27.2.3 相似三角形的应用 人教版数学九年级下册分层作业(含答案)

27.2.3相似三角形的应用【A组-基础题】1．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（）A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺【详解】设竹竿的长度为x尺，∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，∴，解得x=45（尺），即竹竿的长为四丈五尺．故选B2．泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度。金字塔的影长，推算出金字塔的高度。这种测量原理，就是我们所学的（

）A．图形的平移 B．图形的旋转 C．图形的轴对称 D．图形的相似【详解】根据题意画出如下图形：可以得到，则即为金字塔的高度，即为标杆的高度，通过测量影长即可求出金字塔的高度故选：D.3．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到位置，已知，，垂足分别为，，，，，则栏杆端应下降的垂直距离为(

)A． B． C． D．【详解】∵，，∴∠ABO=∠CDO,∵∠AOB=∠COD,∴△AOB∽△COD，∴∵AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，∴.故选C.4．兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为米的竹竿的影长为米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为米，一级台阶高为米，如图所示，若此时落在地面上的影长为米，则树高为（）A．11.5米 B．11.75米 C．11.8米 D．12.25米【详解】如图，根据题意可知EF=BC=4.4米，DE=0.2米，BE=FC=0.3米，则ED=4.6米，∵同一时刻物高与影长成正比例，∴AE：ED=1：0.4，即AE：4.6=1：0.4，∴AE=11.5米，∴AB=AE+EB=11.5+0.3=11.8米，∴树的高度是11.8米，故选C.5．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DF＝50cm，EF＝30cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝20m，则树高AB为（）A．12m B．13.5m C．15m D．16.5m【详解】∵∠DEF=∠BCD=90°，∠D=∠D，∴△DEF∽△DCB，∴，∵DF=50cm=0.5m，EF=30cm=0.3m，AC=1.5m，CD=20m，∴由勾股定理求得DE=40cm，∴，∴BC=15米，∴AB=AC+BC=1.5+15=16.5（米）．故答案为16.5m．6．如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC和BD交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA=3OC，OB=3OD），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段a的两个端点上，当CD=1.8cm时，则AB的长为（）A．7.2cm B．5.4cm C．3.6cm D．0.6cm【详解】由已知可得，△ABO∽CDO,所以，,所以，，所以，AB=5.4故选B7．如图，有一块锐角三角形材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长为A．40mm B．45mm C．48mm D．60mm【详解】因为正方形PQMN的QM边在BC上，∴PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴，设ED=x，∴PN=MN=ED=x，，∴解得：x=48，∴这个正方形零件的边长是48mm．故选：C．8．为测量被池塘相隔的两棵树，的距离，数学课外兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量方案：从树沿着垂直于的方向走到，再从沿着垂直于的方向走到，为上一点，其中位同学分别测得三组数据：，，，，，，其中能根据所测数据求得，两树距离的有（）A．0组 B．一组 C．二组 D．三组【详解】第①组中，已知∠ACB和AC的长，在Rt△ACB中利用∠ACB的正切求AB的长即可；第②组中，已知CD、∠ACB、∠ADB，解Rt△ABD和Rt△ACD即可求得AB的长；第③组中，根据已知条件可得△ABD∽△EFD，利用相似三角形的性质即可求出AB的长．故选D．9．圆桌面（桌面中间有一个直径为0.4m的圆洞）正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影．已知桌面直径为1.2m，桌面离地面1m，若灯泡离地面3m，则地面圆环形阴影的面积是（）A．0.324πm2 B．0.288πm2 C．1.08πm2 D．0.72πm2【详解】先根据AC⊥OB，BD⊥OB可得出△AOC∽△BOD，由相似三角形的对应边成比例可求出BD的长，进而得出BD′=0.3m，再由圆环的面积公式即可得出结论．如图，已知AC⊥OB，BD⊥OB，所以AC//BD，所以△AOC∽△BOC，所以根据相似三角形的性质可得即解得BD=0.9m，同理可得：AC′=0.2m，则BD′=0.3m，所以S圆环形阴影=0.92π﹣0.32π=0.72πm2．故选D．10．如图，路灯P点距地面9m，身高1.8m的小明从距路灯底部O点20m的A点沿AO所在的直线行走了14m到达B点时，则小明的身影（）A．增长了3米 B．缩短了3米C．缩短了3.5米 D．增长了3.5米【详解】，，，即，解得，，，，即，解得，，小明的身影缩短了3.5米．故选C．11．在同一时刻两根木杆在太阳光下的影子如图所示，其中木杆AB=2米，它的影子BC=1.6米，木杆PQ的影子有一部分落在墙上，PM=1.2米，MN=0.8米，求木杆PQ的长度．【详解】解：如图，过点N作ND⊥PQ于D，则DN=PM，∴△ABC∽△QDN，．∵AB=2米，BC=1.6米，PM=1.2米，NM=0.8米，=1.5（米），∴PQ=QD+DP=QD+NM=1.5+0.8=2.3（米）．答：木杆PQ的长度为2.3米．12．如图，在相对的两栋楼中间有一堵墙，甲、乙两人分别在这两栋楼内观察这堵墙，视线如图1所示．根据实际情况画出平面图形如图2（CD⊥DF，AB⊥DF，EF⊥DF），甲从点C可以看到点G处，乙从点E可以看到点D处，点B是DF的中点，墙AB高5.5米，DF=100米，BG=10.5米，求甲、乙两人的观测点到地面的距离之差（结果精确到0.1米）【详解】解：由题意得∠ABG=∠CDG=90°，又∵∠AGD为公共角，∴△ABG∽△CDG,∴=,∵AB=5.5米，BG=10.5米，∴=,∴CD≈31.69（米）又∵∠ABD=∠EFD=90°，∠EDF为公共角，∴△ADB∽△EDF,∴==,∴EF=2AB=11（米）∴CD-EF≈20.7（米）答：甲、乙两人的观测点到地面的距离之差约为20.7米.13．如图，矩形ABCD为台球桌面，AD=260cm，AB=130cm，球目前在E点位置，AE=60cm．如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．（1）求证：△BEF∽△CDF；（2）求CF的长．【详解（1）在矩形ABCD中，由对称性可得出：∠DFC=∠EFB，∠EBF=∠FCD=90°，∴△BEF∽△CDF；（2）∵△BEF∽△CDF．∴，即，解得：CF=169．即：CF的长度是169cm．14．如图，一条河的两岸BC与DE互相平行，两岸各有一排景观灯(图中黑点代表景观灯)，每排相邻两景观灯的间隔都是10m，在与河岸DE的距离为16m的A处(AD⊥DE)看对岸BC，看到对岸BC上的两个景观灯的灯杆恰好被河岸DE上两个景观灯的灯杆遮住．河岸DE上的两个景观灯之间有1个景观灯，河岸BC上被遮住的两个景观灯之间有4个景观灯，求这条河的宽度．【详解】由题意可得DE∥BC，所以＝.又因为∠DAE＝∠BAC，所以△ADE∽△ABC.所以＝，即＝.因为AD＝16m，BC＝50m，DE＝2m，所以＝.解得DB＝24m.答：这条河的宽度为24m.15．如图，有一路灯杆AB（底部B不能直接到达），在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF=3m，沿BD方向到达点F处再测得自己得影长FG=4m，如果小明的身高为1.6m，求路灯杆AB的高度．【详解】解：∵CD∥EF∥AB，∴可以得到△CDF∽△ABF，△ABG∽△EFG，∴，，又∵CD=EF，∴，∵DF=3，FG=4，BF=BD+DF=BD+3，BG=BD+DF+FG=BD+7，∴∴BD=9，BF=9+3=12∴解得，AB=6.4m因此，路灯杆AB的高度6.4m.16．如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞.工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM=1千米、AN=1.8千米，AB=54米、BC=45米、AC=30米，求M、N两点之间的距离.【详解】在△ABC与△AMN中，，，∴，∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ANM，∴，即，解得MN=1.5(千米)，因此，M、N两点之间的直线距离是1.5千米.【B组-提高题】17．如图，为了求出海岛上的山峰AB的高度，在D处和F处树立标杆CD和EF，标杆的高都是3丈，D、F两处相隔1000步（1丈10尺，1步6尺），并且AB，CD和EF在同一平面内．从标杆CD后退123步的G处，可以看到顶峰A和标杆顶端C在一条直线上；从标杆EF后退127步的H处，可以看到顶峰A和标杆顶端E在一条直线上．求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少步？（提示：连接EC并延长交AB于点K，用AK与常数的积表示KC和KE．）（本题原出自我国魏晋时期数学家刘徽所著《