立体几何综合题（原卷版）-2022年新高考数学模拟试题分类汇编（福建专用）

专题12立体几何综合题

1.(2021•厦门一模)如图，在四棱锥尸-ABC。中，侧面Q4B_L底面舫8,侧面皿＞_L

底面ABC。，ADUBC,ABVBC,AB=6AD,ZACB=30°.

(1)证明：%_L平面A38.

(2)当直线PC与平面尸3£＞所成的角最大时，求二面角尸-BD-C的余弦值.

2.(2021•龙岩一模)如图，四棱锥S-A8C。中，底面A3CD为矩形，侧面SA。为等腰直

角三角形，SA=SD=20,AB=2,F是8c的中点，二面角5-AO-8的大小为120。，

设平面SAD与平面S3C的交线为I.

(1)在线段45上是否存在点E,使/J.平面SEF?若存在，确定点E的位置；若不存在，

请说明理由；

(2)若点。在/上，直线SB与平面。。所成角的正弦值为正，求线段。。的长.

3.(2021・福建模拟)如图,在四棱锥/J-488中,底面488是边长为4的菱形，AAPB=-,

2

ZABC=~,PB=2£,PC=4,点〃是AB的中点.

3

(1)求证：CM_L平面/VW；

(2)线段8上是否存在一点N,使得直线PN与平面PW所成角的正弦值为如，若存

8

在‘求出舄的值’若不存在，请说明理由•

4.(2021•福州一模)如图，在三棱台ABC-A8c中，A4,=AG=CG=1,AC=2,

AXC1AB.

(1)求证：平面Acea，平面ABBM；

(2)若NBAC=90。，AB=],求二面角A--C的正弦值.

5.(2021•漳州一模)如图，四边形应DC为正方形，AE1BE,AE=BE,M,N分别

是边DE,座的中点，直线。石与平面4?E所成的角为王.

3

(1)求证：£>N_L平面ACM；

(2)求二面角M-的余弦值.

6.（2021•泉州一模）如图，在四棱锥尸-中，二面角P-AO-C是直二面角，AD为

等腰直角三角形皿）的斜边，AD=CD=2,AB=BC=\,BD=45,M为线段PC上的

动点.

（1）当=时，证明：P4//平面MBD；

（2）若平面A/B£>_L平面ABC。，求二面角3-MD-C的余弦值.

7.（2021•福建模拟）如图，四棱锥P-ABCD的底面钻8为矩形，E是边4）上的点,

PA=AB=AE=2DE,ZPBA=ZPBC=60°.

（1）求证：平面PBE_L平面ABC。；

（2）求直线PC和平面尸8。所成角的正弦值.

2

8.（2021•新高考I）如图，在三棱锥A—88中，平面平面8a>,AB^AD,O为

8。的中点.

（1）证明：OA±CD；

（2）若AOCZ）是边长为1的等边三角形，点£在棱4）上，DE=2E4,且二面角E-BC-O

的大小为45。，求三棱锥A-8C。的体积.

9.（2021•漳州模拟）如图，在四棱锥P-A8C。中，侧面P48_L底面A8CD,底面A8CD是

直角梯形，AD//BC,ABA.BC,ZPAB=120°,PA=AD=AB^\,BC=2.

（1）证明：平面P8C_L平面R43：

（2）在线段93上是否存在点历，使得直线AM与平面月明所成角的正弦值为半？若

存在，求出线段PM的长度；若不存在，请说明理由.

p

10.(2021•福建模拟)如图，在RtAABC中，ACA.BC,ZBAC=30°,BC=6，AC=3DC,

DEIIBC,沿DE将点A折至4处，使得ACLOC,点M为AB的中点.

(1)证明：AB，平面CM。.

(2)求二面角B-CM-E的余弦值.

11.(2021•福建模拟)如图，直角三角形43。所在的平面与半圆弧8。所在平面相交于切＞,

AB=BD=2,E,F分别为AD,Q的中点C是比＞上异于8,Z)的点，EC=42.

(1)证明：平面CEFJ_平面BCD

(2)若点C为半圆弧8。上的一个三等分点(靠近点。)，求二面角A-CE-3的余弦值.

12.（2021•福州模拟）在三棱柱ABC-AgG中，ABA.AC,平面ABC_L平面ABgA，平

面A3C_L平面ACGA.

（1）证明：4A■*■平面回。；

（2）在①钻=AC=1,②Bq与平面AB四A所成的角为30。，③异面直线G。与所成

角的余弦值为斗.这三个条件中任选两个，求二面角A-BG-耳的余弦值.

13.（2021•泉州二模）如图1,在等腰直角三角形45c中，CD是斜边A3上的高.以8为

折痕把AAC£＞折起，使点A到达点P的位置，且NP3£＞=60。，E,F,H分别为PB,BC,

尸£＞的中点，G为C尸的中点，如图2.

（1）求证：GH//平面DEF;

（2）求直线GH与平面P3C所成角的正弦值.

14.（2021•莆田二模）已知正方形ABC。的边长为2,沿AC将AA8折起至AACP位置（如

图),G为AE4c的重心，点E在边3c上，且CE=2£B.

(1)证明：GE//平面RW；

(2)若GE_LP4,求二面角A-EC-G的余弦值.

15.(2021・厦门模拟)在三棱柱48。-4月。|中，。是AC上一点，E是BG的中点，且止//

平面4881A•

(1)证明：O4=DC；

(2)若Bg_L平面ABC,平面A84A，平面BCGg,M=AC=42AB,求直线£>E与平

面48cl所成角的正弦值.

16.(2021•宁德三模)如图，在平面四边形ABC。中，BC=C£>且3CJ_8,分别将AAB。、

AC3D沿直线8。翻转为AEB。、MBD(E,f"不重合)，连结EF,EFA.BD.

(1)求证：EB=ED；

(2)若他=5,BC=4后,点£在平面内的正投影G为AA5。的重心，求二面角

A—BE—。的余弦值.

17.(2021•福建模拟)如图，在四棱锥尸-ABCD中，尸£>，平面ABC£>,ABVBC,AB//CD,

PD=BC=CD=3,AB=4.过点。做四棱锥P—AB8的截面£>EFG,分别交小，PB,

PC于点、E,F,G,已知AE='AP,CG=-CP.

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(1)求直线CP与平面DEFG所成的角；

(2)求证：尸为线段PB的中点.

18.(2021•南平模拟)如图，已知四边形ACDE为菱形,ZCE>£=60°,AC±BC,F是DE

的中点，平面A8CC平面8£>E=/.

(1)证明：/!.平面欣才；

(2)若平面ABCJ.平面ACDE,AC=BC=2,求AE与平面BDE所成角的正弦值.

19.(2021•龙岩模拟)如图，在三棱柱ABC-A8C中，。为棱BC的中点，ABLBC,

BC工BB[,AB=J\B=BC=2,BBt=272.

(1)求证：A8_L平面ABC；

(2)求二面角O-AG-C的余弦值.

20.(2021•鼓楼区校级模拟)木工技艺是我国传统文化瑰宝之一，体现了劳动人民的无穷智

慧.很多古代建筑和家具保存到现代依然牢固，这其中，有连接加固功能的“楔子”发挥了

重要作用.

如图，楔子状五面体肝-A88的底面A8CD为一个矩形，AB=8,AD=6,£尸〃平面

ABCD,棱E4=£Z)=F3=FC=5,设M,N分别是A。，BC的中点.

(1)证明:E,F,M,N四点共面，且平面EFMW±平面ABCD；

(2)若二面角F-BC-A的大小为求直线5/与平面EFCE)所成角的正弦值.

3

£

21.（2021•福建模拟）如图，在四棱锥中，平面Q45_L平面MC£）,平面B4T>_L

平面ABC£>,四边形ABC©为直角梯形，其中43_LBC,BC//AD,BC=AB=-AD,E

2

是A。的中点.

（1）求证：PCLCD；

（2）若NP84=45。，求直线PC与平面P3E所成的角的正弦值.

22.（2021•漳州模拟）如图，在四棱锥5-钻8中，四边形ABC£）是菱形，AB=\,SC=—

3

三棱锥S-38是正三棱锥，E,E分别为SA,SC的中点.

（1）证明：直线S4//平面皮）F；

（2）求二面角£-防-。的余弦值.

s

23.(2021•福建模拟)如图，在四棱锥尸-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，以BC为

直径的圆0(0为圆心)过点A,且AO=AC=AP=2,B4_L.底面A88,〃为PC的中

点.

(1)证明：平面OAM_L平面尸8;

(2)求二面角O-M£＞-C的余弦值

24.(2021•福建模拟)如图，在五面体A8CDE/中，四边形438为矩形，AADE为等边

三角形，且平面4DE_L平面W7和平面ABC£＞所成的角为45。，且点尸在平面

ABCD上的射影落在四边形ABCD的中心，且4。=亚A8.

2

(1)证明：EF//平面AB8；

(2)求平面血＞与平面BCr所成角(锐角)的余弦值.

F

25.（2021•龙岩模拟）如图，四棱锥P-AfiCD中，底面"8是菱形，ZBAD=-,M是

棱尸3上的点，。是4）中点，且PO_L底面A6C£>,OP=COA.

（1）求证：BCA.OM；

0

（2）若PM=—PB,求二面角的余弦值.

3

26.（2021•三明模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面/WC£）为等腰梯形，且AB=2CE）=4,

Z4BC=6O。，点P在平面ABC。内的正投影点B在AC上，若A/UD为等边三角形，H为

4）的中点.

（1）求证：FH//平面PBD：

（2）求二面角3-PC-。的大小.

27.(2021•厦门二模)在三棱锥ABC中，G是AA8C的重心，P是面8a)内一点，且

PG//平面AB£).

(