matlab在科学计算中的应用第4章 线性代数问题求解

第四章线性代数问题求解矩阵线性方程组的直接解法线性方程组的迭代法线性方程组的符号解法稀疏矩阵技术特征值与特征向量14.1矩阵

特殊矩阵的输入数值矩阵的输入零矩阵、幺矩阵及单位矩阵生成n

n方阵：A=zeros(n),B=ones(n),C=eye(n)生成m

n矩阵：A=zeros(m,n),B=ones(m,n),C=eye(m,n)生成和矩阵B同样位数的矩阵：A=zeros(size(B))2随机元素矩阵假设矩阵随机元素满足[0,1]区间上的均匀分布生成nm阶标准均匀分布伪随机数矩阵：A=rand(n,m)生成nn阶标准均匀分布伪随机数方阵：A=rand(n)3对角元素矩阵向量生成对角矩阵：A=diag(V)矩阵提取对角元素列向量：V＝diag(A)生成主对角线上第k条对角线为V的矩阵：A=diag(V,k)4例：diag()函数的不同调用格式>>C=[123];V=diag(C)%生成对角矩阵V=100020003>>V1=diag(V)'%将列向量通过转置变换成行向量V1=123>>C=[123];V=diag(C,2)%主对角线上第k条对角线为C的矩阵V=00100000200000300000000005生成三对角矩阵:>>V=diag([1234])+diag([234],1)+diag([543],-1)V=12005230043400346Hilbert矩阵及逆Hilbert矩阵

生成n阶的Hilbert矩阵：

A=hilb(n)

求取逆Hilbert矩阵：B=invhilb(n)7Hankel(汉克)矩阵

其中：第一列的各个元素定义为C向量，最后一行各个元素定义为R。H为对称阵。

H1=hankel(C)由Hankel矩阵反对角线上元素相等得出一下三角阵均为零的Hankel矩阵8Vandermonde(范德蒙)矩阵

9伴随矩阵其中：P(s)为首项系数为1的多项式。

10例：考虑一个多项式2*x^4+4*x^2+5*x+6，试写出该多项式的伴随矩阵。>>P=[20456];A=compan(P)A=0-2.0000-2.5000-3.00001.000000001.000000001.0000011符号矩阵的输入数值矩阵A转换成符号矩阵：

B=sym(A)例：>>A=hilb(3)A=1.00000.50000.33330.50000.33330.25000.33330.25000.2000>>B=sym(A)B=[1,1/2,1/3][1/2,1/3,1/4][1/3,1/4,1/5]124.1.2矩阵根本概念与性质行列式格式：d=det(A)例：求行列式>>A=[162313;511108;97612;414151];det(A)ans=013例：>>tic,A=sym(hilb(20));det(A),tocans=elapsed_time=2.3140高阶的Hilbert矩阵是接近奇异的矩阵。14矩阵的迹格式：t=trace(A)矩阵的秩格式：r=rank(A)％用默认的精度求数值秩r=rank(A，)％给定精度下求数值秩矩阵的秩也表示该矩阵中行列式不等于0的子式的最大阶次。可证行秩和列秩〔线性无关的〕应相等。15例>>A=[162313;511108;97612;414151];rank(A)ans=3该矩阵的秩为3，小于矩阵的阶次，故为非满秩矩阵。例>>H=hilb(20);rank(H)％数值方法ans=13>>H=sym(hilb(20));rank(H)%解析方法，原矩阵为非奇异矩阵ans=2016矩阵范数17矩阵的范数定义：格式：

N=norm(A)％求解默认的2范数N=norm(A，选项)％选项可为1,2,inf等18例：求一向量、矩阵的范数>>a=[162313];>>[norm(a),norm(a,2),norm(a,1),norm(a,Inf)]ans=2.092844953645635e+0012.092844953645635e+0013.400000000000000e+0011.600000000000000e+001>>A=[162313;511108;97612;414151];>>[norm(A),norm(A,2),norm(A,1),norm(A,Inf)]ans=34343434符号运算工具箱未提供norm()函数，需先用double()函数转换成双精度数值矩阵，再调用norm()函数。19特征多项式格式：C=poly(A)例：>>A=[162313;511108;97612;414151];>>poly(A)％直接求取ans=1.000000000000000e+000-3.399999999999999e+001>>A=sym(A);poly(A)％运用符号工具箱ans=x^4-34*x^3-80*x^2+2720*x20矩阵多项式的求解21符号多项式与数值多项式的转换格式：

f=poly2sym(P)或f=poly2sym(P,x)

格式：P=sym2poly(f)22例：>>P=[123456];%先由系数按降幂顺序排列表示多项式>>f=poly2sym(P,'v')%以v为算子表示多项式f=v^5+2*v^4+3*v^3+4*v^2+5*v+6>>P=sym2poly(f)P=12345623矩阵的逆矩阵格式：C=inv(A)例：>>formatlong;H=hilb(4);H1=inv(H)H1=1.0e+003*24检验：>>H*H1ans=1.000000000000010.00000000000023-0.000000000000450.000000000000230.000000000000011.00000000000011-0.000000000000110.000000000000110.0000000000000101.0000000000001100.000000000000000.00000000000011-0.000000000000111.00000000000011计算误差范数：>>norm(H*inv(H)-eye(size(H)))ans=6.235798190375727e-013>>H2=invhilb(4);norm(H*H2-eye(size(H)))ans=5.684341886080802e-01425>>H=hilb(10);H1=inv(H);norm(H*H1-eye(size(H)))ans=0.00264500826202>>H2=invhilb(10);norm(H*H2-eye(size(H)))ans=>>H=hilb(13);H1=inv(H);norm(H*H1-eye(size(H)))Warning:Matrixisclosetosingularorbadlyscaled.Resultsmaybeinaccurate.RCOND=2.339949e-018.ans=

53.23696008570294>>H2=invhilb(13);norm(H*H2-eye(size(H)))ans=

11.37062973181391对接近于奇异矩阵，高阶一般不建议用inv()，可用符号工具箱。26>>H=sym(hilb(7));inv(H)ans=[49,-1176,8820,-29400,48510,-38808,12021][-1176,37632,-317520,1128960,-1940400,1596672,-504504][8820,-317520,2857680,-10584000,18711000,-15717240,5045040][-29400,1128960,-10584000,40320000,-72765000,62092800,-20210160][48510,-1940400,18711000,-72765000,133402500,-115259760,37837800][-38808,1596672,-15717240,62092800,-115259760,100590336,-33297264][12021,-504504,5045040,-20210160,37837800,-33297264,11099088]>>H=sym(hilb(30));norm(double(H*inv(H)-eye(size(H))))ans=027例：奇异阵求逆>>A=[162313;511108;97612;414151];>>formatlong;B=inv(A)Warning:Matrixisclosetosingularorbadlyscaled.Resultsmaybeinaccurate.RCOND=1.306145e-017.B=1.0e+014*>>norm(A*B-eye(size(A)))％检验ans=1.64081513306419>>A=sym(A);inv(A)％奇异矩阵不存在一个相应的逆矩阵，用符号工具箱的函数也不行???Errorusing==>sym/invError,(ininverse)singularmatrix28同样适用于含有变量的矩阵求逆。例：>>symsa1a2a3a4;>>C=[a1a2;a3a4]；>>inv(C)

ans=

[-a4/(-a1*a4+a2*a3),a2/(-a1*a4+a2*a3)][a3/(-a1*a4+a2*a3),-a1/(-a1*a4+a2*a3)]29矩阵的相似变换与正交矩阵

其中：A为一方阵，B矩阵非奇异。相似变换后，X矩阵的秩、迹、行列式与特征值等均不发生变化，其值与A矩阵完全一致。对于一类特殊的相似变换满足如下条件，称为正交基矩阵。30例：>>A=[5,9,8,3;0,3,2,4;2,3,5,9;3,4,5,8];>>Q=orth(A)Q=-0.61970.7738-0.0262-0.1286-0.2548-0.15510.94900.1017-0.5198-0.5298-0.1563-0.6517-0.5300-0.3106-0.27250.7406>>norm(Q'*Q-eye(4))ans=4.6395e-016>>norm(Q*Q'-eye(4))ans=4.9270e-01631>>C=Q'*A*QC=17.92516.4627-4.4714-2.0354-0.02821.71944.6816-5.07350.6800-0.93861.06740.6631-0.05490.36580.17760.2882>>det(A),det(C)ans=120ans=120.000032>>trace(A),trace(C)ans=21ans=21.0000>>rank(A),rank(C)ans=4ans=433>>eig(A),eig(C)ans=17.82051.1908+2.6499i1.1908-2.6499i0.7979ans=17.82051.1908+2.6499i1.1908-2.6499i0.7979

34例：>>A=[16,2,3,13;5,11,10,8;9,7,6,12;4,14,15,1];>>Q=orth(A)％A为奇异矩阵，故得出的Q为长方形矩阵Q=-0.50000.67080.5000-0.5000-0.2236-0.5000-0.50000.2236-0.5000-0.5000-0.67080.5000>>norm(Q'*Q-eye(3))%Q*Q‘=~Ians=1.0140e-015354.2线性方程组直接解法

线性方程组直接求解－矩阵除法关于线性方程组的直接解法，如Gauss消去法、选主元消去法、平方根法、追赶法等等，在MATLAB中，只需用“／〞或“\〞就解决问题。它内部实际包含着许许多多的自适应算法，如对超定方程用最小二乘法，对欠定方程时它将给出范数最小的一个解，解三对角阵方程组时用追赶法等等。格式：x=A\b36例：解方程组>>A=[.4096,.1234,.3678,.2943;.2246,.3872,.4015,.1129;.3645,.1920,.3781,.0643;.1784,.4002,.2786,.3927];>>b=[0.40430.15500.4240-0.2557]';>>x=A\b;x'ans=-0.1819-1.66302.2172-0.446737线性方程组直接求解－判定求解3839例：>>A=[1234;4321;1324;4132];B=[51;42;33;24];>>C=[AB];rank(A),rank(C)ans=4ans=4>>x=inv(A)*B%A\B

x=-1.80002.40001.8667-1.26673.8667-3.2667-2.13332.733340检验>>norm(A*x-B)ans=7.4738e-015精确解>>x1=inv(sym(A))*Bx1=[-9/5,12/5][28/15,-19/15][58/15,-49/15][-32/15,41/15]检验>>norm(double(A*x1-B))ans=041原方程组对应的齐次方程组的解求取A矩阵的化零矩阵：格式：Z=null(A)求取A矩阵的化零矩阵的标准形式：格式：Z=null(A,‘r’)null是用来求齐次线性方程组的根底解系的，加上'r'那么求出的是一组最小正整数解，如果不加，那么求出的是解空间的标准正交基。42例：判断可解性>>A=[1234;2211;2468;4422];B=[1;3;2;6];>>C=[AB];[rank(A),rank(C)]ans=22>>Z=null(A,'r')%解出标准化的化零空间Z=2.00003.0000-2.5000-3.5000％1.0000001.000043>>x0=pinv(A)*B%得出一个特解x0=0.95420.7328%全部解-0.0763-0.2977验证得出的解>>a1=randn(1);a2=rand(1);%取不同分布的随机数>>x=a1*Z(:,1)+a2*Z(:,2)+x0;norm(A*x-B)ans=4.4409e-01544解析解>>Z=null(sym(A))Z=[2,3][-5/2,-7/2][1,0][0,1]>>x0=sym(pinv(A)*B)x0=[125/131][96/131][-10/131]％[-39/131]45验证得出的解>>a1=randn(1);a2=rand(1);%取不同分布的随机数>>x=a1*Z(:,1)+a2*Z(:,2)+x0;norm(double(A*x-B))ans=0通解>>symsa1a2;>>x=a1*Z(:,1)+a2*Z(:,2)+x0x=[2*a1+3*a2+125/131][-5/2*a1-7/2*a2+96/131][a1-10/131][a2-39/131]46摩尔－彭罗斯广义逆求解出的方程最小二乘解不满足原始代数方程。474.2.3线性方程组的直接求解分析LU分解

484950格式

[l,u,p]=lu(A)

L是一个单位下三角矩阵，u是一个上三角矩阵，p是代表选主元的置换矩阵。故：Ax=y=>PAx=Py=>LUx=Py=>PA=LU

[l,u]=lu(A)其中l等于P-1L，u等于U，所以(P-1L)U=A51例：对A进行LU分解>>A=[123;241;467];>>[l,u,p]=lu(A)l=1.0000000.50001.000000.25000.50001.0000u=4.00006.00007.000001.0000-2.5000002.5000p=00101010052>>[l,u]=lu(A)％l＝P-1Ll=0.25000.50001.00000.50001.000001.000000u=4.00006.00007.000001.0000-2.5000002.500053QR分解

将矩阵A分解成一个正交矩阵与一个上三角矩阵的乘积。求得正交矩阵Q和上三角阵R，Q和R满足A=QR。

格式：

[Q,R]=qr(A)54例：>>A=[123;456;789;101112];>>[Q,R]=qr(A)Q=-0.0776-0.83310.5456-0.0478-0.3105-0.4512-0.69190.4704-0.5433-0.0694-0.2531-0.7975-0.77620.31240.39940.3748R=-12.8841-14.5916-16.29920-1.0413-2.082600-0.000000055Cholesky(乔里斯基)分解假设矩阵A为n阶对称正定阵,那么存在唯一的对角元素为正的三角阵D，使得

56格式：

D=chol(A)57例：进行Cholesky分解。>>A=[1648;45-4;8-422];>>D=chol(A)D=41202-300358利用矩阵的LU、QR和cholesky分解求方程组的解

〔1〕LU分解：A*X=b变成L*U*X=b所以X=U\(L\b)这样可以大大提高运算速度。例：求方程组的一个特解。解：>>A=[42-1;3-12;1130];>>B=[2108]';>>D=det(A)D=059>>[L,U]=lu(A)L=0.3636-0.50001.00000.27271.000001.000000U=11.00003.000000-1.81822.0000000.000060>>X=U\(L\B)Warning:Matrixisclosetosingularorbadlyscaled.Resultsmaybeinaccurate.RCOND=2.018587e-017.X=1.0e+016*%结果中的警告是由于系数行列式为零产生的。-0.4053%可以通过A*X验证其正确性。

1.48621.3511>>A*X%Matlab7.0显示没有解ans=08861〔2〕Cholesky分解假设A为对称正定矩阵，那么Cholesky分解可将矩阵A分解成上三角矩阵和其转置的乘积，方程A*X=b变成R’*R*X=b所以X=R\(R’\b)〔3〕QR分解对于任何长方矩阵A，都可以进行QR分解，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵的初等变换形式，即：A=QR方程A*X=b变形成QRX=b所以X=R\(Q\b)

这三种分解，在求解大型方程组时很有用。其优点是运算速度快、可以节省磁盘空间、节省内存。62三个变换在线性方程组的迭代求解中，要用到系数矩阵A的上三角矩阵、对角阵和下三角矩阵。此三个变换在MATLAB中可由以下函数实现。上三角变换：格式triu(A,1)对角变换：格式diag(A)下三角变换：格式tril(A,-1)例：对此矩阵做三种变换。63>>A=[12-2;111;221];％>>triu(A,1)ans=02-2001000>>tril(A,-1)ans=000100220>>b=diag(A);b'ans=111644.4线性方程组的符号解法在MATLAB的SymbolicToolbox中提供了线性方程的符号求解函数，如

linsolve(A,b)等同于X=sym(A)\sym(b).

solve('eqn1','eqn2',...,'eqnN','var1,var2,...,varN')65例：>>A=sym('[10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10]')；>>b=('[9;7;6]')；>>linsolve(A,b)ans=[473/475][91/95][376/475]>>vpa(ans)ans=66例：>>[x,y]=solve('x^2+x*y+y=3','x^2-4*x+3=0','x','y')

x=[1][3]

y=[1][-3/2]

674.5稀疏矩阵技术稀疏矩阵的建立：格式S=sparse(i,j,s,m,n)生成一mxn阶的稀疏矩阵，以向量i和j为坐标的位置上对应元素值为s。例：>>n=5;a1=sparse(1:n,1:n,4*ones(1,n),n,n)a1=(1,1)4(2,2)4(3,3)4(4,4)4(5,5)468例：>>a2=sparse(2:n,1:n-1,ones(1,n-1),n,n)a2=(2,1)1(3,2)1(4,3)1(5,4)1>>full(a2)ans=000001000001000001000001069例：n=5,建立主对角线上元素为4，两条次对角线为1的三对角阵。>>n=5;a1=sparse(1:n,1:n,4*ones(1,n),n,n);>>a2=sparse(2:n,1:n-1,ones(1,n-1),n,n);>>a=a1+a2+a2'a=(1,1)4(2,1)1(1,2)1(2,2)4(3,2)1(2,3)1(3,3)4(4,3)170(3,4)1(4,4)4(5,4)1(4,5)1(5,5)4>>full(a)ans=410001410001410001410001471格式A=spdiags(B,d,m,n)生成一mxn阶的稀疏矩阵，使得B的列放在由d指定的位置。例：>>n=5>>b=spdiags([ones(n,1),4*ones(n,1),ones(n,1)],…[-1,0,1],n,n);>>full(b)ans=410001410001410001410001472格式：spconvert(dd)对于无规律的稀疏矩阵，可使用此命令由外部数据转化为稀疏矩阵。调用形式为：先用load函数加载以行表示对应位置和元素值的.dat文本文件，再用此命令转化为稀疏矩阵。例：无规律稀疏矩阵的建立。首先编制文本文件sp.dat如下：515.00358.00442.0055073>>loadsp.dat>>spconvert(sp)ans=(5,1)5(4,4)2(3,5)8>>full(ans)ans=000000000000008000205000074稀疏矩阵的计算：同满矩阵比较，稀疏矩阵在算法上有很大的不同。具体表现在存储空间减少，计算时间减少。例：比较求解下面方程组n＝1000时两种方法的差异。75>>n=1000;>>a1=sparse(1:n,1:n,4*ones(1,n),n,n);>>a2=sparse(2:n,1:n-1,ones(1,n-1),n,n);>>a=a1+a2+a2';>>b=ones(1000,1);>>tic;x=a\b;t1=toct1=0.4800>>a=full(a);>>tic;x=a\b;t2=toct2=1.3220764.6矩阵的特征值问题

一般矩阵的特征值与特征向量格式：d=eig(A)只求解特征值。格式：[V,D]=eig(A)求解特征值和特征向量。77例：直接求解：>>A=[162313;511108;97612;414151];>>eig(A)ans=34.00008.9443-8.94430.000078精确解：>>eig(sym(A))ans=[0][34][4*5^(1/2)][-4*5^(1/2)]高精度数值解：>>vpa(ans,70)ans=[0][34.]2897083588981642084]79同时求出特征值与特征向量：直接求解：>>[v,d]=eig(A)v=-0.5000-0.82360.3764-0.2236-0.50000.42360.0236-0.6708-0.50000.02360.42360.6708-0.50000.3764-0.82360.2236d=

34.00000000