高中专题复习及考试要求 第七章 立体几何与空间向量 第1节　空间几何体的结构、三视图和直观图

第1节空间几何体的结构、三视图和直观图考试要求1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图；3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.知

识

梳

理1.空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相_______且_______多边形互相_______且_______侧棱______________相交于_______，但不一定相等延长线交于_______侧面形状___________________________________平行全等平行相似平行且相等一点一点平行四边形三角形梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，_________于底面相交于_______延长线交于_______

轴截面_____________________________________侧面展开图_____________________

一点一点矩形等腰三角形等腰梯形圆矩形扇形扇环垂直2.直观图空间几何体的直观图常用___________画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为______________，z′轴与x′轴、y′轴所在平面_______.(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别__________坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度_______，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的_______.斜二测45°(或135°)垂直平行于不变一半3.三视图(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的_______方、正左方、_______方观察几何体画出的轮廓线.(2)三视图的画法①基本要求：长对正，___________，宽相等.②在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线.正前正上高平齐[常用结论与微点提醒]1.常见旋转体的三视图 (1)球的三视图都是半径相等的圆. (2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形. (3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形. (4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形.2.在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”.在三视图的判断与识别中要特别注意其中的虚线.诊

断

自

测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.(

)(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.(

)(3)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.(

)(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同.(

)解析(1)反例：由两个平行六面体上下组合在一起的图形满足条件，但不是棱柱.(2)反例：如图所示的图形满足条件但不是棱锥.(3)用斜二测画法画水平放置的∠A时，把x，y轴画成相交成45°或135°，平行于x轴的线段还平行于x轴，平行于y轴的线段还平行于y轴，所以∠A可能为45°也可能为135°.(4)球的三视图均相同，而圆锥的正视图和侧视图相同，且为等腰三角形，

其俯视图为圆心和圆，正方体的三视图不一定相同.答案(1)×

(2)×

(3)×

(4)×2.(新教材必修第二册P112T5改编)一个菱形的边长为4cm，一内角为60°，用斜二测画法画出的这个菱形的直观图的面积为(

)答案B3.(老教材必修2P10B组T1改编)如图，长方体ABCD－A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′.剩下的几何体是(

)A.棱台

B.四棱柱C.五棱柱

D.六棱柱解析由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱.答案

C4.(2020·衡水中学联考)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈、长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少？”已知该楔体的正视图和俯视图如图中粗实线所示，则该楔体的侧视图的周长为(

)答案C5.(2019·济宁一中月考)如图为某个几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为(

)A.圆锥 B.三棱椎C.三棱柱

D.三棱台解析三由视图可知，该几何体是一个横放的三棱柱，故选C.答案C6.(2018·全国Ⅲ卷)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(

)解析由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选A.答案

A考点一空间几何体的结构特征【例1】(1)给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是(

)A.0 B.1 C.2 D.3解析

(1)①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.(2)(多选题)下列说法正确的是(

)A.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形B.在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱C.存在每个面都是直角三角形的四面体D.棱台的侧棱延长后交于一点(2)A不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；B正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；C正确，如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形；D正确，由棱台的概念可知.答案

(1)A

(2)BCD规律方法1.关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例.2.圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系.3.既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略.【训练1】

下列命题正确的是(

)A.两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台B.两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C.以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台D.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形解析如图所示，可排除A，B选项.只有截面与圆柱的母线平行或垂直时，截得的截面才为矩形或圆，否则为椭圆或椭圆的一部分.答案C考点二空间几何体的三视图

多维探究角度1由几何体的直观图判断三视图答案B规律方法由直观图确定三视图，一要根据三视图的含义及画法和摆放规则确认.二要熟悉常见几何体的三视图.角度2由三视图判断几何体【例2－2】

(2018·全国Ⅰ卷)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在侧视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为(

)答案B规律方法由三视图还原到直观图的思路(1)根据俯视图确定几何体的底面.(2)根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置.(3)确定几何体的直观图形状.【训练2】(1)(角度1)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为(

)解析(1)如图所示，过点A，E，C1的截面为AEC1F，则剩余几何体的侧视图为选项C中的图形.连接MN，则M到N的路径中，最短路径的长度为MN，在△OMN中，由余弦定理得答案(1)C

(2)D考点三空间几何体的直观图【例3】

已知正三角形ABC的边长为