中国石油大学机电系统计算机控制 (3)

第三章信号采样与z变换理论及应用

1.计算机控制的信号形式；2.采样定理、量化、保持电路；3.Z变换的定义、性质、定理；

Z变换的方法；

Z反变换及求解差分方程；主要内容：§3.1计算控制系统的信号形式

2、由于绝大多数机械系统的受控参数是模拟量，而计算机是一个数字量装置，故需要变换装置或过程通道。1、计算机控制系统的基本特征是以数字计算机取代模拟调节器，组成数字式的闭环控制系统。以计算机代替常规的模拟控制器，并使其成为控制系统的一部分，这种计算机参与控制的系统称为计算机控制系统。3、控制系统的信号形式r(t)：输入信号,连续,模拟h(t)：反馈信号,连续,模拟e(t)：偏差信号,连续,模拟e(kT)：采样后的信号,离散,数字u(kT)：计算机输出的信号,离散,数字u(t)：阶梯型信号,连续,模拟y(t)：被控对象的被控制量,连续,模拟计算机控制系统中包含有四种信号形式：幅值连续-时间连续信号、幅值连续-时间离散信号、幅值离散-时间离散信号和幅值离散-时间连续信号。r(t)t0e(t)t0kT0（a）（b）（c）e(kT)kT0u(kT)kT0u(t)t0y(t)t0（d）（e）（f）（g）§3.2

信号采样与采样定理

一、信号采样1．采样过程采样过程、周期、采样宽度每隔一段时间将连续信号f(t)通过采样器离散成离散信号f*(t)的过程。采样开关在控制信号的控制下闭合与打开。当开关闭合时，开关的输出等于输入，当开关打开时，开关的输出为零（无输出）采样信号在时间轴上是离散的，但在幅值轴上仍然是连续的，因此采样信号是一个时间离散的模拟量。理想采样器的闭合时间为零，即,在数学上2．理想采样信号的时域表示函数具有这种性质，所以连续信号f(t)的采样过程可以表示为：单位脉冲函数证明：脉冲函数0t<0

或t>t00<t<t00t<0

或t>t00<t<t0采样频率:采样角频率:采样脉冲序列:连续时间函数经采样后变成重复周期为Ｔ的时间序列,称为采样脉冲序列。采样周期：采样开关经一定时间T重复闭合，T称为采样周期。二、采样定理（香农、仙农定理）T：采样周期，τ：采样宽度，f(t)：原信号，f*(t)：采样信号再通过一个理想的低通滤波器，则采样信号f*(t)能够不失真的恢复原来的连续信号f(t)。采样定理：对于一个具有有限频谱的连续信号f(t)进行采样，若采样频率满足：ωs=2π/T，采样频率；T：采样周期，ωmax：原信号f(t)有效频谱中的最高频率。在实际应用中，采样频率应为信号最高频率ωmax的5-10倍，采样频率越高，越能如实反映原信号的变化，但是采样频率太高，必然增加计算机的负荷。三、量化和量化误差采样信号是时间上离散而幅值上连续的信号，不能直接进入计算机，需用A/D转换成数字量方可被计算机使用。若设fmax和fmin表示信号的最大、最小值，则量化单位为：其中n为A/D转换器的位数。这样有：f：信号；L：整数；ε：余数；截尾误差：舍入误差：§3.3Z变换

一、Z变换的定义：采样信号的表达式：Z变换的定义：Z变换的定义—由拉氏变换引出Z变换单边拉氏变换离散采样信号当我们求Z变换时，可直接用下式：物理含义：f(kT)表示采样脉冲幅值，Z的幂次表示脉冲出现的时刻。在求解函数Z变换的时候可能用到欧拉公式欧拉公式例、求余弦函数cosω0n的Z变换例、求下列函数的Z变换二、Z变换的性质和定理线性性质滞后定理超前定理初值定理终值定理

1)、线性定理证明：2)滞后定理设在t<0时,连续函数X(t)为零,若其Z变换存在,则：说明:3)超前定理2)、算子Z-k的物理意义:Z-k代表滞后环节,它把采样信号延迟k个采样周期。1)、滞后定理说明：原函数在时域中延迟k个采样周期,相当于Z变换乘以Z-k。例、计算延迟一个采样周期T的单位阶跃函数的Z变换。例、计算延迟一个采样周期T的指数函数e-at的Z变换。解：解：4)终值定理5)初值定理若连续时间函数x(t)的Z变换为X(z)，不含z=1的二重以上极点，在单位圆外无极点，则有：解:使用终值定理确定e(∞)的值。例：设Z变换函数为:三、Z变换方法留数计算法级数求和法部分分式法1)、级数求和法（根据Z变换的定义来求函数的Z变换）例、试求单位阶跃函数的Z变换解:例、试求取指数函数e-at(a>0)的Z变换。解:2)、部分分式法若没有给出f(t)，但给出F(s)，可通过反拉氏变换求解，进而求解F(z),将F(s)写成部分分式和的形式。对上式f(t)进行周期为T的采样，对f(kT)取Z变换，有：解：例、求函数的Z变换。解:例.求

的Z变换。3)、留数计算法(略)例、留数法求x(t)=t的Ｚ变换。解:例、试求取X(s)=k/s2(s+a)的Z变换。解：四、Z反变换由Y(z)求出相应的时间序列或数值变换。部分分式法长除法留数计算法1)、长除法由Z变换得定义可知：解：例、试求取

的Z反变换x*(t)。长除法只能求出各个采样时刻上的函数值X(nT)，要写出函数值得一般表达式往往比较困难。2)、部分分式法1、将X(z)/z展开成部分分式；2、查表求出展开式第一项对应的时间函数

x(t)；3、将x(t)转换成采样信号x*(t)；例.试求的Z反变换。解：例.试求的Z反变换。(3)、留数计算法（略）

Zｉ为彼此不相等的极点，总数为1，ri为重极点Zi的重复个数。解：例.试求的Z反变换。六、用Z变换求解差分方程步骤:1、对差分方程作Z变换,应用线性性质和平移定理;2、利用已知条件或求出的y(0),y(T),…代入Z变换式；3、由Z变换式求出Y(z)的表达式;4、作Z反变换,得到差分方程的解y(kT)；例：求差分方程

已知:

解：对差分方程两端进行Z变换带入初始条件有：求Z