高考第一轮复习讲义 第33讲 数系的扩充与复数的引入（原卷版+解析版 ）

第33讲数系的扩充与复数的引入学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·全国·高考真题）（

）A． B． C． D．2．（2022·浙江·高考真题）已知（为虚数单位），则（

）A． B． C． D．3．（2022·北京·高考真题）若复数z满足，则（

）A．1 B．5 C．7 D．254．（2022·山东青岛·二模）复数（是虚数单位）的虚部是（

）A．1 B． C．2 D．5．（2021·全国·高考真题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．（2021·全国·高考真题（文））已知，则（

）A． B． C． D．7．（2022·广东茂名·二模）已知复数z在复平面内对应的点为，是z的共轭复数，则（）A． B． C． D．8．（2022·全国·高考真题（理））已知，且，其中a，b为实数，则（

）A． B． C． D．9．（2021·全国·高考真题（理））设，则（

）A． B． C． D．10．（2022·江苏·盐城中学模拟预测）设复数z的模长为1，在复平面对应的点位于第一象限，且满足，则（

）A． B． C． D．11．（多选）（2022·山东潍坊·二模）若复数，，其中是虚数单位，则下列说法正确的是（

）A．B．C．若是纯虚数，那么D．若，在复平面内对应的向量分别为，（O为坐标原点），则12．（多选）（2022·山东泰安·模拟预测）已知复数满足方程，则（

）A．可能为纯虚数 B．该方程共有两个虚根C．可能为 D．该方程的各根之和为213．（多选）（2022·福建省福州第一中学三模）设复数，当a变化时，下列结论正确的是（

）A．恒成立 B．z可能是纯虚数C．可能是实数 D．的最大值为14．（多选）（2022·福建·厦门一中模拟预测）已知复数对应的向量为，复数对应的向量为，则（

）A．若，则B．若，则C．若与在复平面上对应的点关于实轴对称，则D．若，则15．（2022·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为_______．16．（2022·湖南岳阳·模拟预测）已知复数z满足，则_____________17．（2022·江苏·华罗庚中学三模）已知复数，则＝________．18．（2022·浙江省新昌中学模拟预测）若复数z满足，则z的模为____________，虚部为____________．19．（2022·浙江·三模）中国古代数学著作《九章算术》中记载了平方差公式，平方差公式是指两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差.若复数（i为虚数单位），则__________．20．（2022·全国·模拟预测）请写出一个同时满足①；②的复数z，z=______．21．（2022·北京·101中学三模）设m为实数，复数（这里i为虚数单位），若为纯虚数，则的值为______．22．（2022·天津·二模）如果复数z满足，那么的最大值是______．【素养提升】1．（2022·全国·高三专题练习）已知复数对应的点在第二象限，为的共轭复数，有下列关于的四个命题：甲：；

乙：；丙：；

丁：．如果只有一个假命题，则该命题是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁2．（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）若为虚数单位，复数满足，则的最大值为_______.3．（2022·上海市复兴高级中学高三阶段练习）已知，且z是复数，当的最大值为3，则_______.4．（2022·全国·高三专题练习）若非零复数满足，则的值是___________.5．（2022·江苏苏州·模拟预测）任何一个复数（其中a、，i为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数z的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，若，时，则________；对于，________．第33讲数系的扩充与复数的引入学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·全国·高考真题）（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用复数的乘法可求.【详解】，故选：D.2．（2022·浙江·高考真题）已知（为虚数单位），则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用复数相等的条件可求.【详解】，而为实数，故，故选：B.3．（2022·北京·高考真题）若复数z满足，则（

）A．1 B．5 C．7 D．25【答案】B【分析】利用复数四则运算，先求出，再计算复数的模．【详解】由题意有，故．故选：B．4．（2022·山东青岛·二模）复数（是虚数单位）的虚部是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】利用复数的除法法则及复数的概念即可求解.【详解】由题意可知，，所以复数的虚部为.故选：A.5．（2021·全国·高考真题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】利用复数的除法可化简，从而可求对应的点的位置.【详解】，所以该复数对应的点为，该点在第一象限，故选：A.6．（2021·全国·高考真题（文））已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知得，根据复数除法运算法则，即可求解.【详解】，.故选：B.7．（2022·广东茂名·二模）已知复数z在复平面内对应的点为，是z的共轭复数，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出，再由复数的除法运算可得答案.【详解】∵复数z在复平面内对应的点为，∴，，.故选：B．8．（2022·全国·高考真题（理））已知，且，其中a，b为实数，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先算出,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可【详解】由,得,即故选:9．（2021·全国·高考真题（理））设，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数.【详解】设，则，则，所以，，解得，因此，.故选：C.10．（2022·江苏·盐城中学模拟预测）设复数z的模长为1，在复平面对应的点位于第一象限，且满足，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，且，利用得，模长为1得，求出后可得.【详解】设，因为在复平面对应的点位于第一象限，所以，由得，因为复数z的模长为1，所以，解得，所以，.故选：C.11．（多选）（2022·山东潍坊·二模）若复数，，其中是虚数单位，则下列说法正确的是（

）A．B．C．若是纯虚数，那么D．若，在复平面内对应的向量分别为，（O为坐标原点），则【答案】BC【分析】利用复数的运算法则和几何意义即可进行判断.【详解】对于A，，A错误；对于B，∵，∴；又，∴，B正确；对于C，∵为纯虚数，∴，解得：，C正确；对于D，由题意得：，，∴，∴，D错误.故选：BC12．（多选）（2022·山东泰安·模拟预测）已知复数满足方程，则（

）A．可能为纯虚数 B．该方程共有两个虚根C．可能为 D．该方程的各根之和为2【答案】ACD【分析】依题意可得或，即或，从而求出，即可判断；【详解】解：由，得或，即或，解得或，即方程的根分别为、、、，所以故选：ACD.13．（多选）（2022·福建省福州第一中学三模）设复数，当a变化时，下列结论正确的是（

）A．恒成立 B．z可能是纯虚数C．可能是实数 D．的最大值为【答案】ABD【分析】首先根据题意得到，再结合复数的定义和运算性质依次判断选项即可.【详解】，对选项A，，，故A正确.对选项B，，当时，为纯虚数，故B正确.对选项C，令，即无解，故C错误.对选项D，，当且仅当时取等号.所以的最大值为，故D正确.故选：ABD14．（多选）（2022·福建·厦门一中模拟预测）已知复数对应的向量为，复数对应的向量为，则（

）A．若，则B．若，则C．若与在复平面上对应的点关于实轴对称，则D．若，则【答案】ABC【分析】利用向量数量积的运算法则及复数的几何意义即可求解.【详解】因为，所以，则，即，则，故选项正确；因为，所以，即，则，故选项正确；设，因为与在复平面上对应的点关于实轴对称，则，所以，，则，故选项正确；若，满足，而，故选项错误；故选：ABC.15．（2022·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为_______．【答案】【分析】根据复数代数形式的运算法则即可解出．【详解】．故答案为：．16．（2022·湖南岳阳·模拟预测）已知复数z满足，则_____________【答案】4【分析】根据复数的运算公式求出复数的代数形式，再由复数模的公式求.【详解】因为，所以，所以，故答案为：417．（2022·江苏·华罗庚中学三模）已知复数，则＝________．【答案】【分析】根据复数的乘除法与共轭复数的概念求解即可【详解】，故故答案为：18．（2022·浙江省新昌中学模拟预测）若复数z满足，则z的模为____________，虚部为____________．【答案】

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【分析】根据复数的除法运算与模的运算，结合虚部的定义求解即可【详解】由题，，故，虚部为.故答案为：；19．（2022·浙江·三模）中国古代数学著作《九章算术》中记载了平方差公式，平方差公式是指两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差.若复数（i为虚数单位），则__________．【答案】【分析】先要平方差公式，再按照复数的四则运算规则计算即可.【详解】；故答案为：.20．（2022·全国·模拟预测）请写出一个同时满足①；②的复数z，z=______．【答案】【分析】设，根据模长公式得出，进而得出.【详解】设，由条件①可以得到，两边平方化简可得，故，；故答案为：21．（2022·北京·101中学三模）设m为实数，复数（这里i为虚数单位），若为纯虚数，则的值为______．【答案】【分析】先根据为纯虚数计算出的值，再计算，最后计算的值【详解】，为纯虚数故答案为：22．（2022·天津·二模）如果复数z满足，那么的最大值是______．【答案】2【分析】根据复数的几何意义表示，两点间距离，结合图形理解运算．【详解】设复数z在复平面中对应的点为∵，则点到点的距离为2，即点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆表示点到点的距离，结合图形可得故答案为：．【素养提升】1．（2022·全国·高三专题练习）已知复数对应的点在第二象限，为的共轭复数，有下列关于的四个命题：甲：；

乙：；丙：；

丁：．如果只有一个假命题，则该命题是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】B【分析】设，根据复数所在象限、复数加法、减法、乘法和除法，结合“只有一个假命题”进行分析，由此确定正确选项.【详解】设，由于对应点在第二象限，所以，，，，.甲，乙，丙，丁，由于“只有一个假命题”，所以乙是假命题，的值应为.故选：B2．（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）若为虚数单位，复数满足，则的最大值为_______.【答案】【分析】利用复数的几何意义知复数对应的点到点的距离满足，表示复数对应的点到点的距离，数形结合可求得结果.【详解】复数满足，即即复数对应的点到点的距离满足设，表示复数对应的点到点的距离数形结合可知的最大值故答案为：3．（2022·上海市复兴高级中学高三阶段练习）已知，且z是复数，当的最大值为3，则_______.【答案】【分析】由可知，，化简可得其最值为，进而求出的值.【详解】设，因为，所以，，所以，因为，所以，因为，所以，所以，解得，，故答案为：.4．（2022·全国·高三专题练习）若非零复数满足，则的值是___________.【答案】【分析】由题设有、易得，