A片与CQ所成角的余弦值.

答案第3页，共19页

【详解】

设上底面圆心为。I，下底面圆心为。，连接。a，0C,08

以。为原点，分别以0。,。8,。01所在直线为X轴、y轴、Z轴建立空间直角坐标系

则

C(l,0,0),4(0,2,0),B\(0,1,2),D}(2,0,2),

贝IJ西=(1,0,2),AB,=(0,-1,2)

8s(可鬲"苛篇q

IT

又异面直线所成角的范围为(0,5

故异面直线AB「与CR所成角的余弦值为:

故选：A

9.B

【解析】

【分析】

根据题意，求得/(x)的周期，结合已知函数解析式，即可代值求得结果.

【详解】

因为/(X)是定义在R上的奇函数，故可得〃x)=-"-"，

又“X—2)为偶函数，故可得〃x-2)=〃—x—2)=—/(x+2),

贝厅(x)=-f(x+4)=-[-/(x+8)]=〃x+8),故以8为周期；

^/(201)+/(202)=/(l)+/(2)=log22+log24=l+2=3.

答案第4页，共19页

故选：B.

10.D

【解析】

【分析】

根据题意作图，结合几何关系，求得四棱锥S-A8CD外接球的球心位置以及球半径，再求

三棱锥P-SAD体积的最大值即可.

【详解】

连接AC,BO交于点0,取AO中点为M,连接SMQS,作图如下:

因为AS=DS,NASD=9()。，又M为A。的中点，故〃为的外心，

又平面SAD1平面ABCD，且面SADc面ABCD=AD,又OM±AD,OMu面ABCD,

故可得面SAO,故OA=OS=O£＞：

又四边形A8C£＞为正方形，且。为对角线交点，故可得。4=O3=OC=8,

综上所述，OA=OB=OC=OD=OS,故。为四棱锥S-AfiCD的外接球的球心.

则其外接球半径R=OD=gBD=&

又P为该四棱锥外接球表面上的动点，若使得三棱锥P-SAD的体积最大，

则此时点尸到平面SAD的距离/?=OM+R=1+夜，

故其体积的最大值丫=gS,w,x"=gxAOxSMx(1+0)

=gxgx2xlx(l+&)=.

故选：D.

11.D

【解析】

【分析】

答案第5页，共19页

设点M的坐标为1,G（x+。）），其中-aWO,可得出砒•丽关于x的二次函数关系

式，利用二次函数的基本性质可求得当丽•近取最小值和最大值时对应的x值，可求得

机、〃的值，即可得解.

【详解】

由题意可得匕c=2a1£（—2a,0）、F2（2^,0）,

双曲线C的渐近线方程为y=±>/3x,

不妨设直线A8的斜率为5则直线A8的方程为y=G（%+。），易得5（0,耳）,

设点〃的坐标为1,6（工+〃）），其中一a«x<0,

MF、=（_Q_X,_6（X+Q））,MF?=（Q_X,_6（X+Q））,

22

所以，MF｛.MF?=（一〃一x）（a-九）+3（尤+〃）2=4x+6ax+2a=4（x+£z）,

故当x=—：Q时，砒•丽取得最小值，止匕时机=6（〃一（。）=亨a,

当％=0时，幅•近取得最大值，此时〃=因此，-=4.

I2m

故选：D.

12.A

【解析】

【分析】

由%+2*=4+22w+,得凡+1—24'=4—24"=・・・=q—2）=2,由此得2=2e+4,根

据?L讨论曲吟’由此得凡（。及彳<，<°•研究㈤｝的奇数项和偶数项’得

到｛%｝的单调性，求出其最大项和最小项即可.

【详解】

an+l+2A"=an+2方向na„+l-2方向=a„-2A"=■■■=a,-2A'=3A-22=2

=>an=24"+2.

丁q=3/1<0且对任意〃eN•，幺，故a,<0,

a„16）

答案第6页，共19页

2

/.a2=22+2<0,/I,此时对任意neN”,a“wO.

n

当-g<2<0时，0<闻<；,a2n=\Af+A>A,a2n_l=-2\Af"''+A<A,

由指数函数的单调性知，｛《,｝的偶数项单调递减，奇数项单调递增，且见”>义>出,t，

故｛4｝的最大值为4=2纪+久，最小值为4=32,

a,24+143

由题意，字n的最大值及最小值分别为一=二一和」=F7，

ana｝3a22z+1

,244-113.,1.

由--->二及TT-；—7<6，解/得F=1-丁v/<°•

362/4-14

综上所述，2的取值范围为卜；,0).

故选：A.

【点睛】

本题关键是讨论分类讨论｛a,,｝的奇数项和偶数项，以便确定其单调性，从而其最大项和最

小项，由此得到”的最大值和最小值.

13.0

【解析】

【分析】

先求出的坐标，再利用向量共线的坐标形式可求m的值.

【详解】

a-2b=(-2,-1-2m),

因为万，故—2x(—3)=—6x(—1—2〃。，解得根=0,

故答案为：0.

14.-4

【解析】

【分析】

由约束条件作出可行域，将z=2x+4y转化为：y=_gx+；z,由直线在)，轴上的截距最

小时求解.，

【详解】

答案第7页，共19页

x+4y+4N0,

由变量X，y满足约束条件，x-2y-220,作出可行域如图所示:

.x+y-240,

将z=2x+4y转化为：>=_?+?,平移直线y=-gx,

当直线经过点A(0,-1)时，在y轴上的截距最小，

此时，目标函数取得最小值，最小值为-4,

故答案为：-4

15-

-6

【解析】

【分析】

根据三角函数图象的对称性，得到S=2Sb,BQ=］，求得。=?，进而求得w=2,得到

〃x)=sin(2x+e),结合f成)=1,即可求得。的值.

【详解】

如图所示，根据三角函数图象的对称性，可得阴影部分的面积等于矩形ABCO和EFGH的

面积之和,即S=SoABCt)+SOEFGH=2S0ABCO>

因为函数〃x)=sin(2x+e)的图像向左平移e个单位长度得到函数g(x)的图象，

所以SoABCD=9xl=e,

TTTTTT

又因为图中阴影部分的面积为g,所以2O=g,解得。=9，

224

答案第8页，共19页

又由图象可得。=4，可得4=f，所以T="，所以w=§=2,

444T

所以/(x)=sin(2x+0),

〃〃777/

因为/(—)=sin(2x—+^>)=1,可得一+。=—+2ATT,%£Z,即。=—+2ATT,A：£Z,

66326

因为|夕|<g,所以S=

2o

16.［1,+℃)

【解析】

【分析】

设f=2sinx八［—2,2］,所以对任意re［-2,2］,不等式cosf4—产+〃恒成立，再对〃分三

种情况讨论得解.

【详解】

2A2

解：设，=2sinx"e［-2,2］,所以sinx=L,，cos2x=l-sin2x=l--=...-.

244

所以对任意，€［-2,2］,不等式cosYa恒成立，

4

所以对任意te［-2,2］,不等式cosY-at2+a恒成立，

4

当a=0时，不等式cosfWO不是恒成立；

当a<0时，y=cosr在［-2,0］是增函数，在。2］是减函数，y=一工。』+〃在-2,0］是减函

4

数，在［0,2］是增函数，所以函数g(r)=cosf+ax=在［-2,0］是增函数，在［0,2］是减函数，

4

所以当f=0时，5(0max=l-«<0,.■.«>1,与。<0矛盾，所以舍去；

答案第9页，共19页

当a>0时,对任意2,2],不等式cosrV--+a恒成立,如图所示,

--ijxO2+a>cosO

所以:

——ax22+a>cos2

I4

综合得a21.

故答案为：

17.(l)y

⑵66

【解析】

【分析】

(1)利用正弦定理及三角变换公式可得2sinCcosC=sinC,从而可求角C；

(2)利用面积公式可得。=»,再结合余弦定理可求。力，从而可求S.

(1)

因为A+8+C=n,所以cos(B+C)=-cosA,

所以2ccosC=acosB+bcosA,

由正弦定理得2sinCeosC=sinAcos8+sin8cosA=sin(A+3).

因为sin(A+8)=sinC,所以2sinCcosC=sinC.

1jr

因为Ce(O,7t),所以sinCxO,所以cosC=],则C=§.

⑵

由S=6bsin8,根据面积公式，得6i»sin3=；acsinB=3asinB,所以a=2/>.

答案第10页，共19页

由余弦定理得cosC='+"一.=L整理得/+加一"=36,即3/=36,

2ab2

所以/?=26，a-4A/3-

所以AABC的面积S=L"sinC=4x4百X2百sin2=6G

223

18.（1）证明见解析；

（2）^2.

13

【解析】

【分析】

（1）先证明平面CD。©,进而根据面面垂直的判定定理证明问题；

（2）建立空间直角坐标系，进而根据空间向量的夹角运算求得答案.

（1）

如图，连接BD

在菱形ABC。中，连接B£>,ZBAD=60°,所以△A3。为正三角形，

因为E为AB的中点，所以OELA8.

因为AB//C。，所以OE_LCD

因为。平面ABC。，OEu平面48c。，所以DR,DE,

而。RcOC=。，所以OEJ_平面CORG.又因为£）£u平面。£凡所以平面。平面

CDDtCt.

答案第11页，共19页

设OR=AO=2,以。为原点，以直线OE,DC,。。分别为x,y,z轴建立如图所示的

空间直角坐标系，则。（0,0,0）,£（73,0,0）,F^,1,1,C（0,2,0）,所以

'瓜=0,

n•DE=0,

设〃=（x,y,z）为平面。EF的法向量，由，得4733取y=2,得

nDF=0-x+-y+z=0,

H=(0,2,-3)-

由(1)DC±DE,DC±DDt,DEnDD,=D,则ZX7J_平面£>QE,即丘=(0,2,0)为平面

的一个法向量，所以cos<〃，曲>=-^^—=2姮，由图可知二面角

|〃||DC|63x213

D「DE-F为锐角,所以二面角R-OE-尸的余弦值为名叵.

13

19.(l)x,y,z的值分别为10,1,5；

⑵工；

13

答案第12页，共19页

(3)分布列答案见解析，数学期望：!3

【解析】

【分析】

(1)根据分层抽样的性质进行求解即可；

(2)根据古典概型公式进行求解即可；

(3)根据二项分布的性质进行求解即可.

(1)

根据分层抽样可知，水培、岩棉培、基质培分别抽取的株数为20,10,10,

由x+5+4+l=20,解得x=10,

由4+3+2+y=10,解得y=l,

由3+z+2+0=10,解得z=5,

故x,y,z的值分别为10,1,5：

(2)

记''这2株中恰有1株的单株产量不小于150g”为事件4

由表可知，单株产量不小于150g的共有4+2+2+1+1+0=10株，

所以小)=警4.

^401$

(3)

依题意可知，单株产量在［150,200)内的概率为P=*=(,

X的所有可能取值为0,1,2,3,则X:

贝lJP(X=0)=C；P（X=1）=C；

其分布列如下:

X0123

6448121

P

125125125125

答案第13页，共19页

13

所以EX=3x、.

20.(1)/=4x

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

(1)由题意知|尸。=25,根据△OPQ的面积，可知及=16①；根据抛物线的焦点结合

△OPF的面积，可知与=2②，联立①②，可得尸再将其代入抛物线方程可得

4IP)

P=2,即可求出C的方程.

(2)由(1)知直线OP的方程为'=工，设A(XQJ,8(孙％)，由题意易知

竽)，将直线和抛物线方程联立，可得根与系数的关系；要证=只需证

%一*=占一/，再将其化简可得(ZA-ZMiW+Zlx+xJnO,再根据韦达定理即可证明

结果.

(1)

解：由题意知|尸0=2$,所以△OPQ的面积为gxtx2s=fs,则rs=16①.

又因为焦点尸［§，。］,所以|0尸|=§,则△OPF的面积为:x§xs=弓，则个=2②.

8(8、

由①②，联立解得f=2。，s=一,则P2PL,

PIP)

将尸点坐标代入抛物线方程得(旦］=2p-2p,

解得。=2,

故C的方程为V=4x.

(2)

解：由(1)知P(4,4),则直线。尸的方程为丁=匕

设A&,*),8(%,%),则直线AM的方程为x=±,直线08的方程为》=&心

冗2

答案第14页，共19页

所以“（七,石）,

联立｛jU；'消去y得公1+（我—4）x+4=0,

贝IJA=（4Z-4）2-16〃=16—32女>0,得0<%<g,所以点P在A8之间.

由根与系数的关系，得占+%=4节一4^〃,%七=正4.

将｛；'：；代入上式，得（如+2居+（依+2）々=2不々.

整理得（2%-2）5々+2（%+々）=0.

所以（2&-2卜亳+、芦=0,此等式显然成立，

所以|AM|=|MN|.

21.⑴！

e

（2）证明见解析

【解析】

【分析】

（1）求出函数的导数，利用/'（j=2e2可求〃?=1,结合导数的符号可得函数的极值.

（2）令g（x）="x）-a,根据单调性可得最大值，根据后者的符号可得。的取值范围，注意

检验.利用不占满足的条件可得要证x/2>e2,只需证：&±±・ln±>2,后者可构建新函

X2~X\X\

数来证明.

答案第15页，共19页

⑴

m(l-lnx)

由题可知函数/(X)的定义域为(0,m)，/'("=

/M(1+1))2

2e2,得-i—=2e\解得机=1.

此时((%)=匕学

当xe(0,e)时，盟x)>0,故〃x)在(0,e)上单调递增，

当xe(e,+8)时<0,故/(x)在(e,+QO)单调递减，

所以当x=e时，取得极大值，为了⑻三.

(2)

由题意知方程/(x)=a有两个不同的实数根为，

令g(x)=f(x)-a，则g(x)有两个不同的零点,

由(1)知“X)在(O,e)上单调递增，在(e,”)上单调递减，极大值为/(e)=g.

故g(x)在(O,e)上单调递增，在(e,*o)上单调递减，g(x)m”==

所以，一a>0即

ee

若aVO,则当X>e时，g(x)=(一〃>一"20即g(x)>0,

故g(x)在(e,”)上没有零点，此时g(x)在(0,”)上至多有一个零点，矛盾.

故0<a<L

下证：当》>e时，21nx<x,

2—x

设〃(x)=21nx-x,x>e,则“(力=三一<0,故〃(力在(e,+oo)上为减函数,

故〃(x)<〃(e)=2-e<0,故当x>e时，21nxex成立.

所以1>e时，有In/〈尢即

故当”正时，有lnr<«

4/、Inx1八

当x>max时，g(x)=~—a<~^=-〃<0,

答案第16页，共19页

故g(x)在(e,+oo)上有一个零点.

又g(l)=-a<0,故g(x)在(O,e)上有且只有一个零点.

综上，0<a<-.

e

不妨设0<X1<e<X2，由/(x)=/(w)可得生上=5上，

X\X2

可得产产=*,整理得g止3/通

Inx2-In斗x2-xix2-x}

2(三一1、

要证占当>，，只需证：玉兰Jin垣>2,即证/强>2(一大)二工_2,

々一占