初中数学100道最值问题经典

初中数学100道最值问题经典1.在直角三角形ABC中，∠A＝30°，AB＝4，D为AB的中点，P为AC上的动点。求PB+PD的最小值。2.在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S1/S矩形ABCD=S1/S矩形ABCD。求点P到AB两点距离之和PA+PB的最小值。3.在矩形ABCD中，AD＝3，点E为AB上一点，AE＝1，平面内动点P满足S1/S矩形ABCD=S1/S矩形ABCD。求|DP－EP|的最大值。4.已知y=x^2-2x+2+x^2+2x+2，求y的最小值。5.已知y=(x-3)^2+9-(x-1)^2+4，求y的最大值。6.在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝x，BC＝42，D是AB上一动点，连接CD，以AD为直径的圆交CD于点E，则线段BE长度的最小值为。7.在正方形ABCD中，边长为4，点E是AB上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P时AB上另一动点，则PD+PG的最小值为。8.在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别为AD、DC上的点，且EF＝2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为。9.在平面直角坐标系中，A(3，0)，B(a，2)，C(0，m)，D(n，0)，且m^2+n^2＝4，若点E为CD的中点，则AB+BE的最小值为。10.在三角形ABC中，AB＝3，AC＝2，以BC为边向上构造等边三角形BCD，则AD的取值范围为。11.在三角形ABC中，AB＝3，AC＝2，以BC为腰(点B为直角顶点)向上构造等腰直角三角形BCD，则AD的取值范围为。12.在三角形ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC为底边向上构造等腰直角三角形BCD，则AD的取值范围为。13.在三角形ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC为底边向上构造等腰直角三角形BCD，连接AD并延长至点P，使AD＝PD，则PB的取值范围为。14.在正六边形ABCDEF中，边长为2，两顶点A、B分别在x轴和y轴上运动，则顶点D到坐标原点O的距离的最大值和最小值的乘积为。15.在图12中，已知AB＝4，点O为AB的中点，⊙O的半径为1，点P是⊙O上的一个动点，△PBC是以PB为直角边的等腰直角三角形（点P、B、C按逆时针方向排列）。求AC的取值范围。16.在图13中，已知⊙O的半径为3，Rt△ABC的顶点A、B在⊙O上，∠B＝90°，点C在⊙O内，且tanA=3/4。当点A在圆上运动时，求OC的最小值。17.在图14中，已知平面直角坐标系中Q(3，4)，点P是以Q为圆心、2为半径的⊙Q上的一个动点，A(1，0)，B(－1，0)，连接PA、PB。求PA2+PB2的最小值。18.在图15中，两块三角尺的直角顶点靠在一起，BC＝3，EF＝2，G为DE上的一个动点，将三角尺DEF绕直角顶点F旋转一周。在这个旋转过程中，求B、G两点的最小距离。19.在图16中，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝22，△ADC与△ABC关于AC对称，点E、F分别是边DC、BC上的任意一点，且DE＝CF，BE、DF相交于点P。求CP的最小值。20.在图17中，已知sinO＝3/5，长度为2的线段DE在射线OA上滑动，点C在射线OB上，且OC＝5。求△CDE周长的最小值。21.在图18中，矩形ABCD中，AB＝6，MN在边AB上运动，MN＝3，AP＝2，BQ＝5。求PM+MN+NQ的最小值。22.在图19中，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，D为AB的中点，E为CD上的点，且CE＝2DE，PQ为AB上的动线段，PQ＝1，F为AC上的动点，连接EQ、FP。求EQ+FP的最小值。23.在图20中，正方形ABCD中，AB＝4，E、F分别为AB、AD的中点，MN和PQ分别是边BC、CD上的线段，MN＝PQ＝1，依次连接EM、NP、QF、EF。求六边形EMNPQF周长的最小值。24.在图21中，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E、F分别为AD、BC上的动点，且EF⊥AC，连接AF、CE。求AF+CE的最小值。25.在四边形AEFD中，AD=7，AB=23，∠B=60°，E是边BC上的任意一点。将△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，得到四边形AEFD。求四边形AEFD周长的最小值。26.在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，点D、E分别是AB、AC的中点，点G、F在BC边上(均不与端点重合)，DG∥EF。将△BDG绕点D顺时针旋转180°，将△CEF绕点E逆时针旋转180°，拼成四边形MGFN。求四边形MGFN周长l的取值范围。27.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB。若CD=3，则求△ABC的最小面积。28.在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心、2为半径画⊙O，P是⊙O上一动点且点P在第一象限内。过点P作⊙O的切线与x轴相交于点B，与y轴相交于点A，则求线段AB的最小值。29.在矩形ABCD中，BC=8，AB=6，经过点B和点D的两个动圆均与AC相切，且与AB、BC、AD、DC分别交于点G、H、E、F。求EF+GH的最小值。30.在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3。点D、E分别为AC、BC边上的动点，且DE=3。以DE为直径作⊙O，交AB于M、N。求MN的最大值。31.在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，D为AC的中点，P为AB上的动点，将点P绕点D逆时针旋转90°得到点P'，连接CP'。求线段CP'的最小值。32.如图29所示，已知∠MON=30°，B为OM上一点，BA⊥ON于点A，四边形ABCD为正方形，P为射线BM上一动点，连接CP，将CP绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接BE。若AB=4，则求BE的最小值。33.已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=3，BC=4。若P为线段AB上任意一点，延长PD到点E，使DE=2PD，再以PE、PC为边作□PCQE，求对角线PQ的最小值。34.如图31所示，在△ABC中，AC=10，∠BAC=30°，点P是射线AB上的一个动点，cos∠CPM=4，点Q是射线PM上的一个动点。求CQ长度的最小值。35.如图32所示，直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点D为线段OB的中点。求线段AD与直线y=-x的夹角的正切值。点C、P分别在AB、OA上移动。当PC+PD最小时，点P的坐标为多少？在坐标系中，点C在直线y=kx-2k+4上，点P在原点O和点A(0,7)之间移动。设点P的坐标为(x,y)，则PC的长度为√(x²+(kx-2k+4-y)²)，PD的长度为√((7-x)²+(y-kx)²)，所以PC+PD的长度为√(x²+(kx-2k+4-y)²)+√((7-x)²+(y-kx)²)。为了使PC+PD最小，需要对这个式子求导，得到x=(7-2k)/(2k²+1)，y=(7k²+2k-8)/(2k²+1)。所以点P的坐标为((7-2k)/(2k²+1),(7k²+2k-8)/(2k²+1))。在直角坐标系中，原点O到直线y=kx-2k+4的最大距离为多少？直线y=kx-2k+4的垂线方程为y=-kx，两条直线的交点为(2k/(k²+1),2k²/(k²+1))。因此，O到直线的距离为|k|/√(k²+1)。当k>0时，距离最大值为k/√(k²+1)，当k<0时，距离最大值为-k/√(k²+1)。综上，原点O到直线y=kx-2k+4的最大距离为|k|/√(k²+1)。如图33所示，在直角坐标系中，O(0,0)，A(7,0)，B(5,2)，C(0,2)，一条动直线1分别与BC、OA交于点E、F，且将四边形OABC分为面积相等的两部分，则点C到动直线1的距离的最大值为多少？将四边形OABC分为面积相等的两部分，即要求BE/BC=OF/OA。由此可以得到动直线1的斜率为2/7，方程为y=2x/7+2。点C到直线的距离为|(2/7)x-2|/√(2²+7²)，要求这个距离的最大值。可以发现，当x=7/2时，距离最大，最大值为√29/2。如图34所示，E是正方形ABCD中边BC上的一点，以BE为边在正方形ABCD外作正方形BEFG(A、B、G三点在同一直线上)，连接AF，M为AF的中点，AB=4，则EM的最小值为多少？设EM的长度为x，则AM的长度为2-x。由勾股定理可得，AG²=4x²+(2-x)²，因为AG=AB=4，所以可以解得x=15/8。因此，EM的最小值为15/8。如图35所示，在菱形ABCD中，tan∠DAB=4，E为BC上一点，以BE为边向外作菱形BEFG(A、B、G三点在同一直线上)，取AF得中点M，连接EM，AB=5，则EM的最小值为多少？设EM的长度为x，则BM的长度为5/2-x。由勾股定理可得，BG²=BE²+EG²=25+(5/2-x)²，因为BG=AB=5，所以可以解得x=15/4。因此，EM的最小值为15/4-5/2=5/4。如图36所示，在△ABC中，∠A=60°，E、F分别是AB、AC上的动点，以EF为边向下作等边三角形DEF，△DEF的中心为点P，连接CO。已知AC=4，则CO的最小值为多少？设EF的长度为x，则△DEF的面积为√3x²/4，△ABC的面积为√3AC²/4=3。因为△DEF和△ABC面积相等，所以有x²=48/√3，即x=4√3。因此，EF的中点P的坐标为(2√3,4)，CO的最小值为2√3。如图37所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，对角线AC、BD交于点O，E是线段BO上一动点，F是射线DC上一动点。若∠AEF=120°，则线段EF的整数值有多少个？由于菱形ABCD的对角线相交于点O，所以∠AOD=120°。因为∠AEF=120°，所以点F在以点A为圆心，AB为半径的圆上。设EF的长度为x，则BE的长度为4-x，因为△BEO和△FEO相似，所以x/(4-x)=OE/OF=OD/OA=tan60°=√3。解得x=4√3-4，因此EF的长度为8-4√3≈0.54，线段EF的整数值为0。如图38所示，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10，点O为BC上的点，⊙O的半径OC=1，点D是AB边上的动点，过点D作⊙O的一条切线DE(点E为切点)，则线段DE的最小值为多少？因为OC=1，所以OB=√(10²-1)=√99。由勾股定理可得，BC=√(8²+99)=√175。因为OD/AD=OB/AB=√99/10，所以OD=8√99/19，AD=10√99/19。设DE的长度为x，则BE的长度为10-x，因为△BDE和△CDE相似，所以x/1=(10-x)/(√175-8√99/19)，解得x=15-√241，因此DE的长度为15-√241。如图39所示，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，AC=4，以点C为圆心、1为半径作圆，P为AB上的动点，过点P作⊙C的切线，切点分别为Q、Q’，⊙C的另一条切线分别交PQ、PQ’于点M、N，则△PMN周长的最小值为多少？设PQ的长度为x，则PQ’的长度也为x。因为△APQ和△CPQ’相似，所以x/(4-2x)=1/√2，解得x=2-√2。因为PM=PN=√2-x，所以△PMN是等腰直角三角形，周长为2√(4-√2)。如图40所示，四边形的两条对角线AC、BD所成的锐角为45°，当AC+BD=18时，四边形ABCD的面积最大值是多少？设AC=x，BD=18-x，则四边形的面积为S=1/2*AC*BD*sin45°=9/2*x(9-x)。对S求导，得到S'=81/2-9x，令S'=0，解得x=9/2。因此，四边形的面积最大值为S=81/4。如图41所示，有两个同心圆，半径分别是26和43，矩形ABCD的边AB、CD分别为两圆的弦，当矩形ABCD的面积取最大值时，矩形ABCD的周长是多少？设矩形ABCD的长为x，宽为y，则矩形的面积为S=xy。因为AB和CD分别是两个圆的弦，所以它们的长度分别为2√(43²-26²)=60和2√(26²-43²)=-60。因为矩形的周长为2(x+y)，所以x+y=39。将x=39-y代入S=xy中，得到S=y(39-y)，对S求导，得到S'=39-2y，令S'=0，解得y=19.5，x=19.5，因此矩形的周长为2(x+y)=79。46.在扇形AOB中，已知OA=12，∠O=90°，点C、D分别在OA、OB上，且OC=6，OD=2BD。动点M在弧AB上，连接CM和DM。求四边形OCMD的面积最大值。47.在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4。点P在三角形内(包括边界)，到AB、BC、AC三边的距离分别为d1、d2、d3。求d1+d2+d3的最大值和最小值，并说明最值时点P的位置。48.将边长为3的正方形等分成9个小正方形，其中有阴影的小正方形内(包括边界)取点B、C，与已知格点A构成△ABC。求△ABC的最大面积，并画出面积最大时的△ABC图形。49.在直角三角形AOB中，∠AOB=90°，GM是∠AOB内(含两边)的两点，且GM=2，OM=4，GM∥OA。设△OMG的内切圆半径为r，求r的最大值。50.在平面直角坐标系中，已知直角梯形AOBC，其中∠OAC=90°，AC∥OB，OA=4，AC=5，OB=6。点M、N分别在线段AC、BC上运动，使得△MON的面积最大，且△MAON的周长最小。求此时点M的坐标。51.在平面直角坐标系中，直线1与半径为4的圆O相切于点A，P是圆O上的一个动点(不与点A重合)。过点P作PB⊥1，垂足为B，连接PA，设PA=x，PB=y。求x-y的最大值。52.已知半径为2的圆O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点。过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与圆O交于点D，连接PA、PB。设PC的长为x(2<x<4)，求当x=时，PD·CD的最大值。53.在面积为7的梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=4。点P在边AD上(不与点A、D重合)运动，点Q是边BC上的任意一点，连接AQ、DQ。过点P作PE∥DQ交AQ于点E，作PF∥AQ交DQ于点F。求△PEF的最大面积。54.已知边长为4的正方形CDEF截去一角成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=1。在AB上的一点P，使得矩形PNDM有最大面积。求矩形PNDM面积的最大值。55.在半圆AB上取一点P，通过P作半圆的切线，切点为C，过B作BD垂直于PC交PC延长线于点D。已知AB=8，求AC+BD的最大值。56.在等腰直角三角形ABC中，AC=BC，∠C=90°，AB=20。点D、F从点A出发，分别沿AC、AB运动，点D的速度为每秒2个单位长度，点F的速度为每秒1个单位长度。过点D作DE//AB，交CB于点E，M为DE的中点，连接MF。求当t为时，MF取得最小值，最小值为多少。57.在菱形ABCD中，∠C=60°，AB=4，E为CD边上一动点，过点E作EF//BD交BC于点F，连接AE，AE的中点为G，连接FG。求FG的最小值。58.在AB=8的线段上取一点P，分别以AP、PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE。点P、C、E在一条直线上，∠DAP=60°，M、N分别是对角线AC、BE的中点。求当点P在线段AB上移动时，点M、N之间的距离最短为多少（结果保留根号）。59.在AB=6的线段上取一点P，分别以PA、PB为边在AB同侧作直角三角形APC和BPD（P、C、D三点共线），且使得AP:PC=BP:PD=3:4。I1、I2分别为△APC、△BPD的内心。求I1+I2的最小值为多少。60.在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为8的正方形，M(8，m)，N(n，8)分别是线段AB、BC上的两个动点，且ON⊥MN。求当OM最小时，m+n为多少。61.在矩形ABCD中，AB=4，BC=43，E为AD上的动点，连接BE，F为BE上的动点，且满足∠BAF=∠AEB，M为BC的中点，以MF为边构造等边三角形MNF（M、N、F三点逆时针）。求CN的最小值为多少。62.在矩形ABCD中，AB=23，BC=6，E、F分别是AD、BC上的动点，CF=2AE，连接EF，以EF为边向右构造等边三角形EFG。求DG的最小值为多少。74.如图所示，一个半径为1的圆与角BAC的两边相切，点P是圆上的一个动点。以点P为圆心，以PA为半径作圆，分别与射线AB和AC相交于点D和点E。连接DE，求线段DE的最大值。答案：选项C.33/275.如图所示，AD是三角形ABC的高，且AD=BD=4，DC=2。E是AC上的一个动点，EF垂直于AB，交AB于点F，EG垂直于BC，交BC于点G。求线段FG的最小值。答案：1576.如图所示，弦AB=6，∠ACB=120°，圆内切于三角形ABC的内切圆半径的最大值为多少？答案：6/√377.如图所示，扇形AOB中，∠AOB=90°，OA=4，C是弧AB上的一个动点，过点C作CD∥OB，交圆弧于点D。求线段CD的最大值。答案：878.如图所示，OA=5，tan∠ABO=1/2，C是弧AB上的一个动点，过点C作CD∥OB，交圆弧于点D。求线段CD的最大值。答案：5/379.如图所示，正方形ABCD的边长为1，点P是边BC上的一个点，分别过点B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别为B'、C'、D'。求BB'+CC'+DD'的取值范围。答案：[1,2]80.如