+山东省青岛第二十六中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷

2023-2024学年山东省青岛二十六中九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在Rt△ABC中，∠C=90∘，A.5sinα B.5cosα C.2.如图是由一个正方体，在底部截去了一个半圆柱的得到的几何体，则其是左视图是(

)A.

B.

C.

D.3.某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是(

)A.在“石头、剪刀、布”的游戏中，高明辉随机出的是“剪刀”

B.掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6

C.一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上

D.用2、3、4三个数字随机排成一个三位数，排出的数是偶数4.如图，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，DA.(405−40)cm 5.如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O外一点，连接AC交⊙O于点E，连接AB并延长交⊙O于点D，若∠A=35A.110∘

B.120∘

C.120.5∘6.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2,4)，B(4,1)，以原点O为位似中心，将△OAB缩小为原来的A.30 B.158 C.30或−30 D.157.已知函数y=−kx+4与y=kx的图象有两个不同的交点，且A(−12,y1A.y1<y2<y3 B.8.如图，已知AB=8，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP=60∘，M，N分别是对角线AC，BE的中点.当点P

A.2 B.23 C.4 9.二次函数y=ax2+bx+cA.

B.

C.

D.

10.一个由16个完全相同的小立方块搭成的几何体，其最下面一层摆放了9个小立方块，它的主视图和左视图如图所示，那么这个几何体的搭法共有种(

)A.8

B.9

C.10

D.114二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.若xy=23，则代数式x12.已知一元二次方程ax2−x+113.股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停.已知一支股票原价为每股4元，之后两天时间涨到每股4.3元，若这两天此股票股价的平均增长率为x，则可列方程为14.如图，△OAB是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B在反比例函数y=1x15.如图，在△ABC中，AC=AB，∠BAC=90∘，BC=4，点

16.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为直线x=−1，下列结论中：①abc>0；②

三、解答题：本题共10小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题4分)

如图，△ABC中，∠C=90∘，⊙O分别切AB、BC、AC于D18.(本小题8分)

(1)计算：4sin45∘−19.(本小题6分)

如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点C，D.测得CD=80m，∠ACD=90∘，∠BCD=45∘，∠ADC=19∘，20.(本小题6分)

如图，A，B两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是−6，−1，5，转盘B上的数字分别是6，−7，4(两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同).小聪和小明同时转动A，B两个转盘，使之旋转(规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次).

(1)转动转盘，转盘A指针指向正数的概率是______；

(2)若同时转动两个转盘，转盘A指针所指的数字记为a，转盘B21.(本小题6分)

如图，以边长为20cm的正三角形纸板的各顶点为端点，在各边上分别截取4cm长的六条线段，过截得的六个端点作所在边的垂线，形成三个有两个直角的四边形.把它们沿图中虚线剪掉，用剩下的纸板折成一个底为正三角形的无盖柱形盒子，求它的容积.

22.(本小题6分)

如图所示，第一个菱形OBCD的边长为2，∠BOD=60∘，且点D落在y轴上，延长CB交x轴于A，以CA为边作第二个菱形AB1C1C；延长C1B1交x轴于点A1，以C1A1为边作第三个菱形A1B2C2C1⋯，按这样的规律进行下去，若点D、C、23.(本小题6分)

如图，直线y1=−x+4，y2=34x+b都与双曲线y=kx交于点A(1,m)，这两条直线分别与x轴交于B，C两点．

(1)求双曲线y=kx的函数关系式；

24.(本小题8分)

已知：如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90∘，AD//BC，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE25.(本小题10分)

跳绳项目在中考体考中易得分，是大多数学生首选的项目，在中考体考来临前，某文具店看准商机购进甲、乙两种跳绳.已知甲、乙两种跳绳进价单价之和为32元；甲种跳绳每根获利4元，乙种跳绳每根获利5元；店主第一批购买甲种跳绳25根、乙种跳绳30根一共花费885元.

(1)甲、乙两种跳绳的单价分别是多少元？

(2)若该文具店预备第二批购进甲、乙两种跳绳共60根，在费用不超过1000元的情况下，如何进货才能保证利润W最大？

(3)由于质量上乘，前两批跳绳很快售完，店主第三批购进甲、乙两种跳绳若干，当甲、乙两种跳绳保持原有利润时，甲、乙两种跳绳每天分别可以卖出120根和105根，后来店主决定将甲、乙两种跳绳的售价同时提高相同的售价，已知甲、乙两种跳绳每提高26.(本小题12分)

已知：如图，在矩形ABCD中，AB=24cm，BC=16cm，点E为边CD的中点，连接BE，EF⊥BE交AD于点F.点P从点B出发，沿BE方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为3cm/s，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动.设运动时间为t(s)(0<t<8).解答下列问题：

(

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：如图，

∵tanA=BCAC，AC=5，∠A=α，2.【答案】B

【解析】解：从左边看外边是一个矩形，里边是一个矩形，里面矩形的宽用虚线表示，

故选：B.

根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．

3.【答案】B

【解析】解：A.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为13≈0.33≠0.16，故此选项不符合要求；

B.掷一个质地均匀的正方体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率=16≈0.16，故此选项符合要求；

C.掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”的概率=12=0.5>0.16，故此选项不符合要求；

D.用2，3，44.【答案】D

【解析】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点，

∴AC=BD=80×5−12=(5.【答案】A

【解析】解：如图，连接BE、DC，

∵BC是⊙O的直径，

∴∠BEC=90∘.

∵∠A=35∘，

∴∠ABE=90∘−∠A=55∘.

∴∠DBE6.【答案】B

【解析】解：∵以原点O为位似中心，将△OAB缩小为原来的12得到△OA1B1，

而A(2,4)，B(4,1)，

∵A1(−1,−2)，B1(−2,−12)或A1(1,2)，B1(2,12)7.【答案】B

【解析】解：一次函数y=−kx+4与反比例函数y=kx的图象有两个不同的交点，即：−kx+4=kx有解，

∴−kx2+4x−k=0，△=16−4k2>0，k2<4，

∴2k2−9<−1<08.【答案】B

【解析】解：连接DP，连接PF，连接DF，

∵MA=CM，EN=BN，

∴点M在线段PD上，点N在线段PF上，

∵四边形APCD，四边形PBFE是菱形，

∴点M是DP中点，点N是PF中点，

∴MN是△PDF的中位线，

∴MN=12DF，

当DF最小时，MN最小，

DF的最小值为DF垂直BF时，

∵∠DAB=60∘9.【答案】D

【解析】解：∵二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴的左侧，函数图象交于y轴的负半轴

∴a>0，b>0，c<0，

∴反比例函数y=cx的图象必在二、四象限；

一次函数y=ax−2b一定经过一三四象限，

10.【答案】C

【解析】解：由题意可知俯视图由9个正方形组成，并设这9个位置分别如图所示：

由主视图和左视图知：①第1个位置一定是4，第6个位置一定是3；

②一定有2个2，其余有5个1；

解法一：③最后一行至少有一个2，当中一列至少有一个2；

根据2的排列不同，这个几何体的搭法共有10种：如图所示：

解法二：③(i)若第8个位置是2时，有以下6种搭法：

(ii)若第8个位置是1时，有以下4种搭法：

故选：C.

先根据主视图确定每一列最大分别为4，2，3，再根据左视确定每一行最大分别为4，3，2，总和要保证为16，还要保证俯视图有9个位置．

本题考查几何体的三视图．由几何体的主视图、左视图及小立方块的个数，可知俯视图的列数和行数中的最大数字．11.【答案】−1【解析】解：∵xy=23，

∴设x=2t，y=3t，

∴x−yx+2y=12.【答案】a≤14【解析】解：∵关于x的一元二次方程ax2−x+1=0有两个实数根，

∴△=b2−4ac=(−1)2−4×a×1=1−413.【答案】4(【解析】解：设这两天此股票股价的平均增长率为x，由题意得

4(1+x)2=4.3.

故答案为：4(1+x)2=4.3.

股票一次跌停就跌到原来价格的9014.【答案】y=【解析】解：设经过点A的反比例函数解析式为y=kx.

如图，作AD⊥x轴于D，BC⊥x轴于C，

∴∠ADO=∠BCO=90∘，

∵∠AOB=90∘，

∴∠AOD+∠BOC=90∘，

∴∠AOD+∠DAO=90∘，

∴∠BOC=∠DAO，

∵OB=15.【答案】π−【解析】解：如图，连接OA，作OM⊥AB，ON⊥AC，

∵AC=AB，∠BAC=90∘，BC=4，点O为BC的中点，

∴OA=12BC=2，四边形OMAN是正方形，

∴OM=2，∠NOM=∠OMG=∠ONH=90∘，OM=ON16.【答案】②③④

【解析】解：∵抛物线开口向上，

∴a>0，

∵抛物线的对称轴为直线x=−1，

即−b2a=−1，

∴b=2a>0，

∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，

∴c<0，

∴abc<0，所以①错误；

∵x=1时，y>0，

∴a+b+c>0，

而b=2a，

∴3a+c>0，所以②正确；

∵b=2a，a>0，c<0，

∴(ba)2−4ca=4−417.【答案】解：如图，⊙O即为所求．

【解析】作∠CAB，∠BCA的角平分线交于点O，作OF⊥AC一点F，以O为圆心，OF为半径作⊙18.【答案】解：(1)原式=4×22−(22−1)−8

=22−2【解析】(1)先计算特殊角的三角函数值，绝对值和负整数指数幂，再计算加减即可；

(2)利用解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答．19.【答案】解：过B作BE⊥CD于E，过A作AF⊥BE于F，如图：

∵∠BCD=45∘，

∴△BCE是等腰直角三角形，

设CE=x，则BE=x，

∵CD=80m，

∴DE=(80−x)m，

Rt△BDE中，∠BDC=58∘，

∴tan58∘=BEDE，即x80−【解析】过B作BE⊥CD于E，过A作AF⊥BE于F，由已知△BCE是等腰直角三角形，设CE=x，则BE=x，DE=(80−x)20.【答案】13【解析】解：(1)∵A带指针的转盘被分成三个面积相等的扇形，转盘上的数字分别是−6，−1，5，其中正数有1个，

∴P(转动转盘，转盘A指针指向正数)−−560511−−−−4−39一共有9种等可能的结果，其中a+b>0有4种可能的结果，a+b<0有4种等可能的结果，

∴P(小聪获胜)=49，

P(小明获胜)=49，

21.【答案】解：如图，

由题意知△ABC为等边三角形，△OPQ为等边三角形，AD=AK=BE=BF=CG=CH=4cm，

∴∠BAC=∠B=∠C【解析】根据题意进行作图，如上所示，经过分析知该盒子的底面是△OPQ，高是OD，通过证明Rt△ADO≌Rt△AKO，得到∠OA22.【答案】32

(32)n【解析】解：(1)∵第一个菱形OBCD的边长为2，∠BOD=60∘，

∴∠AOB=30∘，

∵∠AOD=90∘，

∴∠AOB=30∘，

∵AC//OD，

∴∠OBA=90∘，

∴AB=12OB=1，

∴AC=AB+BC=3=32BC，

同理可得A1C1=32AC，23.【答案】解：(1)∵直线y1=−x+4，y2=34x+b都与双曲线y=kx交于点A(1,m)

∴把A(1,m)代入y1=−x+4，

可得m=−1+4=3，

∴A点坐标为(1,3)，

再把A(1,3)代入双曲线y=kx中，

可得k=1×3=3，

∴双曲线的函数关系式为y=3x；

(2)∵A点坐标为(1,3)，

∴当x>0时，由图象得不等式34x+b【解析】本题主要考查反比例函数与一次函数的性质，待定系数法求反比例函数解析式，以及三角形的面积．

(1)求得A(1,3)，把A(1,3)代入双曲线y=kx，可得双曲线的函数关系式；

(2)依据A(1,3)，可得当x>0时，不等式324.【答案】(1)证明：∵∠ABC=90∘，DE⊥AC，

∴∠ABC=∠AFE=90∘，

在△ABC和△AFE中

∵∠BAC=∠FAE∠ABC=∠AFEAC=AE，

∴△ABC≌△AFE(AAS)，

∴【解析】(1)根据AAS证出△ABC≌△AFE，根据全等三角形的性质推出即可；

(2)求出25.【答案】解：(1)设甲、乙两种跳绳的单价