湖南省岳阳市2021年中考数学试题真题(答案+解析)

湖南省岳阳市2021年中考数学试卷

一、单选题

1.（2021•岳阳）在实数V3,-1,0,2中，为负数的是（）

A.V3B.-1C.0D.2

2.（2021•岳阳）下列品牌的标识中，是轴对称图形的是（）

3.（2021•岳阳）下列运算结果正确的是（）

A.3a—a=2B.a2-a4=a8C.（a+2）（a-2）=a2—4D.（—a）2=—a2

已知不等式组士::

4.（2021•岳阳）,其解集在数轴上表示正确的是（）

-3-2-1012

5.（2021•岳阳）将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线a〃b，则/I的大小为（）

A.45°B.60°C.75°D.105°

6.（2021,岳阳）下列命题是真命题的是（）

A.五边形的内角和是720°B.三角形的任意两边之和大于第三边

C.内错角相等D.三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点

7.（2021•岳阳）在学校举行“庆祝百周年，赞歌献给党"的合唱比赛中，七位评委给某班的评分去掉一个最

高分、一个最低分后得到五个有效评分，分别为：9.0,9.2,9,0,8,8,9.0（单位：分），这五个有效评分

的平均数和众数分别是（）

A.9.0,8.9B.8.9,8.9C.9.0,9.0D.8.9,9.0

8.（2021•岳阳）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”.如图，在

正方形。力BC中，点4（0,2），点C（2,0）,则互异二次函数y=（%-m）2-m与正方形04BC有交

点时m的最大值和最小值分别是（）

ky

.4-------13

JC-

A.4,-1B.5Z2^Z,-1C,4,0D.^iZ,-1

22

二、填空题

9.（2021•岳阳）因式分解：x2+2%+1=.

10.（2021•岳阳）2021年5月15日，“天间一号"探测器成功着陆火星，在火星上首次留下了中国印迹.据

公开资料显示，地球到火星的最近距离约为55000000公里，数据55000000用科学记数法表示为.

11.（2021•岳阳）一个不透明的袋子中装有5个小球，其中3个白球，2个黑球，这些小球除颜色外无其它

差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是白球的概率为.

12.（2021•岳阳）已知关于X的一元二次方程/+6x+k=0有两个相等的实数根，则实数k的值为

13.（2021•燕山模拟）要使分式患有意义，则x的取值范围为.

14.（2021•岳阳）已知工+：=鱼，则代数式x+i-V2=.

15.（2021•岳阳）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题："今有户高多于广六尺八寸，两隅

相去适一丈.问户高、广各几何？"其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈.问

门高、宽各是多少？（1丈=10尺，1尺=10寸）如图，设门高AB为久尺，根据题意，可列方程为

D

BC

16.（2021岳阳）如图，在Rt^ABC中，4=90。，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点

D、E,BE=8,。0为&BCE的外接圆，过点E作。。的切线EF交AB于点F,则下

列结论正确的是.（写出所有正确结论的序号）

①AE=BE；②ZAED=/CBD;③若/DBE=40。，则位的长为萼；④喋=案；⑤

Vcror

若EF=6,贝I]CE=2.24.

O

三、解答题

17.（2021•岳阳）计算：（-1）2021+|-2|+4sin30°一（强一兀）°.

18.（2021•岳阳）如图，在四边形ABCD中，AELBD,CFLBD,垂足分别为点E,F.

（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是

（2）添加了条件后，证明四边形AECF为平行四边形.

19.（2021•岳阳）如图，已知反比例函数y=£（k^0）与正比例函数y=2x的图象交于71（1,m）,B

（1）求该反比例函数的表达式；

（2）若点C在x轴上，且4BOC的面积为3,求点C的坐标.

20.（2021•岳阳）国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》指

出，要加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理.某校数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取

了八年级部分学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间t（单位：卜）进行了调查，将数据整理后得到

下列不完整的统计图表：

组别睡眠时间分组频数频率

At<640.08

B6<t<780.16

C7<t<810a

D8<t<9210.42

Et>9b0.14

请根据图表信息回答下列问题：

（1）频数分布表中，a=,b=；

（2）扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的度数是°；

（3）请估算该校600名八年级学生中睡眠不足7小时的人数；

（4）研究表明，初中生每天睡眠时长低于7小时，会严重影响学习效率.请你根据以上调查统计结果，向

学校提出一条合理化的建议.

21.（2021•岳阳）星期天，小明与妈妈到离家16km的洞庭湖博物馆参观•小明从家骑自行车先走，％后

妈妈开车从家出发，沿相同路线前往博物馆，结果他们同时到达.已知妈妈开车的平均速度是小明骑自行

车平均速度的4倍，求妈妈开车的平均速度.

22.（2021•岳阳）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥，如

图，该河旁有一座小山，山高BC=80m,坡面AB的坡度i=1:0.7（注：从山顶B处测得河岸E

和对岸F的俯角分别为/DBE=45°,ZDBF=31°.

（参考数据：sin31°»0.52,cos31°»0.86,tan31020.60）

（1）求山脚A到河岸E的距离；

（2）若在此处建桥，试求河宽EF的长度.（结果精确到0.1m）

23.(2021•岳阳)如图，在RtA4BC中，ZACB=90°，4=60°，点。为的中点，连接

CD,将线段CD绕点D顺时针旋转a(60°<a<120°)得到线段ED,且ED交线段BC于点

G,/CDE的平分线DM交BC于点H.

(1)如图1,若a=90°，则线段ED与BD的数量关系是

(2)如图2,在(1)的条件下，过点C作CF“DE交DM于点F,连接EF,BE.

①试判断四边形CDEF的形状，并说明理由；

②求证：丝=立；

FH3

(3)如图3,若ZC=2,tan(a—60°)=m,过点C作CF//DE交DM于点F,连接EF,

BE,请直接写出警的值(用含m的式子表示).

FH

24.(2021•岳阳)如图，抛物线y=ax2+bx+2经过71(-1,0),B(4,0)两点，与y轴交于点C,

连接BC.

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)如图2,直线I：y=kx+3经过点A,点P为直线I上的一个动点，且位于x轴的上方，点

Q为抛物线上的一个动点，当PQ//y轴时，作QMJ.PQ,交抛物线于点M(点M在点Q的右

侧)，以PQ,QM为邻边构造矩形PQMN,求该矩形周长的最小值；

(3)如图3,设抛物线的顶点为D,在(2)的条件下，当矩形PQMN的周长取最小值时，抛物线上是

否存在点F，使得ZCBF=NDQM?若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】B

【考点】正数和负数的认识及应用

【解析】【解答】解：A、V3是正数；

B、1是正数，在正数的前面加上的数是负数，所以，-1是负数;

C、0既不是正数，也不是负数；

D、2是正数.

故答案为：B

【分析】负数小于0,据此判断即可.

2.【答案】A

【考点】轴对称图形

【解析】【解答】A.是轴对称图形，符合题意;

B.不是轴对称图形，不符合题意；

C.不是轴对称图形，不符合题意；

D.不是轴对称图形，不符合题意；

故答案为：A.

【分析】轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；据此逐一判断

即可.

3.【答案】C

【考点】同底数事的乘法，平方差公式及应用，有理数的乘方，合并同类项法则及应用

【解析】【解答】解：A、3a-a=2a,因此错误；

B、a2-a4=a6,因此错误；

C、(a+2)(a-2)=a2-4,因此正确；

D、(―a)2=a2,因此错误；

故答案为：C.

【分析】根据合并同类项、同底数哥的乘法、平方差公式及累的乘方分别计算，然后判断即可.

4.【答案】D

【考点】在数轴上表示不等式组的解集，解一元一次不等式组

【解析】【解答】解y士黑

解不等式①得：%<1,

解不等式②得：x>-2,

不等式组的解集为：—2Wx<l,

在数轴上表示为：-e-41r~irS＞~^'

-J-Z-1V1/

故答案为：D.

【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示，然后判断即可.

5.【答案】C

【考点】平行线的性质

【解析】[^]vailb

/1+(45°+60°)=180°(两直线平行，同旁内角互补)

11=75°.

故答案为：C.

【分析】根据两直线平行，同旁内角互补进行解答即可.

6.【答案】B

【考点】平行线的性质，三角形三边关系，多边形内角与外角，三角形的重心及应用

【解析】【解答】A、五边形的内角和是540°,故原命题为假命题，不符合题意；

B、三角形的任意两边之和大于第三边，原命题是真命题，符合题意；

C、两直线平行，内错角相等，故原命题为假命题，不符合题意；

D、三角形的重心是这个三角形的三条中线的交点，故原命题为假命题，不符合题意；

故答案为：B.

【分析】根据多边形的内角和公式、三角形三边关系、平行线的性质及三角形重心的性质分别进行判断

即可.

7.【答案】C

【考点】平均数及其计算，众数

【解析】【解答】解：该班最后得分为(9.0+9.2+9.0+8.8+9.0)+5=9.0(分).

故最后平均得分为9.0分.

在五个有效评分中，9.0出现的次数最多，因此众数为：9.0

故答案为：C.

【分析】根据平均数的定义、众数的定义分别求解即可判断.

8.【答案】D

【考点】二次函数图象上点的坐标特征，二次函数y=ax八2+bx+c的图象，二次函数y=axA2+bx+c的性质

【解析】【解答】解：由正方形的性质可知：B(2,2)；

若二次函数y=(x-m)2-m与正方形。力BC有交点，则共有以下四种情况：

当mW0时，则当A点在抛物线上或上方时，它们有交点，此时有｛2mseI)，

—m＜2

解得：—14THV0;

当0＜皿＜1时，则当C点在抛物线上或下方时，它们有交点，此时有｛0，

—Ttl)—771NU

解得：0VmW1；

当1＜皿＜2时，则当O点位于抛物线上或下方时，它们有交点，此时有｛%(血?：，

-m＞0

解得：1V77142;

当TH>2时，则当。点在抛物线上或下方且B点在抛物线上或上方时，它们才有交点，此时有

m>2

{m2-m>0,

(2—m)2—m<2

解得：2<小式区也；

2

综上可得：m的最大值和最小值分别是出土，-1.

2

故答案为：D.

【分析】先求出点B(2,2),分四种情况：①当mSO时，则当A点在抛物线上或上方时，它们有

交点；②当0<mSl时，则当C点在抛物线上或下方时，它们有交点；③当l<mS2时，则当。

点位于抛物线上或下方时，它们有交点；④当m>2时，则当。点在抛物线上或下方且B点在抛物线上

或上方时，它们才有交点，据此分别列出不等式组，求解即可.

二、填空题

9.【答案】(x+l)2

【考点】因式分解-运用公式法

【解析】【解答】解：/+2%+1=(尤+1)2.

故答案为：(%+I)2.

【分析】利用完全平方公式分解即可.

10.【答案】5.5xl07

【考点】科学记数法一表示绝对值较大的数

【解析】【解答】解:55000000=5.5xl07.

故答案为：5.5X107.

【分析】科学记数法的表示形式为axion的形式，其中lv|a|<10,n为整数.确定n的值时，要看把原数

变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n是正数；

当原数的绝对值<1时，n是负数，据此解答即可.

11.【答案】I

【考点】概率公式

【解析】【解答】解：袋子中一共有5个球，从袋子中随机摸出一个小球，总的结果数是5个，

其中，摸出的小球是白球的结果数为3个，

因此，摸出的小球是白球的概率为I；

故答案为：|.

【分析】利用概率公式计算即可.

12.【答案】9

【考点】一元二次方程根的判别式及应用

【解析】【解答】解:由题可知："△=()",即62-4/c=0；

k=9；

故答案为：9.

【分析】由关于“的一元二次方程/+6x+k=0有两个相等的实数根，可得△=(),据此解答即可.

13.【答案】XH1

【考点】分式有意义的条件

【解析】【解答】解：由题意得

X-1H0,

XH1.

故答案为XH1.

【分析】先求出X-1H0,再求取值范围即可。

14.【答案】0

【考点】代数式求值

【解析】【解答】x+^-V2=V2-V2=0

故答案为：0.

【分析】直接代入计算即可.

15.【答案】x2+(x-6.8)2=102

【考点】勾股定理的应用

【解析】【解答】解：由题可知，6尺8寸即为6.8尺，1丈即为10尺；

高比宽多6尺8寸，门高AB为x尺，

BC=(x-6.8)尺，

可列方程为：X2+(%-6.8)2=102,

故答案为：x2+(x-6.8)2=102.

【分析】设门高AB为x尺，可得BC=(%-6.8)尺，利用勾股定理可得/+Q-6.8)2=102,求出

x值即可.

16.【答案】①②④⑤

【考点】线段垂直平分线的性质，勾股定理，圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解:①:DE是AB的垂直平分线

AE=BE

故正确

②；DE是AB的垂直平分线

DE±AB

ZA+ZAED=90"

/C=90°

ZA+ZABC=90°

ZAED=/CBD

故正确

③连接OC

DE是AB的垂直平分线

AE=BE

二ZEBD=ZA=40°

在R3ABC中，ZABC=90°-40°=50°

ZEBC=50°-40°=10°

ZE0C=2ZEBC

・•.ZEOC=20°

.反亍2071-447r

.・fiC=--------=——

1809

故错误

④■.DEJ_AB,EF是。。的切线

ZFEB=ZEDF=90°

又NEFD=ZEFD

△EFD-△BFE

DFEF

..———

EFBF

故正确

⑤EF=6,BE=8

BF=VFF2+BE2=V36+64=10

-EF-BE=-BF-ED

22

6X8门

ED=——=4A.8

10

在RtAEDB中,

BD=《BE2-ED2=V82-4.82=6.4

VDE是AB的垂直平分线

AD=DB=6.4,AE=BE=8

•・・在RtAADE和RtAACE中

ZA=ZA,ZADE=ZACB=90°

/.RtAADE-RtAACB

.AD_AE

…AC~AB

.6-4__8_

-AC~12-8

AC=10.24

又AE=BE=8

CE=AC-AE=10.24-8=2.24

故正确

故答案为：①②④⑤

【分析】由于DE是4B的垂直平分线，可得AE=BE,DE±AB,可得NA+NAED=90°,由NA+NABC

=90。，可得/4ED=/CBC,据此判断①②；连接OC,由AE=BE,可得NEBD=NA=40。，从而求出

NEBC=10。，利用圆周角定理可得NEOC=2NEBC=20。，利用弧长公式求出处的长，据此判断③；证明

△EFD-ABFE,可得箓=煞，据此判断④；利用ABEF的面积不变求出ED,利用勾股定理求出BD,

证明R3ADE-RtAACB,可得华=祭，据此求出AC,利用CE=AC-AE求出结论，据此判断⑤.

三、解答题

17.【答案】解：(-1)2021+I_2|+4sin30°-(V8-7r)0

=_1+2+4xl-l

=-1+2+2-1

=2

【考点】实数的运算，特殊角的三角函数值

【解析】【分析】利用乘方、绝对值的性质、特殊角三角函数值及零指数幕的性质先进行简化，再计算加

减即可.

18.【答案】(1)AF/fCE(答案不唯一，符合题意即可)

(2)证明：I，AE1.BD,CF1BD,

•*AE“CF,

AF〃CE,

四边形AECF为平行四边形

【考点】平行四边形的判定

【解析】【解答】(1)显然，直接添加AF/fCE,可根据定义得到结果，

故答案为：AF//CE(答案不唯一，符合题意即可)；

【分析】(1)由AE1BD,CFJ.BD可得AEIICF,直线添加4尸〃CE或AE=CF即证结论；

(2)添加4尸〃CE,根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即证；添加AE=CF,根据一组对边

平行且相等的四边形是平行四边形即证.

19.【答案】(1)解：将4(l,m)点坐标代入y=2x中可得：m=2,

•••4(1,2)；

将4(1,2)代入y=K0)可得：k=2,

该反比例函数的表达式为y=l

(2)解：因为该反比例函数的图象和一次函数的图象交于4(1,2),B两点，

•4-4(1,2),B两点关于原点对称，

8(—1,—2),

B点到0C的距离为2,

•••△BOC的面积为3,

：X2XOC=3'

0C—3,

当C点在。点左侧时，C(-3,0)；

当C点在。点右侧时，C(3,0)；

点C的坐标为C(-3,0)或C(3,0)

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征

【解析】【分析】(1)将点坐标代入y=2x中,求出m值，即得4(1,2),再将4(1,2)代入y=

：(kwO)中，求出k值即可；

(2)根据反比例函数与正比例函数的对称性，可知4(1,2),B两点关于原点对称，求出

6(-1,-2),由ABOC的面积为3,可求出0C=3,分两种情况：①当C点在。点左侧时，②当C点

在0点右侧时，据此分别求出点C坐标即可.

20.【答案】(1)0.2；7

(2)72

(3)解：组别力和B的频率和为：0.08+0.16=0.24,

八年级学生中睡眠不足7小时的人数=600x0.24=144(人)

(4)解：根据(3)中求得的该学校每天睡眠时长低于7小时的人数，建议学校尽量让学生在学校完成作

业，课后少布置作业

【考点】用样本估计总体，频数(率)分布表，扇形统计图

【解析】【解答】(1)根据组别A,本次调查的总体数量=警=白=50,

频率U.Uo

・••组别C的频率=瞽3=^=0.2,

思体数量50

组别E的频数=频率x总体数量=0.14X50=7,

a=0.2,6=7；

(2)(1)中求得a的值为0.2,

其在扇形中的度数=360°x0.2=72°;

【分析】(1)利用A组的频数除以频率，可得样本容量，由a=C组频数除以样本容量计算即得；由b=E

组的频率乘以样本容量计算即得；

(2)利用C组的频率乘以360。即得结论；

(3)利用600乘以样本中4和B的频率和，即得结论；

(4)根据(3)中求得的该学校每天睡眠时长低于7小时的人数，根据实际情况提出建议即可.

21.【答案】解：设妈妈开车的平均速度为xkm/h,则小明的速度为9km/h,根据题意得，

-16--1.=——16

-X

解得，x=48

经检验，%=48是原方程的根，

答：妈妈开车的平均速度是48km/h

【考点】分式方程的实际应用

【解析】【分析】设妈妈开车的平均速度为xkm/h,则小明的速度为3km/h,根据时间=路程+速度，利用

小明比妈妈多用1小时，列出分式方程，求解并检验即可.

22.【答案】(1)解：BC=80m,坡面AB的坡度i=1:0.7,

CA=80x0.7=56m,

:ZDBE=45°,

・•・ZCBE=45°,

・•・NCBE=NBEC=45°,

CE=CB=80m,

・•.AE=CE-C；4=80-56=24(m),

•••山脚A到河岸E的距离为24m

(2)解：:ZDBF=31°,BD//CF,

ZBFC=31°,

.CB8010c、

..CF=-----x-x133.3(m),

tan3106

EF=CF-CE133.3-80=53.3(m),

•••河宽EF的长度约为53.3m

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解直角三角形的应用-仰角俯角问题

【解析】【分析】(1)根据AB的坡度求出CA,由NCBE=NBEC=45。，可得CE=CB=80m,利用AE=CE-CA

计算即得结论；

CB

(2)根据平行线的性质得出NBFC=ZDBF=31。，从而求出CF=x133.3(m),利用EF=CF-CE计

tan31

算即得结论.

23.【答案】(1)ED=BD：U

3

(2)解：①正方形，理由如下：

a=90°,DM平分NCDE,

/CDE=90",NCDF=ZEDF,

•・•CD=ED,DF=DF,

・•.△CDF=△EDF(SAS),

・•・NDCF=NDEF，

•・,CF//DE,

・•・/FCD+NCDE=180°,

・•・ZFCD=90°,

/DCF=NDEF=NCDE=90°,

・•・四边形CDEF为矩形，

又•・.CD=ED,

四边形CDEF为正方形；

②显然，在正方形CDEF中，〉CFH八GDH,

.PH_DG

一'FH~~CF9

又「CD=CF,

,DHDGV3

••------——,

FHCD3

由(1)得：ZA=60°fCD=AD,则△4C0为等边三角形,

••・ZADC=60°,

丁ZCDE=90"，

・•・ZGDB=30°,

・•.ZGDB=NGBD,GD=GB,

又＜DE=DB,

・•.NDBE=NDEB=1(1800-NGDB)=75°,

・•・ZGBE=7547—30°=45°，

NGDH=45°,

・•・NGBE=NGDH

在AGBE与△GD”中，

NGDH=NGBE

{GD=GB

NDGH=NBGE

△GBEGDH(ASA),

・•.BE=DH,

.BE_DH_DG_V3

FH~FH~CD~3

(3)解：同(2)中①理，XCDFWAEDF,

/.NCDF=/EDF,ZCFD=/EFD,

,/CF//DE,

••・NCFD=/EDF,

・•・NCFD=NCDF，ZEDF=ZEFD,

・•.CF=CD,ED=EF,

・•・四边形CDEF为菱形，

•・・LACD为等边三角形，

AC=CD=AD=BD—2,菱形的边长也为2,

由题意，ZHDG=,ZDEB=ZDBE=|ZADE=30°+,

/DBG=30°,

/EBG,

即：/HDG=ZEBG,

△EBGHDGf

;在菱形CDEF中，XHFCs2HDG,

△EBGHFCf

.BE_BG

-FH-FC'

如图，作DKICG,

ZDCK=30°,

NCDK=60°,NKDG=a-60°,

,/CD=2,

DK=1,CK=V5,

在Rt△KDG中，77=tanXKDG=tan(a-6047)=m,

DK

GK=m,

CG=>/34-m,

在Rt△ABC中，BC=WAC=2V3，

BG=BC-CG=2\[3-y/3-m=V3-m，

CF=CD=2,

..-B-E=-B-G=-y-/3-—-T-n

FHFC2

【考点】正方形的判定，相似三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，旋转的性质，直角三角形斜边

上的中线

【解析】【解答】⑴・・,点。为Rt△ABC中斜边AB的中点，

・•.CD=AD=BD,

,•・线段CD绕点D顺时针旋转得到线段ED,

CD=ED,

・•.ED=BD,

Rt^ABC中，ZACB=90°，4=60°,

••・^B=30°,

•・,CD=BD,

・•・NB=ZDCG=30°,

「・在Rt△DCG中，—=tan^DCG-tan300=—,

CD3

故答案为：ED=BD；3；

3

【分析】(1)根据直角三角形的性质及旋转的性质可得CD=AD=BD=ED,利用等边对等角可得=

ZDCG=30°,在RtAOCG中，由于黑=tan/DCG即可求出结论；

(2)①证明ACDF三△EDF(SAS),可得N0CF=NDEF,利用平行线的性质可得N0CF=

/DEF=/CDE=9Q°,可证四边形CDE尸为矩形，由CD=ED,可证四边形CDEF为正方形;

②证明△CFU-AGOH,可得竺=竺=3,再证468七三46。"0454)，可得

FHCD3

BE=DH,可得"="=丝=在；

FHFHCD3

(3)证明四边形CDE尸为菱形，由△4CD为等边三角形，可得AC=CD=AD=BD=2,证明

DCDZ,

△EBG八HFC,可得箸=77，如图作DK1CG,求出NtDK=60°,ZKDG=a-

FHFC

60°,继而求出。K=l,CK=y/3,在RtAKDG中，器=tan〃DG=tan(a—60°)=m,

DK

可得GK=m,CG=V3+m,

BE

在RtZkABC中，8。=遮4。=2遮，可得86=8。-0；=2百一百一瓶=遍一7«，利用左=

rri

霁即得结论.

FC

24.【答案】(1)解：,••抛物线y=ax2+bx+2经过＞1(-1,0),8(4,0)两点，

.ra-b+2=0

"l16a+4b+2=0'

1

a=—

2

解得：｛3，

b=-

2

•••该抛物线的函数表达式为：y=-1/+|%+2

(2)解：:y=fcx+3经过点A,

—k+3=0,

fc=3,

直线I：y=3%+3；

设P(t,3t+3),则Q(t,-it2+|t+2),

V抛物线对称轴为：x=--h-=：,且Q点和M点关于对称轴对称,

..・M点横坐标为2x,—t=3—t,

QM=3—t—t=3—2t；

又PQ=3t+3—(——=2^，

2(PQ+QM)=2(-t2-l--1+14-3—2£)=严—t4-8=(t——)4~—,

当t=；时，2(PQ+QM)的值最小，为土

该矩形周长的最小值为

4

(3)解：存在，F(-l,0)或尸(|,第；

由(2)可知,Q©,薮),

••,抛物线的函数表达式为：y=-|x2+|x+2；

日4X(告X2_(}225

*4X(-i)=8，

••・顶点D坐标为(|,日)，

tanz^DQE=|；

又•.,抛物线与y轴交于点c,与X轴交于点A、B,

・•・C(0,2)

令-1%2+|%+2=0,解得：%!=-1,x2=4；

・•・4(-1,0),8(4,0),

・•.OC=2fOB=4,