上海市复旦附中浦东分校2024届高一数学第二学期期末复习检测模拟试题含解析

上海市复旦附中浦东分校2024届高一数学第二学期期末复习检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在直角坐标平面上，点的坐标满足方程，点的坐标满足方程则的取值范围是（）A． B． C． D．2．的内角的对边分别是，若，，，则()A． B． C． D．3．圆的半径是，则的圆心角与圆弧围成的扇形面积是（）A． B． C． D．4．已知满足：，则目标函数的最大值为（）A．6 B．8 C．16 D．45．在中，，，则的最小值是（）A．2 B．4 C． D．126．已知甲、乙两组数据用茎叶图表示如图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的的比值等于A． B． C． D．7．函数是().A．周期为的偶函数 B．周期为的奇函数C．周期为的偶函数 D．周期为奇函数8．设满足约束条件则的最大值为（）.A．10 B．8 C．3 D．29．若是等比数列，下列结论中不正确的是（）A．一定是等比数列； B．一定是等比数列；C．一定是等比数列； D．一定是等比数列10．若直线与直线互相平行，则的值等于（）A．0或或3 B．0或3 C．0或 D．或3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知函数，关于此函数的说法：①为周期函数；②有对称轴；③为的对称中心；④；正确的序号是_________.12．如图是一个算法流程图.若输出的值为4，则输入的值为______________.13．已知变量之间满足线性相关关系，且之间的相关数据如下表所示：_____.12340.13.1414．等差数列前项和为，已知，，则_____．15．若是等差数列，首项，，，则使前项和最大的自然数是________.16．古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点，，动点满足（其中和是正常数，且），则的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”，该圆的半径为__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知，是函数的两个相邻的零点.（1）求；（2）若对任意，都有，求实数的取值范围．（3）若关于的方程在上有两个不同的解，求实数的取值范围．18．如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形，由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设.(1)试用表示的面积；(2)求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时的大小.19．如图．在四棱锥中，，，平面ABCD，且．，，M、N分别为棱PC，PB的中点.（1）证明：A，D，M，N四点共面，且平面ADMN；（2）求直线BD与平面ADMN所成角的正弦值．20．已知在四棱锥中，底面是矩形，平面，，分别是，的中点，与平面所成的角的正切值是；（1）求证：平面；（2）求二面角的正切值．21．某公司为了提高职工的健身意识，鼓励大家加入健步运动，要求200名职工每天晚上9:30上传手机计步截图，对于步数超过10000的予以奖励.图1为甲乙两名职工在某一星期内的运动步数统计图，图2为根据这星期内某一天全体职工的运动步数做出的频率分布直方图.（1）在这一周内任选两天检查，求甲乙两人两天全部获奖的概率；（2）请根据频率分布直方图，求出该天运动步数不少于15000的人数，并估计全体职工在该天的平均步数；（3）如果当天甲的排名为第130名，乙的排名为第40名，试判断做出的是星期几的频率分布直方图.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】

由点的坐标满足方程，可得在圆上，由坐标满足方程，可得在圆上，则求出两圆内公切线的斜率，利用数形结合可得结果.【题目详解】点的坐标满足方程，在圆上，在坐标满足方程，在圆上，则作出两圆的图象如图，设两圆内公切线为与，由图可知，设两圆内公切线方程为，则，圆心在内公切线两侧，，可得，，化为，，即，，的取值范围，故选B.【题目点拨】本题主要考查直线的斜率、直线与圆的位置关系以及数形结合思想的应用，属于综合题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出曲线图象，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.2、B【解题分析】,所以，整理得求得或若，则三角形为等腰三角形，不满足内角和定理，排除.【考点定位】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查运算能力和分类讨论思想.当求出后，要及时判断出，便于三角形的初步定型，也为排除提供了依据.如果选择支中同时给出了或，会增大出错率.3、C【解题分析】

先将化为弧度数，再利用扇形面积计算公式即可得出．【题目详解】所以扇形的面积为：故选：C【题目点拨】题考查了扇形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4、D【解题分析】

作出不等式组对应的平面区域，数形结合，利用z的几何意义，即得。【题目详解】由题得，不等式组对应的平面区域如图，中z表示函数在y轴的截距，由图易得，当函数经过点A时z取到最大值，A点坐标为，因此目标函数的最大值为4.故选：D【题目点拨】本题考查线性规划，是基础题。5、C【解题分析】

根据，，得到，，平方计算得到最小值.【题目详解】故答案为C【题目点拨】本题考查了向量的模，向量运算，均值不等式，意在考查学生的计算能力.6、A【解题分析】

从茎叶图提取甲、乙两组数据中的原始数据，并按从小到大排列，分别得到中位数，并计算各自的平均数，再根据中位数、平均值相等得到关于的方程.【题目详解】甲组数据：，中位数为，乙组数据：，中位数为：，所以，所以，故选A.【题目点拨】本题考查中位数、平均数的概念与计算，对甲组数据排序时，一定是最大，乙组数据中一定是最小.7、B【解题分析】因，故是奇函数，且最小正周期是，即，应选答案B．点睛：解答本题时充分运用题设条件，先借助二倍角的余弦公式的变形，将函数的形式进行化简，然后再验证函数的奇偶性与周期性，从而获得问题的答案．8、B【解题分析】

作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数即可求解.【题目详解】作出可行域如图：化目标函数为，联立，解得.由图象可知，当直线过点A时，直线在y轴上截距最小，有最大值.【题目点拨】本题主要考查了简单的线性规划，数形结合的思想，属于中档题.9、C【解题分析】

判断等比数列,可根据为常数来判断.【题目详解】设等比数列的公比为,则对A：为常数,故一定是等比数列；对B：为常数,故一定是等比数列；对C：当时,,此时为每项均为0的常数列；对D：为常数,故一定是等比数列.故选：C.【题目点拨】本题主要考查等比数列的判定,若数列的后项除以前一项为常数,则该数列为等比数列.本题选项C容易忽略时这种情况.10、D【解题分析】

根据直线的平行关系，列方程解参数即可.【题目详解】由题：直线与直线互相平行，所以，，解得：或.经检验，当或时，两条直线均平行.故选：D【题目点拨】此题考查根据直线平行关系求解参数的取值，需要熟记公式，注意考虑直线重合的情况.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、①②④【解题分析】

由三角函数的性质及，分别对各选项进行验证，即可得出结论.【题目详解】解：由函数，可得①，可得为周期函数，故①正确；②由，，故，是偶函数，故有对称轴正确，故②正确；③为偶数时，，为奇数时,故不为的对称中心，故③不正确；④由，可得正确，故④正确.故答案为：①②④.【题目点拨】本题主要考查三角函数的值域、周期性、对称性等相关知识，综合性大，属于中档题.12、-1【解题分析】

对的范围分类，利用流程图列方程即可得解．【题目详解】当时，由流程图得：令，解得：，满足题意．当时，由流程图得：令，解得：，不满足题意．故输入的值为：【题目点拨】本题主要考查了流程图知识，考查分类思想及方程思想，属于基础题．13、【解题分析】

根据回归直线方程过样本点的中心，代入数据即可计算出的值.【题目详解】因为，，所以，解得.故答案为：.【题目点拨】本题考查根据回归直线方程过样本点的中心求参数，难度较易.14、1【解题分析】

首先根据、即可求出和，从而求出。【题目详解】，①，②①②得，，即，∴，即，∴，故答案为：1．【题目点拨】本题主要考查了解方程，以及等差数列的性质和前项和。其中等差数列的性质:若则比较常考，需理解掌握。15、【解题分析】

由已知条件推导出，，由此能求出使前项和成立的最大自然数的值．【题目详解】解：等差数列，首项，，，，．如若不然，，则，而，得，矛盾，故不可能．使前项和成立的最大自然数为．故答案为：．【题目点拨】本题考查等差数列的前项和取最大值时的值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式的合理运用．16、【解题分析】

设，由动点满足（其中和是正常数，且），可得，化简整理可得.【题目详解】设，由动点满足（其中和是正常数，且），所以，化简得，即，所以该圆半径故该圆的半径为.【题目点拨】本题考查圆方程的标准形式和两点距离公式，难点主要在于计算.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)；(2)；(3)【解题分析】

（1）先化简，再根据函数的周期求出的值，从而得到的解析式；（2）将问题转化为，根据三角函数的性质求出的最大值，即可求出实数的取值范围；（3）通过方程的解与函数图象之间的交点关系，可将题意转化为函数的图象与直线有两个交点，即可由图象求出实数的取值范围．【题目详解】（1）．由题意可知，的最小正周期，∴，又∵，∴，∴（2）由得，，∴，∵，∴，∴．∴，即，∴，所以（3）原方程可化为即，由，得时，，的最大值为2，∴要使方程在上有两个不同的解，即函数的图象与直线有两个交点，由图象可知，即，所以【题目点拨】本题主要考查三角函数的图象与性质的应用，以及利用二倍角公式、两角差的余弦公式、两角和的正弦公式进行三角恒等变换，同时还考查了转化与化归思想，数形结合思想的应用．18、(1)，.(2)时,达到最大此时八角形所覆盖面积前最大值为.【解题分析】

（1）注意到，从而的周长为，故，所以，注意.（2）令，则，根据可求最大值.【题目详解】(1)设为,，，，，(2)令,只需考虑取到最大值的情况,即为，当,即时,达到最大，此时八角形所覆盖面积为16+4最大值为.【题目点拨】如果三角函数式中仅含有和，则可令后利用把三角函数式变成关于的函数，注意换元后的范围.19、(1)证明见解析；(2)【解题分析】

（1）先证，再证，即可得证；要证平面ADMN，可通过求证PB垂直于ADMN中的两条交线来证明（2）求直线BD与平面ADMN所成角，需要找出BD在平面ADMN的射影，可通过三垂线定理去进行证明【题目详解】解：（1）证明因为M，N分别为PC，PB的中点，所以；又因为，所以．从而A，D，M，N四点共面；因为平面ABCD，平面ABCD．所以，又因为，，所以平面PAB，从而，因为，且N为PB的中点，所以；又因为，所以平面ADMN；（2）如图，连结DN；由（1）知平面ADMN，所以，DN为直线BD在平面ADMN内的射影，且，所以，即为直线BD与平面ADMN所成的角：在直角梯形ABCD内，过C作于H，则四边形ABCH为矩形；，在中，；所以，，，在中，，，，所以.综上，直线BD与平面ADMN所成角的正弦值为.【题目点拨】本题考查了线面垂直的判定定理，考查了线面角的求解方法，考查了运算能力及空间想象能力，属于中档题.20、(1)见证明；(2)【解题分析】

（1）取的中点，连接，通过证明四边形是平行四边形，证得，从而证得平面.（2）连接，证得为与平面所成角.根据的值求得的长，作出二面角的平面角并证明，解直角三角形求得二面角的正切值．【题目详解】（1）证明：取的中点，连接.∵是中点∴又是的中点,∴∴，从而四边形是平行四边形，故又平面，平面，∴（2）∵平面，∴是在平面内的射影为与平面所成角，四边形为矩形，∵,∴,∴过点作交的延长线于，连接，∵平面据三垂线定理知.∴是二面角的平面角易知道为等腰直角三角形，∴∴=∴二面角的正切值为【题目点拨】本小题主要考查线面平行的证明，考查线面角的定义和应用，考查面面角的正切值的求法，考查逻辑推理能力和空间想象能力，属于中档题.21、（1），（2）80人，13.25千步，（3）星期二【解题分析】

（1）根据统计图统