四点共圆（隐圆压轴五）（解析版）-2023-2024学年九年级数学上册《重难点题型-高分突破》（人教版）

专题4.8四点共圆1.四点共圆如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．2．四点共圆的性质(1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等．(2)圆内接四边形的对角互补．(3)圆内接四边形的一个外角等于它的内对角．3．四点共圆的判定(1)用“角”判定：①一组对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上；②一个外角等于它的内对角的四边形的四个顶点在同一个圆上；③如果两个三角形有一条公共边，且位于公共边同侧的两个角相等，则这两个三角形的四个顶点在同一个圆上．(2)“等线段”判定：四顶点到同一点的距离相等，若OA＝OB＝OC＝OD，则A，B，C，D四点共圆．(3)用“比例线段”判定：若线段AB，CD(或其延长线)交于点P，且PA·PC＝PB·PD，则A，B，C，D四点共圆.模型解读：模型1：对角互补型：若∠A+∠C=180º或∠B+∠D=180º,则A、B、C、D四点共圆模型2：同侧等角型（1）若∠A=∠C,则A、B、C、D四点共圆（2）手拉手(双子型)中的四点共圆条件：△OCD∽△OAB结论：①△OAC∽△OBD②AC与BD交于点E,必有∠AEB=∠AOB；③点E在△OAB的外接圆上,即O、A、B、E四点共圆.同理：ODCE也四点共圆.模型3：直径是圆中最长的弦1.定圆中最长的弦是直径；2.经过圆中定点最短的弦是垂直于过这点直径的弦；3.定弦中最小的圆是以该弦为直径的圆。【典例1】如图，四边形ABCD是某高新区核心地块用地示意图，经测量得如下数据：AB＝30km，BC＝40km，∠B＝120°，∠A+∠C＝180°，请计算这块规划用地的最大面积．【解答】解：∵四边形ABCD中，∠DAC+∠DCB＝180°，∴A、B、C、D四点共圆，如图，延长CB，过点A作AE⊥CB于点E，连接AC，过点D作DF⊥AC于点F．∵∠ABC＝120°，∴∠ADC＝∠ABE＝60°，∴BE＝AB＝15km，AE＝＝15km，CE＝40+15＝55km，∴S△ABC＝＝＝300km2．则当△ADC的面积最大时，四边形ABCD的面积最大．当AD＝CD时，DF最大，此时四边形ABCD的面积最大．在Rt△ACE中，AC＝＝10km，AF＝AC＝5km，∵∠ADF＝＝30°，∴DF＝AF＝5km，∴S△ADC＝＝＝925km2．300+925＝1225km2．∴四边形ABCD的最大面积为1225km2．【变式1-1】如图，已知AC＝BC＝4，点D是AB下方一点，且∠C＝∠D＝90°，求四边形ACBD面积的最大值．【解答】解：过点C作CE⊥AB，垂足为E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，∵∠C＝∠D＝90°，∴AB是圆的直径，即A，C，B，D四个点在以AB为直径的圆上，∵AC＝BC＝4，∴AB＝＝＝，∵四边形ACBD的面积＝△ACB的面积+△ADB的面积，∴四边形ACBD的面积＝AB•DE+AB•DF＝AB•（DE+DF），∴当DE与DF的和等于圆的直径时，四边形ACBD的面积最大，即当DE+DF＝时，四边形ACBD的面积＝××＝16，∴四边形ACBD面积的最大值为16．【变式1-2】如图，△ABC中，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，∠BDC＝120°，连接BD，CD并延长分别交AC，AB于点E和点F，若DE＝6，，则BD的长为（）A．10 B．12 C．15 D．16【答案】C【解答】解：∵∠BAC＝60°，∠BDC＝120°，∴A、E、D、F四点共圆，∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAF，∴DE＝DF＝6，∵∠BDC＝120°，∴∠CDE＝60°＝∠FAC，∵∠ACD＝∠ACD，∴△CDE∽△CAF，∴AF：AC＝DE：CD＝6：10＝3：5，如图，延长CF到P，使DP＝DB，∵∠PBD＝60°，∴△BDP为等边三角形，∴∠P＝60°，∴△AFC∽△PFB，∴PF：PB＝AF：AC＝3：5，设每一份为k，∴PB＝PD＝5k，PF＝3k，∴DF＝2k＝6，∴k＝3，∴BD＝5k＝15．故选：C．【变式1-3】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，△ADC沿直线CD翻折至△ABC所在平面内得△A′DC，AA′与CD交于点E．若，，则点A′到AB的距离是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，∴CD＝AD＝BD＝AB，∵，，∴AB＝＝＝5，∴AD＝BD＝，根据折叠的性质可得，AC＝A′C＝，AD＝A′D＝，∴A′D＝AD＝，∴△AA′B为直角三角形，∴A、B、A′、C四点共圆，以AB为直径，D为圆心作圆，过点A′作A′F⊥AB，设CD与AA′交于点O，如图，∵，∴∠A′CO＝∠BAO，∵∠A′OC＝∠BOA，∴△A′OC∽△BOA，∴，设OC＝x，则OB＝BC﹣OC＝，∴，∴OA＝，OA′＝2﹣，在Rt△AOC中，OC2+AC2＝OA2，∴，解得：x＝或（舍去），∴OA′＝2﹣＝，OB＝2＝，在Rt△OA′B中，A′B＝＝＝3，设DF＝a，则BF＝BD﹣DF＝，在Rt△A′DF中，A′F2＝A′D2﹣DF2＝，在Rt△A′BF中，A′F2＝A′B2﹣BF2＝，∴，解得：a＝，∴A′F＝＝，即点A′到AB的距离是．故选：B．【变式1-4】如图，正方形ABCD和正方形DEFG边长分别为a和b，正方形DEFG绕点D旋转，给出下列结论：①AG＝CE；②AG⊥CE；③点G、D、H、E四点共圆；④DH平分∠ADE；⑤AC2+EG2＝CG2+AE2，其中正确的结论是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③⑤【答案】D【解答】解：在△ADG和△CDE中，，∴△ADG≌△CDE（SAS），∴AG＝CE；连接AC，∵△ADG≌△CDE，∴∠DAG＝∠DCE，∵∠DAG+∠CAG+∠ACD＝90°，∴∠DCE+∠CAG+∠ACD＝90°，即∠AHC＝180°﹣（∠DCE+∠CAG+∠ACD）＝90°，∴AG⊥CE；∵AG⊥CE，∠GDE＝90°，∴点G、D、H、E四点在以EG为半径的圆上；∵a和b不一定相等，∴DH不一定平分∠ADE；连接AC，AE，EG，CG，∵AH2+CH2＝AC2，HG2+HE2＝EG2∴AC2+EG2＝AH2+CH2+HG2+HE2，∵AH2+EH2＝AE2，CH2+HG2＝CG2，∴AE2+CG2＝AH2+CH2+HG2+HE2，即AC2+EG2＝CG2+AE2，∴①②③⑤结论正确；故选：D．【变式1-5】如图，AB＝AD＝6，∠A＝60°，点C在∠DAB内部且∠C＝120°，则CB+CD的最大值（）A．4 B．8 C．10 D．6【答案】A【解答】解：如图，连接AC，BD，在AC上取点M使DM＝DC，∵∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，∴∠DAB+∠DCB＝180°，∴A，B，C，D，四点共圆，∵AD＝AB，∠DAB＝60°，∴△ADB是等边三角形，∴∠ABD＝∠ACD＝60°，∵DM＝DC，∴△DMC是等边三角形，∴∠ADB＝∠ACD＝60°，∴∠ADM＝∠BDC，∵AD＝BD，∴△ADM≌△BDC（SAS），∴AM＝BC，∴AC＝AM+MC＝BC+CD，∵四边形ABCD的周长为AD+AB+CD+BC＝AD+AB+AC，且AD＝AB＝6，∴当AC最大时，四边形ABCD的周长最大，则CB+CD最大，此时C点在的中点处，∴∠CAB＝30°，∴AC的最大值＝AB×cos30°＝4，∴CB+CD最大值为AC＝4，故选：A．【变式1-6】如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，将该纸片翻折，使得点C落在边AB的F处，折痕为DE，D，E分别在边BC，AC上，∠AFD＝∠DEF，若DE＝4，BD＝9，则DF＝6，△ABC的面积为．【答案】6，．【解答】解：连接AD，过点A作AG⊥BC于点G，如图，根据折叠的性质可得，∠CED＝∠DEF，∠C＝∠DFE，∵∠AFD＝∠DEF，∴∠CED＝∠AFD，∴A、F、D、E四点共圆，∴∠DAF＝∠DEF，∠CAD＝∠DFE，∴∠AFD＝∠DAF，∠CAD＝∠C，∴DF＝AD＝CD，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠CED＝∠DEF＝∠DAF，∴△BAD∽△CED，∴，∵DE＝4，BD＝9，DF＝AD＝CD，∴，∴DF＝AD＝CD＝6，∴BC＝BD+CD＝9+6＝15，∵AG⊥BC，AB＝AC，∴BG＝CG＝＝，∴DG＝CG﹣CD＝＝，在Rt△ADG中，由勾股定理得＝＝，∴＝＝．故答案为：6，．【变式1-7】如图，以C为公共顶点的Rt△ABC和Rt△CED中，∠ACB＝∠CDE＝90°，∠A＝∠DCE＝30°，且点D在线段AB上，则∠ABE＝30°，若AC＝10，CD＝9，则BE＝．【答案】30°，．【解答】解：∵∠ACB＝∠CDE＝90°，∠A＝∠DCE＝30°，∴∠DBC＝∠DEC＝60°，∴B、C、D、E四点共圆，∴∠DBE＝∠DCE＝30°，∴∠ABE＝30°，设BC＝x，则AB＝2x，在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2＝AC2+BC2，∵AC＝10，∴（2x）2＝102+x2，解得：x＝，∴BC＝，设DE＝a，则CE＝2a，在Rt△CED中，由勾股定理得CE2＝DE2+CD2，∵CD＝9，∴（2a）2＝a2+92，解得：a＝，∴DE＝，CE＝，∵∠ABC＝60°，∠ABE＝30°，∴∠CBE＝∠ABC+∠ABE＝90°，在Rt△CBE中，由勾股定理得＝．【变式1-8】如图，AB⊥BC，AB＝5，点E、F分别是线段AB、射线BC上的动点，以EF为斜边向上作等腰Rt△DEF，∠D＝90°，连接AD，则AD的最小值为．【答案】．【解答】解：连接BD并延长，如图，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∠EDF＝90°，∴∠ABC+∠EDF＝180°，∴B，E，D，F四点共圆，∵△DEF为等腰直角三角形，∴∠DEF＝∠DFE＝45°，∴∠DBF＝∠DEF＝45°，∴∠DBF＝∠DBE＝45°，∴点D的轨迹为∠ABC的平分线上，∵垂线段最短，∴当AD⊥BD时，AD取最小值，∴AD的最小值为AB＝，故答案为：．【变式1-9】【问题情境】如图①，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，求证：A、B、C、D四点共圆．小吉同学的作法如下：连结AC，取AC的中点O，连结OB、OD，请你帮助小吉补全余下的证明过程；【问题解决】如图②，在正方形ABCD中，AB＝2，点E是边CD的中点，点F是边BC上的一个动点，连结AE，AF，作EP⊥AF于点P．（1）如图②，当点P恰好落在正方形ABCD对角线BD上时，线段AP的长度为；（2）如图③，过点P分别作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，连结MN，则MN的最小值为．【答案】【问题情境】见解析；【问题解决】（1）；（2）．【解答】【问题情境】证明：如图，连结AC，取AC的中点O，连结OB、OD，∵∠ADC＝∠ABC＝90°，O为AC的中点，∴OA＝OB＝OC＝OD＝AC，∴A、B、C、D四点共圆；【问题解决】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，点E是边CD的中点，AB＝2，∴AD＝2，DE＝1，∴AE＝，由【问题情境】结论可知，A、D、E、P四点共圆，如图，∴∠PAE＝∠PDE，∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠PDE＝∠PAE＝45°，∵EP⊥AF，∴△PAE为等腰直角三角形，设AP长为a，则PE长为a，∴AP2+PE2＝AE2，即，解得：a1＝，（不合题意，舍去），∴线段AP的长度为；故答案为：；（2）由【问题情境】结论可知，A、D、E、P四点共圆，如图，过点O作OG⊥AD于点G，作OH⊥AB于点H，连接OB交⊙O于点P′，连接PB，∵PM⊥AB，PN⊥BC，∴∠PMB＝∠MBN＝∠PNB＝90°，∴四边形MBNP为矩形，∴MN＝PB，要求MN的最小值，即求PB的最小值，由（1）知，AE＝，∴，∵OG⊥AD，且点O为AE的中点，∴OG∥DE，∴OG为△ADE的中位线，∴AG＝1，OG＝，∵OG⊥AD，OH⊥AB，∴四边形AHOG为矩形，∴AH＝OG＝，OH＝AG＝1，∴BH＝，在Rt△BHO中，，根据两点之间线段最短得，PB+OP≥OB，PB≥OB﹣OP＝，∴PB的最小值为，∴MN的最小值为．故答案为：．【变式1-10】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，将△ABC绕A点顺时针旋转得到△ADE，使D点落在BC边上．（1）求∠BAD的度数；（2）求证：A，D，B，E四点共圆．【答案】（1）10°；（2）证明见解答过程．【解答】（1）解：由旋转知，AD＝AC，∵∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，∴∠ADC＝∠C＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°，∴∠