线圆最值（隐圆压轴二）（解析版）-2023-2024学年九年级数学上册《重难点题型-高分突破》（人教版）

专题4.5线圆最值考点：线圆最值已知O及直线l，O的半径为r，点Q为O上一点，圆心O与直线l之间的距离为d.位置关系直线与O相离直线与O相切直线与O相交图示点Q到直线l距离的最大值d＋r2rd＋r此时点Q的位置过点O作直线l的垂线，其反向延长线与O的交点，即为点Q点Q到直线l距离的最小值d－r0r－d此时点Q的位置过点O作直线l的垂线，与O的交点即为点Q拓展：在解决某些面积最值问题时，常利用此模型，将问题转化为求动点到定边的最大（小）距离，进而利用面积公式求解【典例1】如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB＝4，点E是AB的中点，点P是矩形ABCD内一点，且EP＝AE，连接CP，PD，则△PCD面积的最小值为．【答案】3【解答】解：∵BC＝2AB＝4，∴AB＝2，•点E是AB的中点，∴AE＝BE＝1．；∴点P在以点E为圆心，1为半径的弧上运动，过点P作PQ⊥CD于点Q，过点E作EF⊥CD于点F，则＝PQ，∴当PQ最小时，△PCD的面积取得最小值•EP+PQ≥EF，当E，P，Q三点共线时，PQ取得最小值，最小值为EF﹣EP的值；∴四边形ABCD是矩形，∴EF＝BC＝4，∴PQ最小＝EF﹣EP＝3，∴S△PCD最小＝PQ最小＝3，故答案为：3．【变式1-1】（2022•观山湖区一模）如图，点P是正六边形ABCDEF内一点，AB＝4，当∠APB＝90°时，连接PD，则线段PD的最小值是（）A． B． C．6 D．【解答】解：∵AB＝4，∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的圆弧上，如图，取AB的中点O，连接OD，当O、P、D三点共线时，PD有最小值，连接BD，过点C作CH⊥BD于点H，∵点O为AB的中点，∴OA＝OB＝OP＝4÷2＝2，∵正六边形的每个内角为180°×（6﹣2）÷6＝120°，∵CD＝CB，∴∠CBD＝（180°﹣120°）÷2＝30°，BD＝2BH，∴∠OBD＝120°﹣30°＝90°，在Rt△CBH中，CH＝＝2，BH＝，∴BD＝，在Rt△OBD中，OD＝＝，∴PD的最小值为OD﹣OP＝．故选：B．【变式1-2】（安徽一模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝3，点D是BC边上一动点，连接AD交以CD为直径的圆于点E．则线段BE长度的最小值为（）A．1 B． C． D．【解答】解：如图，作以AC为直径的圆，圆心为O∵E点在以CD为直径的圆上∴∠CED＝90°∴∠AEC＝180°﹣∠CED＝90°∴点E也在以AC为直径的圆上，可得当O、E、B三点共线时，BE是最短，∵AC＝8，∴OC＝4∵BC＝3，∠ACB＝90°∴OB＝＝＝5∵OE＝OC＝4∴BE＝OB﹣OE＝5﹣4＝1故选：A．【典例2】如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC＝6，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，且BD＝2AD，DE∥BC，点M是DE的中点，连接BM，CM．将△ADE绕点A逆时针旋转，则在旋转过程中，△BMC面积的最大值为．【答案】12．【解答】解：连接AM，交BC于H，.∵AB＝AC，AD＝AE，点M是DE的中点，∴AM⊥DE，AH⊥BC，将△ADE绕点A逆时针旋转180°，即M'、M、H在同一直线上时，△BMC面积取最大值．∵AB＝AC＝6，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，且BD＝2AD，∴AD＝AE＝2，BH＝＝＝3，∴AM＝AD＝＝，∴AM'＝，∴M'H＝＝4，此时，△BMC面积＝＝＝12．故答案为：12．【变式2-1】（思明区校级期中）如图，在△ABC中，BC＝2，点A为动点，在点A运动的过程中始终有∠BAC＝45°，则△ABC面积的最大值为．【解答】解：如图，△ABC的外接圆⊙O，连接OB、OC，∵∠BAC＝45°，∴∠BOC＝2∠BAC＝2×45°＝90°，过点O作OD⊥BC，垂足为D，∵OB＝OC，∴BD＝CD＝BC＝1，∵∠BOC＝90°，OD⊥BC，∴OD＝BC＝1，∴OB＝＝，∵BC＝2保持不变，∴BC边上的高越大，则△ABC的面积越大，当高过圆心时，最大，此时BC边上的高为：+1，∴△ABC的最大面积是：×2×（+1）＝+1．故答案为：+1．【变式2-2】如图，直线分别与x轴、y轴相交于点M，N．点P在平面内．∠MPN＝90°，点C（0，3），则PC长度的最小值是1．【答案】1．【解答】解：∵点P在平面内．∠MPN＝90°，∴点P在以MN为直径的圆上，如图，以MN为直径作⊙E，连接EC并延长交⊙E于点P′，此时，PC长度最小为P′C，∵直线分别与x轴、y轴相交于点M，N，∴M（﹣8，0），N（0，6），∴OM＝8，ON＝6，在Rt△MON中，MN＝＝＝10，∴EM＝EN＝EP′＝＝5，∵M（﹣8，0），N（0，6），点E为MN的中点，∴E（﹣4，3），∵C（0，3），∴CE＝4，∴P′C＝EP′﹣CE＝5﹣4＝1，∴PC长度的最小值是1．故答案为：1．【变式2-3】如图，AB是⊙O的直径，点C在半圆的中点，且BC＝4cm，点D是上的一个动点，连接BD，过C点作CH⊥BD于H，连接AH，在点D的运动过程中，AH长度的最小值是2﹣2．【答案】2﹣2．【解答】解：连接AC，取BC的中点T，连接AT，TH．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵点C在半圆的中点，∴＝，∴AC＝CB＝4，∵CT＝TB＝2，∴AT＝＝＝2，∵CH⊥BD，∴∠CHB＝90°，∴点H在以BC为直径的圆上运动，∵CT＝TB，∴HT＝BC＝2，∵AH≥AT﹣HT＝2﹣2，∴AH的最小值为2﹣2，故答案为：2﹣2．【典例3】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P是矩形ABCD内一点，且∠BPC＝90°，连接AP，PD，则△APD面积的最小值为．【答案】2【解答】解：∵∠BPC＝90°，∴点P在以BC为直径的圆上，即点P到BC的最大距离为2，∴点P到AD的最小值＝3﹣×4＝1，∴S△APD＝×4×1＝2，∴△APD面积的最小值为2．故答案为：2．【变式3-1】如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，P是直线AB上的一个动点，AE＝2，△APE沿PE翻折形成△FPE，连接PF、EF，则FC的最小值是，点F到线段BC的最短距离是．【解答】解：连接CE，作EG⊥BC于G，∵AE＝EF＝2，∴点F在以E为圆心，AE为半径的圆上运动，在Rt△CDE中，由勾股定理得，CE＝＝＝2，∴FC的最小值为CE﹣2＝2﹣2，∵∠DAB＝∠ABC＝∠BGE＝90°，∴四边形ABGE是矩形，∴EG＝AB＝4，∴点F到线段BC的最短距离是2，故答案为：2﹣2，2．【变式3-2】如图，P是矩形ABCD内一点，AB＝4，AD＝2，AP⊥BP，则当线段DP最短时，CP＝．【解答】解：以AB为直径作半圆O，连接OD，与半圆O交于点P′，当点P与P′重合时，DP最短，则AO＝OP′＝OB＝AB＝2，∵AD＝2，∠BAD＝90°，∴OD＝2，∠ADO＝∠AOD＝∠ODC＝45°，∴DP′＝OD﹣OP′＝2﹣2，过P′作P′E⊥CD于点E，则P′E＝DE＝DP′＝2﹣，∴CE＝CD﹣DE＝+2，∴CP′＝．故答案为：2．【变式3-3】（2022•邗江区校级开学）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，点P是AB边上的一个动点，以BP为直径的圆交CP于点Q，若线段AQ长度的最小值是4，则△ABC的面积为．【解答】解：如图，取BC的中点T，连接AT，QT，BQ．∵PB是⊙O的直径，∴∠PQB＝∠CQB＝90°，∴QT＝BC＝定值，AT是定值，∵AQ≥AT﹣TQ，∴当A，Q，T共线时，AQ的值最小，设BT＝TQ＝x，在Rt△ABT中，则有（4+x）2＝x2+82，解得x＝6，∴BC＝2x＝12，∴S△ABC＝AB•BC＝×8×12＝48，故答案为：48．【变式3-4】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为边BC上一动点，F为AE中点，G为DE上一点，BF＝FG，则CG的最小值为﹣2．【答案】﹣2．【解答】解：如图1，连接AG，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，DC＝AB＝3，∵F是AE的中点，∴BF＝AE＝AF＝EF，∵BF＝FG，∴AF＝FG＝EF，∴∠AGE＝∠AGD＝90°，∴点G在以AD为直径的圆上运动，取AD的中点O，连接OG，当O，G，C三点共线时，CG的值最小，如图2所示，∴OD＝OG＝2，∴OC＝＝，∴CG的最小值为﹣2．故答案为：﹣2．【变式3-5】矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，点P为矩形内一个动点．且满足∠PBC＝∠PCD，则线段PD的最小值为﹣3．【答案】﹣3．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∴∠PCD+∠PBC＝90°，∵∠PBC＝∠PCD，∴∠PBC+∠PBC＝90°，∴∠BPC＝90°，∴P点在以BC为直径的圆上，设圆心为O，∵BC＝6，∴CO＝3，∵CD＝2，∴DO＝，∴PD的最小值为﹣3，故答案为：﹣3．【变式3-6】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝8，D是线段BC上的动点，连接AD，过点C作CM⊥AD于M，连接BM，则BM的最小值是4．【答案】4．【解答】解：如图，以AC为直径作⊙O，∵CM⊥AD，∴∠AMC＝90°，∴点M在⊙O的上半圆上，当且仅当点B、M、O三点共线时，BM最小，∵OC＝AC＝×12＝6，BC＝8，∠ACB＝90°，∴OB＝＝＝10，∵OM＝OC＝6，∴BM＝OB﹣OM＝10﹣6＝4，即BM的最小值是4，故答案为：4．【典例4】如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN，连接A'B，A'C，则△A'BC面积的最小值为．【答案】﹣1【解答】解：如图，由折叠知A'M＝AM，又∵M是AD的中点，∴MA＝MA'＝MD，点A'的运动轨迹就是在以点M为圆心，MA长为半径的上，过点M作ME⊥BC于点E，连接BD，在菱形ABCD中，∵AD＝AB，∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形．∵M是AD的中点，∴点E与点B重合，∴EM＝，设点A'到BC的距离为h，当点A'在ME上时，h取得最小值，最小值为EM﹣A'M＝﹣1，∴△A'BC面积的最小值为＝BC•h＝×2×（﹣1）＝﹣1，故答案为：﹣1．【变式4-1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝3，点D在边BC上．将△ACD沿AD折叠，使点C落在点C′处，连接BC′，则BC′的最小值为．【答案】3．【解答】解：∵∠C＝90°，CA＝CB＝3，∴，由折叠的性质可知AC＝AC'＝3，∵BC'≥AB﹣AC'，∴当A、C′、B三点在同一条直线时，BC'取最小值，最小值即为，故答案为．【典例5】如图，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，点D是AC边上一点，点E是平面内一点，且DE＝1，连接AE，CE，则四边形ABCE面积的最大值为．【答案】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC＝．经分析，当DE⊥AC于D时，四边形ABCE面积的最大．∴四边形ABCE面积的最大值为S四边形ABCE＝S△ABC+S△ACE＝DE＝＝．故答案为：．【变式5-1】如图，正方形ABCD的边长为2，点P是射线AD上一个动点，点Q在BP上，且满足∠BCQ＝∠BPC，则线段CQ的最小值为（）​A． B．1 C． D．【答案】C【解答】解：如图，连接AQ，∵∠BCQ＝∠BPC，且∠CBQ＝∠PBC，∴△BCQ∽△BPC，∴BQ：BC＝BC：BP，∵AB＝BC，∴BQ：AB＝AB：BP，∵∠ABQ＝∠PBA，∴△ABQ∽△PBA，∴∠AQB＝∠BAP＝90°，∴点Q的运动轨迹是在以AB为直径的圆上，如图，取AB中点O，连接OC交⊙O于Q，则CQ此时最小，∵BC＝2，∴OB＝1，∴OC＝＝，∵OQ＝1，∴CQ＝﹣1．故选：C．【变式5-2】如图，正方形ABCD的边长为5，以C为圆心，2为半径作⊙C．点P为⊙C上的动点，连接BP，并将BP绕点B逆时针旋转90°得到BP'，连接CP'．在点P运动的过程中，CP'长度的最大值是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：连接P'A，PC，∵∠ABC＝∠P'BP＝90°，∴∠P'BA＝∠PBC，∵BP'＝BP，BA＝BC，∴△P'BA≌△PBC（SAS）．∴P'A＝PC＝2，∴P'在以A为圆心，2为半径的圆上，连接AC，则当P'在CA的延长线上时，P'C最长，此时P'C＝P'A+AC＝2+＝5+2，故选：A．【变式5-3】在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2＝2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝6，EF＝4，点M在以半径为2的⊙D上运动，则MF2+MG2的最大值为（）A．104 B．116 C．120 D．100【答案】B【解答】解：取GF的中点O，连接OM，OD，DM．∵四边形DEFG是矩形，∴∠DGO＝90°，DG＝EF＝4，FG＝DE＝6，∵MG2+MF2＝2GO2+2OM2，∵OG＝OF＝3，∴OM的值最大时，MG