湖北省孝感市寰城高级中学2021-2022学年高二数学理模拟试卷含解析

湖北省孝感市寰城高级中学2021-2022学年高二数学理

模拟试卷含解析

一、选择题：本大题共1()小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

—•—•—•—•—3—2

1.已知向量a=(3,-2),b=(x,丫-1)且8〃比若X,y均为正数，则x+y的最小值

是()

_8”

A.24B.8C.3D.3

参考答案:

【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示；基本不等式.

卒

【分析】根据向量共线定理列出方程，得出2x+3y=3,再求xy的最小值即可.

【解答】解：

-2x-3(y-1)=0,

化简得2x+3y=3,

3_¥23_21_

Xy=(X+y)X3(2x+3y)

19y4x119y.4x

=3(6+x+y+6)>3(12+2Vxy)=8,

3

当且仅当2x=3y=2时，等号成立；

Axy的最小值是8.

故选：B.

n4+n2

1+2+3+--+n2=

2.用数学归纳法证明2,则当"=上+1时左端应在"=上的基础上

()

A.增加一项B.增加2t项

C.增加2际项D.增加2无+1项

参考答案：

D

【分析】

明确从“=上变为”=*+1时，等式左端的变化，利用末尾数字作差即可得到增加的项数.

【详解】当n=*时，等式左端为：1+2+3+…+F

当n=**l时，等式左端为：1+2+3+…+必+但+1）+仔+2>-+（无+1）2

v（fc+l）-*^=2*:+1二需增加2比+1项

本题正确选项：D

【点睛】本题考查数学归纳法的基础知识，关键是明确等式左端的数字变化规律.

3.下列推理过程属于演绎推理的为（）

A.老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，某医药先在猴子身上试验，试验成

功后再用于人体试验

B.由1=产1+3=2，,1+3+5=*3‘，…得出1+3+5+-"-+（2M-1）=MJ

C.由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线（四面体每一个顶点与对

面重心的连线）交于一点

D.通项公式形如勺=明飞"0）的数列为等比数列，则数列｛-及为等比数列

参考答案：

D

略

4.已知命题尸：叮€他”），3I-CDSX>0,则下列叙述正确的是（）

A.-p：Vxe（O,^3T-CDSX<0B.〜二太白。,”），

3T—CDSX<0

c-p:3rG(-®,0]3*-aisx40D.〜是假命题

参考答案：

D

因为全称命题的否定为特称命题，

所以命题P：Vx6(0.+<»),Jx.cosx>0>的否定P3X€(0.+8),?x.cosx<0.

当X・C是，3X7,而•I-COSX-1.

所以3'-cosx>0.

故命题p是真命题，即,。是假命题.

故选D.

5.已知°步是实数，则“a>0且力>0”是“。+8>0且。8>0”的

()A.充分而不必要条

件B.必要而不充分条件C.充分

必要条件D.既不充分也

不必要条件

参考答案:

C

略

6.已知集合AHxX-4x*3<0},B={x|2<x<4],则)

A.(l,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)

参考答案：

C

试题分析：由题意可得：集合”=31<"<3},所以dcB={H2<r<3},故选择c

考点：集合的运算

丁⑶二下号

7.函数V2的定义域为()

伉口

A.(2，+°°)B.位⑵C.(一8,2)D.\2>

参考答案:

8.若幺（3，1），8（-2次）,。（8,11）三点在同一条直线上，则卜的值

是（）

A、-6B、-7

D、-9

参考答案:

9.若双曲线的顶点为椭圆2长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离

心率的积为1,则双曲线的方程是（）

22G

A.x-yB.T-x=1C.一丁=2

.J--=2

参考答案：

D

略

10.在aABC中，工3=招，＜C=l,8=30・，则4ABC的面积等于（）

迫迫

（A）T（B）~

乖迫迫

（c）”-或后⑻彳或彳

参考答案：

D

略

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.若命题“存在实数"e[L2],使得小+7+3-6v0”是假命题，则实数m的取值为

参考答案：

(-«),«+4]

【分析】

根据命题与特称命题的否定真假不一致原则，可转化为求m的最值；根据导数判断单调

性，进而求得m的取值范围。

【详解】因为命题“存在实数*06口,2],使得6乂+*2+3-01〈0”是假命题

所以命题的否定形式为“对于任意实数xoW[l,2],使得ex+x2+3-m>0”恒成立是真命题

由ex+x2+3-mNO可得EM/+7+3在[1,2]上恒成立

设/'8=，+<+3

f,8=e"+2x在“⑵上大于0恒成立，

所以‘8="+<+3在口,2]为单调递增函数

所以，3修=/lCD=«+l+3=e+4

所以

即m的取值范围为(川，0+4]

【点睛】本题考查了特称命题的否定形式和恒成立问题，导数在研究最值问题中的应用，

属于中档题。

12.设曲线Cf=五520),直线犷=°及直线x=£G>。)围成的封闭图形的面积为

S3,则S©)=▲

参考答案：

我

RRC：E+^=1

13.已知内、与是椭圆Mb1(a>9>0)的两个焦点，p为椭圆c上一点，且

产片j_PF2.若AF瓦居的面积为9,则b=.

参考答案:

3

略

22

14.若双曲线f一萨-的左、右焦点分别为F„F2）线段FE被抛物线必=2X

的焦点分成5:3两段,则此双曲线的离心率为一

参考答案：

2拒

~Y~

15.若1为一条直线，a,B,丫为三个互不重合的平面，给出下面四个命题：

①aJ_Y，BJ_y,则a_LB；②aJLy,B〃Y，则aJ,B；（3）1/7a,1±p,则

a±0.④若1〃a,贝Ij］平行于a内的所有直线.其中正确命题的序号是—.（把

你认为正确命题的序号都填上）

参考答案：

②③

【考点】四种命题的真假关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位

置关系.

【分析】若a_LY,B_LY,则a与B可能平行与可能相交，可判断①的正误；

由两个平行的平面与第三个平面的夹角相同，可判断②的正误；

根据面面垂直的判断定理，我们判断③的正误；

若l〃a,则1与a内的直线平行或异面，可判断④的正误；

逐一分析后，即可得到正确的答案.

【解答】解：①中，若a,丫，BJ.Y，则a与B可能平行与可能相交，故①错误；

②中，若al.Y，B〃Y，则aJ.B,故②正确；

③中，若l〃a,则a中存在直线a平行1,即a±3,由线面垂直的判定定

理，得则a±3,故③正确；

④中，若l〃a,则1与a内的直线平行或异面，故④的错误；

故答案：②③

16.等差数列瓜｝的前n项和为S“，若Ss-S产3,则S产.

参考答案：

27

【考点】等差数列的前n项和.

［分析】由数列性质得a5=S5-S,F3,由等差数列的通项公式及前n项和公式得

(a+a)

S9=7l9=9a5,由此能求出结果.

【解答】解：•••等差数列｛4,｝的前n项和为S„,

,**Ss-Si—3,•e•35=SS-S1-3»

...S9=5(ai+a9)=9a5=27.

故答案为：27.

_±旦

17.过点(2圾,6)的双曲线C的渐近线方程为“一一2''F为双曲线C右支上一点，F

为双曲线C的左焦点，点他3),则网+\PF\的最小值为

参考答案：

8

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.设函数g(x)=x"-2x+l+mlnx,(mGR).

(1)当m=l时，求函数y=g(x)在点(1,0)处的切线方程；

(2)当m=-12时，求f(x)的极小值；

1

(3)若函数y=g(x)在xG(4,+8)上的两个不同的数a,b(a<b)处取得极值，记

｛x｝表示大于x的最小整数，求｛g(a)｝-｛g(b)｝的值(1112—0.6931,

ln3^1.0986).

参考答案：

【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程.

【分析】(1)把m=l代入函数解析式，求得导函数，得到切线的斜率，则切线方程可

求；

(2)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的

极小值即可；

(3)根据函数的单调性得到函数y=g(x)在xe(W,+8)上有两个极值点的m的范

围，由a,b为方程2xJ2x+m=0的两相异正根，及根与系数关系，得到a,b的范围，把

m用a(或b)表示，得到g(a)(或g(b)),求导得到g(b)的取值范围，进一步求

得{g(a)}(或{g(b)}),则答案可求.

【解答】解：(1)函数y=g(x)=x"2x+l+mlnx,g'(x)=2x-2+7,k=g*(1)=1,

则切线方程为y=x-1,

故所求切线方程为x-y-1=0；

(2)m=-12H'f,g(x)=)=x2-2x+l-121nx,(x>0),

122(x-3)(x+2)

g'(x)=2x-2-x=x,

令"(x)>0,解得：x>3,令屋(x)<0,解得：0<xV3,

故g(x)在(0,3)递减，在(3,+8)递增，

故g(x)极小值二g(3)=4-121n3；

(3)函数y=g(x)的定义域为(0,+8),

in2J-2x+m

g'(x)=2x-2+x=x,

令g'(x)=0并结合定义域得2x2-2x+m>0.

1

①当△★(),即时，g'(x)20,则函数g(x)的增区间为(0,+8)；

11-V1-2in

②当△>()且m>0,即0Vm<5时，函数g(x)的增区间为(0,2),

1+V1-2m

(2,+8).

1+V1-2m

③当△>（）且mWO,即m<0时，函数g（x）的增区间为（2,+8）.

1_1211

故得0<m<2时，a,b为方程2x?-2x+m=0的两相异正根，2Vb<4,4<a<2,

又由2b2-2b+m=0,得m=-2b2+2b,

13,

/.g(b)=b2-2b+l+mlnb=b2-2b+l+(-2b2+2b)Inb,beC2,W),

1_

g'(b)=2b-2+(-4b+2)lnb+2-2b=-4(b-E)Inb,

1_31_3

当beC2.,W)时，gz(b)>0,即函数g(b)是(E,7)上的增函数.

1-6吟

1-21n2

故g（b）的取值范围是（一厂16),则{g(b)}=0.

1-21n29-121n2

同理可求得g（a）的取值范围是（―4—,—16一）则{g(a)}=0或{g

(a)}=1.

{g(a)}-{g(b)}=0或1.

19.（本小题14分）已知定义在［-1,1］上的奇函数J。）,当代。1】时,

2*

/W=——

4"+1.

（I）试用函数单调性定义证明：/（X）在（°，1］上是减函数;

（H）若">工/3）+/（1-34>0,求实数a的取值范围；

（III）要使方程/（x）=x+，在［-1,1］上恒有实数解，求实数人的取值范围.

参考答案：

解：（I）.证：任设°<再<今<1,则

"演）-"々）=4,+i一斗+广（4即+1）（4*+1）.vO<^<x2<1

（4西+1）（4"+1）,即

.•.73）在（0,1］上是减函数.........4分

（II）由/⑷+/。-3点）>0得：/（“）>-川-3a）

•••/⑶是奇函数../（a）>/（3a-1）

•：a>-3a-1>0,

y（x）在（o,i］递减

0<a<1

0<3a-l<l

a<3a-1

（ill）记g3=/（©T,则g（©为（°J上的单调递减函数.

.g(x)e[g6,g(0))=g(x)H-j,；)

•.•却力在[-1,1]上为奇函数，.•.当xehl，°）时

又g0=0,

3333

SJ

55」，即5514分

略

20.某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人.为调查该校学生每周

平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间

的样本数据（单位：小时）.

（1）应收集多少位女生的样本数据？

（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图

所示），其中样本数据的分组区间为：[0,2],（2,4],（4,6],（6,8],（8,10],

（10,12].估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率.

（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均

体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运

动时间与性别有关”.

P(K2>ko)0.100.050.0100.005

ko2.7063.8416.6357.879

n(ad-be)2

附：K?=(a+bXc+dXa+cXb+d)

频率

o.isotJDe,_.

■日十

0.075L——4—LJ_

0.025

024681012时间(小时)

参考答案：

【考点】独立性检验.

【分析】(I)根据频率分布直方图进行求解即可.

(2)由频率分布直方图先求出对应的频率，即可估计对应的概率.

(3)利用独立性检验进行求解即可

4500

【解答】解：(1)300x15000=90,所以应收集90位女生的样本数据.

(2)由频率分布直方图得L2x(0.100+0.025)=0.75,

所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.

(3)由(2)知，300位学生中有300x0.75=225人的每周平均体育运动时间超过4小时，

75人的每周平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，

90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时

间与性别列联表

男生女生总计

每周平均体育运动时间453075

不超过4小时

每周平均体育运动时间16560225

超过4小时

总计21090300

300(45X60-165X30)21QQ

结合列联表可算得K2=210X90X75X225=21^4.762>3,841

所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.

21.圆加的圆心在直线>=一匕上，且与直线工+丁=1相切于点/(2,—D,

(I)试求圆M的方程；

(H)从点尸(3,1)发出的光线经直线了反射后可以照在圆初上，试求发出光线所在

直线的斜率取值范围.

参考答案：

is.解：(I)由题意知：过A(2,-1)且与直线工+丁=1垂直的直线方程为：丁=入一3

;圆心在直线：y=—2x上,

(7=-2xjx=l

由tr=x-3=V=-2即河(1,一2),且半径

『=照卜42-1)'+S+2)'=a,二所求圆的方程为：

(r-l)J+O+2),=2...............6分(得到圆心给2分)

(n)圆般关于直线丁二X对称的圆为(x+2y+0-1)2=2,

设发出光线为了_1=灰*_3)

|2^-i-3^+l|J46

化简得嵬由Ji+M得—23,

I版熠

所以发出光线所在直线的斜率取值范围为23'23。............

略

22.某校从高二年级学生中随机抽取100名学生，将他们某次考试的数学成绩(均为整

数)分成六段：［40,50),［50,60),…，［90,100］后得到频率分布直方图(如图所

(2)若用分层抽样的方法从分数在［40,50)和［50,60)的学生中共抽取5人，该5人中

成绩在［40,50)的有几人？

(3)在(2)中抽取的5人中，随机选取2人，求分数在［40,50)和［50,60)各1人的

概率.

参考答案：

3

（1）30；（2）2；（3）5

【分析】

（1）由频率分布直方图先求出分数在［70,80）内的概率，由此能求出分数在［70,80）中

的人数.

（2）分数在［40