2024版新教材高考数学一轮复习第8章平面解析几何第3节圆的方程学案含解析新人教A版20230519167

2024版新教材高考数学一轮复习第8章平面解析几何第3节圆的方程学案含解析新人教A版20230519167第三节圆的方程一、教材概念·结论·性质重现1．圆的定义及方程定义平面上到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心：(a，b)，半径：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圆心：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径：eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)(1)确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质．①圆心在过切点且与切线垂直的直线上．②圆心在任一弦的中垂线上．③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心共线．(2)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，当D2＋E2－4F>0时，表示圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径r＝eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)的圆；当D2＋E2－4F＝0时，表示一个点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))；当D2＋E2－4F<0时，不表示任何图形．2．点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.3．常用结论以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.二、基本技能·思想·活动体验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)确定圆的几何要素是圆心与半径． (√)(2)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆． (×)(3)圆x2＋2x＋y2＋y＝0的圆心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))． (×)(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0内，则xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F＞0． (×)2．若圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，则k的值是()A．2B．－2C．1D．－1B解析：由题意知直线y＝kx＋3过圆心(1,1)，即1＝k＋3，解得k＝－2.3．过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是()A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4C解析：设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r.因为圆心C在直线x＋y－2＝0上，所以b＝2－a.又|CA|2＝|CB|2，所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，所以a＝1，b＝1.所以r＝2.所以方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.4．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是()A．(－1,1)B．(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．a＝±1A解析：因为点(1,1)在圆的内部，所以(1－a)2＋(1＋a)2<4，所以－1<a<1.5．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．(－2，－4)5解析：由已知方程表示圆，则a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1.当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，5为半径的圆．考点1求圆的方程——基础性(1)(2020·北京高三一模)已知圆C与x轴的正半轴相切于点A，圆心在直线y＝2x上．若点A在直线x－y－4＝0的左上方且到该直线的距离等于eq\r(2)，则圆C的标准方程为()A．(x－2)2＋(y＋4)2＝4B．(x＋2)2＋(y＋4)2＝16C．(x－2)2＋(y－4)2＝4D．(x－2)2＋(y－4)2＝16D解析：因为圆C的圆心在直线y＝2x上，所以可设C(a,2a)．因为圆C与x轴正半轴相切于点A，所以a>0且圆C的半径r＝2a，A(a,0)．因为点A到直线x－y－4＝0的距离d＝eq\r(2)，所以d＝eq\f(|a－0－4|,\r(1＋1))＝eq\r(2)，解得a＝6或a＝2，所以A(2，0)或A(6,0)．因为A在直线x－y－4＝0的左上方，所以A(2,0)，所以C(2,4)，r＝4，所以圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝16.(2)古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点A(－a,0)，B(a,0)，动点P满足eq\f(|PA|,|PB|)＝λ(其中a和λ是正常数，且λ≠1)，则P的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”，该圆的半径为________．eq\f(2aλ,|1－λ2|)解析：设P(x，y)，由动点P满足eq\f(|PA|,|PB|)＝λ(其中a和λ是正常数，且λ≠1)，所以eq\r(x＋a2＋y2)＝λeq\r(x－a2＋y2)，化简得x2＋eq\f(2a1＋λ2,1－λ2)x＋a2＋y2＝0，即eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x＋\f(a1＋λ2,1－λ2)))eq\s\up8(2)＋y2＝eq\f(a21＋λ22,1－λ22)－a2，所以该圆半径r＝eq\r(\f(a21＋λ22,1－λ22)－a2)＝eq\f(2aλ,|1－λ2|).求圆的方程的两种方法(1)几何法．通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方程时，常用到圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直于切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．(2020·重庆育才中学3月月考)圆C以直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＋2m＝0上的定点为圆心，半径r＝4，则圆C的方程为()A．(x＋2)2＋(y－2)2＝16B．(x－2)2＋(y－2)2＝16C．(x－2)2＋(y＋2)2＝16D．(x＋2)2＋(y＋2)2＝16A解析：由(2m＋1)x＋(m＋1)y＋2m＝0，可得(2x＋y＋2)m＋(x＋y)＝0，所以直线过eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＋2＝0，,x＋y＝0))的交点，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝2，))即直线过定点(－2,2)，则所求圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝16.故选A．考点2与圆有关的轨迹问题——综合性设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．解：如图，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，\f(y,2)))，线段MN的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0－3,2)，\f(y0＋4,2))).由于平行四边形的对角线互相平分，故eq\f(x,2)＝eq\f(x0－3,2)，eq\f(y,2)＝eq\f(y0＋4,2)，从而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝x＋3，,y0＝y－4.))又点N在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.因此所求轨迹为圆(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但应除去两点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,5)，\f(12,5)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(21,5)，\f(28,5)))(点P在直线OM上时的情况)．求与圆有关的轨迹问题的常用方法(1)直接法：由题设直接求出动点坐标所满足的关系式．(2)定义法：利用定义写出动点的轨迹方程．(3)代入法：若动点P(x，y)随着圆上的另一动点Q(x1，y1)运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，可将点Q的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程．1．若动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为()A．x2＋y2＝32 B．x2＋y2＝16C．(x－1)2＋y2＝16 D．x2＋(y－1)2＝16B解析：设P(x，y)，则由题意可得2eq\r(x－22＋y2)＝eq\r(x－82＋y2)，化简整理得x2＋y2＝16.2．如图，已知点A(－1,0)与点B(1,0)，点C是圆x2＋y2＝1上的动点，连接BC并延长至点D，使得|CD|＝|BC|.求AC与OD的交点P的轨迹方程．解：设动点P(x，y)，由题意可知P是△ABD的重心．由A(－1,0)，B(1,0)，设动点C(x0，y0)，则D(2x0－1,2y0)．由重心坐标公式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(－1＋1＋2x0－1,3)，,y＝\f(2y0,3)，))则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(3x＋1,2)，,y0＝\f(3y,2)y≠0，))代入x2＋y2＝1，整理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,3)))eq\s\up8(2)＋y2＝eq\f(4,9)(y≠0)，故所求轨迹方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,3)))eq\s\up8(2)＋y2＝eq\f(4,9)(y≠0)．考点3与圆有关的最值问题——综合性考向1斜率型、截距型、距离型最值问题已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求eq\f(y,x)的最大值和最小值；(2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值．解：原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，eq\r(3)为半径的圆．(1)eq\f(y,x)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设eq\f(y,x)＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时eq\f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq\r(3)，解得k＝±eq\r(3)(如图1)．所以eq\f(y,x)的最大值为eq\r(3)，最小值为－eq\r(3).(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时eq\f(|2－0＋b|,\r(2))＝eq\r(3)，解得b＝－2±eq\r(6)(如图2)．所以y－x的最大值为－2＋eq\r(6)，最小值为－2－eq\r(6).(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方．由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3)．又圆心到原点的距离为2，所以x2＋y2的最大值是(2＋eq\r(3))2＝7＋4eq\r(3)，最小值是(2－eq\r(3))2＝7－4eq\r(3).与圆有关的最值问题的3种几何转化法(1)形如m＝eq\f(y－b,x－a)的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如m＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题．考向2利用对称性求最值已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A．5eq\r(2)－4B．eq\r(17)－1C．6－2eq\r(2)D．eq\r(17)A解析：P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN|的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4.作C1关于x轴的对称点C′1(2，－3)．所以|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C1′C2|＝5eq\r(2)，即|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5eq\r(2)－4.求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．1．设点P是函数y＝－eq\r(4－x－12)图象上的任意一点，点Q的坐标为(2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为________．eq\r(5)－2解析：函数y＝－eq\r(4－x－12)的图象表示圆(x－1)2＋y2＝4在x轴及下方的部分．令点Q的坐标为(x，y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2a，,y＝a－3，))得y＝eq\f(x,2)－3，即x－2y－6＝0，作出图象如图所示．由于圆心(1,0)到直线x－2y－6＝0的距离d＝eq\f(|1－2×0－6|,\r(12＋－22))＝eq\r(5)>2，故直线x－2y－6＝0与圆(x－1)2＋y2＝4相离，因此|PQ|的最小值是eq\r(5)－2.2．已知A(0,2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________．2eq\r(5)解析：因为圆C化为标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5，所以圆C是以C(2，1)为圆心，r＝eq\r(5)为半径的圆．设点A(0，2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A′(m，n)，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m＋0,2)＋\f(n＋2,2)＋2＝0，,\f(n－2,m－0)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－4，,n＝－2.))故A′(－4，－2)．所以|A′C|＝eq\r(2＋42＋1＋22)＝3eq\r(5).连接A′C交圆C于点Q，由对称性可知|PA|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|≥|A′Q|＝|A′C|－r＝2eq\r(5).第四节直线与圆、圆与圆的位置关系一、教材概念·结论·性质重现1．直线与圆的位置关系的判断(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系进行判断．d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离．(2)代数法：联立直线与圆的方程，求联立后所得方程的判别式Δ，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0⇔相交，,Δ＝0⇔相切，,Δ<0⇔相离.))直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，代数法与几何法是不同的方面和思路，解题时要根据题目特点灵活选择．2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)(r2>0)．方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况相离d>r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解相交|r1－r2|<d<r1＋r2两组不同的实数解内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一组实数解内含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)无解(1)用代数法判断两圆的位置关系时，要准确区分两圆内切、外切或相离、内含．(2)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条．②内切：1条．③相交：2条．④外切：3条．⑤外离：4条．3．常用结论(1)当两圆相交(切)时，两圆方程(x2，y2项的系数相同)相减便可得公共弦(公切线)所在的直线方程．(2)圆的切线方程常用结论过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.二、基本技能·思想·活动体验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件． (×)(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切． (×)(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交． (×)(4)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程． (×)(5)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切． (√)2．已知直线y＝mx与圆x2＋y2－4x＋2＝0相切，则m的值为()A．±eq\r(3)B．±eq\f(\r(3),3)C．±eq\f(\r(3),2)D．±1D解析：由x2＋y2－4x＋2＝0得圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝2，所以该圆的圆心坐标为(2,0)，半径r＝eq\r(2).又直线y＝mx与圆x2＋y2－4x＋2＝0相切，则圆心到直线的距离d＝eq\f(|2m|,\r(m2＋1))＝eq\r(2)，解得m＝±1.3．若过点A(3,0)的直线l与曲线(x－1)2＋y2＝1有公共点，则直线l斜率的取值范围为()A．(－eq\r(3)，eq\r(3)) B．[－eq\r(3)，eq\r(3)]C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))D解析：数形结合可知，直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝k(x－3)，则圆心(1,0)与直线y＝k(x－3)的距离应小于等于半径1，即eq\f(|2k|,\r(1＋k2))≤1，解得－eq\f(\r(3),3)≤k≤eq\f(\r(3),3).4．若直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|＝________.eq\r(10)解析：由x2＋y2－2x－4y＝0得(x－1)2＋(y－2)2＝5，所以该圆的圆心坐标为(1,2)，半径r＝eq\r(5).又圆心(1,2)到直线3x－y－6＝0的距离为d＝eq\f(|3－2－6|,\r(9＋1))＝eq\f(\r(10),2).由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))eq\s\up8(2)＝r2－d2，得|AB|2＝10，即|AB|＝eq\r(10).5．圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________．2eq\r(2)解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4＝0，,x2＋y2－4x＋4y－12＝0，))得两圆公共弦所在直线方程为x－y＋2＝0.又圆x2＋y2＝4的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2).由勾股定理得弦长的一半为eq\r(4－2)＝eq\r(2)，所以，所求弦长为2eq\r(2).考点1直线和圆的位置关系——基础性1．直线x－y＋2＝0与圆x2＋(y－1)2＝4的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不确定A解析：由题意，可得圆心(0,1)到直线x－y＋2＝0的距离为d＝eq\f(|0－1＋2|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)<2，所以直线与圆相交．2．(2020·泰安市高三三模)已知抛物线C：x2＝4y的准线恰好与圆M：(x－3)2＋(y－4)2＝r2(r>0)相切，则r＝()A．3B．4C．5D．6C解析：抛物线C：x2＝4y的准线方程为y＝－1，圆M：(x－3)2＋(y－4)2＝r2(r>0)的圆心为(3,4)．因为准线恰好与圆M相切，所以圆心到准线的距离为r＝|4＋1|＝5.3．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()A．[－3，－1] B．[－1,3]C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)C解析：由题意得圆心为(a,0)，半径为eq\r(2)，圆心到直线的距离为d＝eq\f(|a＋1|,\r(2)).由直线与圆有公共点可得eq\f(|a＋1|,\r(2))≤eq\r(2)，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.所以实数a的取值范围是[－3,1]．判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．考点2圆与圆的位置关系——综合性(1)圆C1：x2＋y2－2y＝0与C2：x2＋y2－2eq\r(3)x－6＝0的位置关系为()A．外离B．外切C．相交D．内切D解析：圆C1：x2＋y2－2y＝0的圆心为C1(0,1)，半径为r1＝1.圆C2：x2＋y2－2eq\r(3)x－6＝0的圆心为C2(eq\r(3)，0)，半径为r2＝3，所以|C1C2|＝eq\r(\r(3)2＋1)＝2.又r2－r1＝2，所以|C1C2|＝r2－r1＝2，所以圆C1与C2内切．(2)已知圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0，圆C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.①求证：圆C1和圆C2相交；②求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．①证明：由题意得，圆C1化为标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝11，圆C2化为标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝16，则圆C1的圆心C1(1,3)，半径r1＝eq\r(11)，圆C2的圆心C2(5,6)，半径r2＝4.两圆圆心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝eq\r(11)＋4.因为|r1－r2|＝4－eq\r(11)，所以|r1－r2|<d<r1＋r2，所以圆C1和C2相交．②解：将圆C1和圆C2的方程相减，得4x＋3y－23＝0，所以两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0.圆心C2(5,6)到直线4x＋3y－23＝0的距离d＝eq\f(|20＋18－23|,\r(16＋9))＝3，故公共弦长为2eq\r(16－9)＝2eq\r(7).(1)判断两圆位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判断，一般不用代数法．重视两圆内切的情况，作图观察．(2)两圆相交时，两圆的公共弦所在直线的方程，可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．(3)求两圆公共弦长，常选其中一圆，由弦心距d、半弦长eq\f(l,2)、半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解．1．若圆x2＋y2＋4x－4y－1＝0与圆x2＋y2＋2x－13＝0相交于P，Q两点，则直线PQ的方程为________．x－2y＋6＝0解析：两个圆的方程两端相减，可得2x－4y＋12＝0，即x－2y＋6＝0.2．如果圆C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0与圆O：x2＋y2＝4总相交，那么实数a的取值范围是________________．(－2eq\r(2)，0)∪(0,2eq\r(2))解析：圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝4，圆心坐标为(a，a)，半径为2.依题意得0<eq\r(a2＋a2)<2＋2，所以0<|a|<2eq\r(2).所以a∈(－2eq\r(2)，0)∪(0,2eq\r(2))．考点3直线与圆的综合问题——综合性考向1圆的弦长问题(1)(2020·荆州三模)已知直线l过点(2，－1)，则“直线l的斜率为eq\f(3,4)”是“直线l被圆C：(x－1)2＋(y＋3)2＝4截得的弦长为2eq\r(3)”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件A解析：直线l被圆C：(x－1)2＋(y＋3)2＝4截得的弦长为2eq\r(3)⇔圆心(1，－3)到直线l的距离为1.当直线斜率不存在时，显然符合要求；当直线斜率存在时，设斜率为k，则l：kx－y－2k－1＝0，由eq\f(|k＋3－2k－1|,\r(k2＋1))＝1得(k－2)2＝k2＋1，解得k＝eq\f(3,4)，因此直线l被圆C：(x－1)2＋(y＋3)2＝4截得的弦长为2eq\r(3)⇔k＝eq\f(3,4)或斜率不存在．故选A．(2)直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是()A．[2,6] B．[4,8]C．[eq\r(2),3eq\r(2)] D．[2eq\r(2),3eq\r(2)]A解析：圆心(2,0)到直线的距离d＝eq\f(|2＋0＋2|,\r(2))＝2eq\r(2)，所以点P到直线的距离d1∈[eq\r(2)，3eq\r(2)]．根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为(－2,0)，(0，－2)，所以|AB|＝2eq\r(2)，所以△ABP的面积S＝eq\f(1,2)|AB|d1＝eq\r(2)d1.因为d1∈[eq\r(2)，3eq\r(2)]，所以S∈[2,6]，即△ABP面积的取值范围是[2,6]．求弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2eq\r(r2－d2).考向2圆的切线问题过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为()A．y＝－eq\f(\r(3),4)B．y＝－eq\f(1,2)C．y＝－eq\f(\r(3),2)D．y＝－eq\f(1,4)B解析：圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为C(1,0)，半径为1，以|PC|＝eq\r(1－12＋－2－02)＝2为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1.将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝0，即y＝－eq\f(1,2).(1)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．(2)过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．1．(2020·洛阳市高三三模)已知圆C：(x－a)2＋y2＝4(a≥2)与直线x－y＋2eq\r(2)－2＝0相切，则圆C与直线x－y－4＝0相交所得弦长为()A．1B．eq\r(2)C．2D．2eq\r(2)D解析：圆心到直线x－y＋2eq\r(2)－2＝0的距离d1＝eq\f(|a＋2\r(2)－2|,\r(2)).因为圆C：(x－a)2＋y2＝4(a≥2)与直线x－y＋2eq\r(2)－2＝0相切，所以d1＝eq\f(|a＋2\r(2)－2|,\r(2))＝r＝2，解得a＝2或a＝2－4eq\r(2).因为a≥2，所以a＝2.所以(x－2)2＋y2＝4.所以圆心到直线x－y－4＝0的距离为d2＝eq\f(|2－4|,\r(2))＝eq\r(2)，所以圆C与直线x－y－4＝0相交所得弦长为l＝2eq\r(r2－d\o\al(2,2))＝2eq\r(2).故选D．2．(2020·长春市高三三模)已知圆E的圆心在y轴上，且与圆x2＋y2－2x＝0的公共弦所在直线的方程为x－eq\r(3)y＝0，则圆E的方程为()A．x2＋(y－eq\r(3))2＝2 B．x2＋(y＋eq\r(3))2＝2C．x2＋(y－eq\r(3))2＝3 D．x2＋(y＋eq\r(3))2＝3C解析：两圆圆心连线与公共弦垂直，不妨设所求圆心的坐标为(0，a)，半径为r.又圆x2＋y2－2x＝0的圆心为(1,0)，半径为1，故eq\f(a,－1)×eq\f(1,\r(3))＝－1，解得a＝eq\r(3).故所求圆心为(0，eq\r(3))．点(1,0)到直线x－eq\r(3)y＝0的距离为eq\f(1,\r(1＋3))＝eq\f(1,2)，所以直线x－eq\r(3)y＝0截得x2＋y2－2x＝0所成弦长为2eq\r(12－\f(1,4))＝eq\r(3)，圆心(0，eq\r(3))到直线x－eq\r(3)y＝0的距离为eq\f(3,2)，所以直线x－eq\r(3)y＝0截圆所得弦长为2eq\r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up8(2))＝eq\r(3)，解得r＝eq\r(3).故圆心坐标为(0，eq\r(3))，半径为eq\r(3).故选C．3．已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线x－ay＋1＝0平行，则a＝________.－2解析：因为点P在圆(x－1)2＋y2＝5上，所以过点P(2,2)与圆(x－1)2＋y2＝5相切的切线方程的斜率为－eq\f(1,2)，所以切线方程为y－2＝－eq\f(1,2)(x－2)，即x＋2y－6＝0.由直线x＋2y－6＝0与直线x－ay＋1＝0平行，得－a＝2，即a＝－2.4．过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．2eq\r(2)解析：设P(3,1)，圆心C(2,2)，则|PC|＝eq\r(2)，半径r＝2.由题意，知最短的弦过点P(3,1)，且与PC垂直，所以最短弦长为2eq\r(22－\r(2)2)＝2eq\r(2).已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且在直线x－y－3＝0上截得的弦长为eq\r(6)，求圆C的方程．[四字程序]读想算思求圆C的标准方程或一般方程如何求圆的方程？1.圆的标准方程是什么？2．圆的一般方程是什么？数形结合的思想方法1.圆C的圆心在直线上；2．圆C与直线相切；3．圆C在直线上截得的弦长为eq\r(6)根据题目条件设出圆的标准方程或一般方程，利用待定系数法求解1.(x－a)2＋(y－b)2＝r2；2．x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0借助于圆的几何性质求解思路参考：根据圆心在直线上，设出圆心．由圆与直线相切，表示出半径，结合弦长求出圆的方程．解：因为所求圆的圆心在直线x＋y＝0上，所以设所求圆的圆心为(a，－a)．又因为所求圆与直线x－y＝0相切，所以半径r＝eq\f(2|a|,\r(2))＝eq\r(2)|a|.又所求圆在直线x－y－3＝0上截得的弦长为eq\r(6)，圆心(a，－a)到直线x－y－3＝0的距离d＝eq\f(|2a－3|,\r(2))，所以d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))eq\s\up8(2)＝r2，即eq\f(2a－32,2)＋eq\f(3,2)＝2a2.解得a＝1.所以圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.思路参考：设出圆的标准方程．利用圆心到直线的距离公式表示出半径，结合弦长求出圆的方程．