山东青岛平度第三中学2024届数学高一下期末监测试题含解析

山东青岛平度第三中学2024届数学高一下期末监测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．圆与圆恰有三条公切线，则实数的值是（）A．4 B．6 C．16 D．362．直线与直线的交点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．小金同学在学校中贯彻着“边玩边学”的学风，他在“汉诺塔”的游戏中发现了数列递推的奥妙：有、、三个木桩，木桩上套有编号分别为、、、、、、的七个圆环，规定每次只能将一个圆环从一个木桩移动到另一个木桩，且任意一个木桩上不能出现“编号较大的圆环在编号较小的圆环之上”的情况，现要将这七个圆环全部套到木桩上，则所需的最少次数为（）A． B． C． D．4．在正四棱柱中，，则点到平面的距离是（）A． B． C． D．5．圆的半径是，则的圆心角与圆弧围成的扇形面积是（）A． B． C． D．6．某几何体的三视图如图所示，它的体积为（）A．12π B．45π C．57π D．81π7．如图所示，等边的边长为2、为的中点，且也是等边三角形，若以点为中心按逆时针方向旋转后到达的位置，则在转动过程中的取值范围是（)A． B． C． D．8．阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为()A． B． C． D．9．设，表示两条直线，，表示两个平面，则下列命题正确的是（）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则10．若，均为锐角，且，，则等于（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．为了研究问题方便,有时将余弦定理写成:,利用这个结构解决如下问题:若三个正实数，满足,，，则_______.12．不共线的三个平面向量，，两两所成的角相等，且，，则__________．13．等比数列满足其公比_________________14．已知方程的两根分别为、、且，且__________．15．某球的体积与表面积的数值相等，则球的半径是16．设为等差数列的前n项和，，则________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，为了测量河对岸、两点的距离，观察者找到一个点，从点可以观察到点、；找到一个点，从点可以观察到点、；找到一个点，从点可以观察到点、．并测量得到以下数据，，，，，米，米．求、两点的距离．18．近年来，我国自主研发的长征系列火箭的频频发射成功，标志着我国在该领域已逐步达到世界一流水平.火箭推进剂的质量为，去除推进剂后的火箭有效载荷质量为，火箭的飞行速度为，初始速度为，已知其关系式为齐奥尔科夫斯基公式：，其中是火箭发动机喷流相对火箭的速度，假设，，，是以为底的自然对数，，.（1）如果希望火箭飞行速度分别达到第一宇宙速度、第二宇宙速度、第三宇宙速度时，求的值（精确到小数点后面1位）.（2）如果希望达到，但火箭起飞质量最大值为，请问的最小值为多少（精确到小数点后面1位）？由此指出其实际意义.19．已知.（1）求；（2）求的值.20．如图，已知点和点，，且，其中为坐标原点.（1）若，设点为线段上的动点，求的最小值；（2）若，向量，，求的最小值及对应的的值.21．如图，在三棱锥中，垂直于平面，.求证：平面.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】

两圆外切时，有三条公切线．【题目详解】圆标准方程为，∵两圆有三条公切线，∴两圆外切，∴，．故选C．【题目点拨】本题考查圆与圆的位置关系，考查直线与圆的位置关系．两圆的公切线条数：两圆外离时，有4条公切线，两圆外切时，有3条公切线，两圆相交时，有2条公切线，两圆内切时，有1条公切线，两圆内含时，无无公切线．2、B【解题分析】

联立方程组，求得交点的坐标，即可得到答案.【题目详解】由题意，联立方程组：，解得，即两直线的交点坐标为，在第二象限，选B.【题目点拨】本题主要考查了两条直线的位置关系的应用，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.3、B【解题分析】

假设桩上有个圆环，将个圆环从木桩全部套到木桩上，需要最少的次数为，根据题意求出数列的递推公式，利用递推公式求出数列的通项公式，从而得出的值，可得出结果.【题目详解】假设桩上有个圆环，将个圆环从木桩全部套到木桩上，需要最少的次数为，可这样操作，先将个圆环从木桩全部套到木桩上，至少需要的次数为，然后将最大的圆环从木桩套在木桩上，需要次，在将木桩上个圆环从木桩套到木桩上，至少需要的次数为，所以，，易知.设，得，对比得，，且，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，，因此，，故选：B.【题目点拨】本题考查数列递推公式的应用，同时也考查了利用待定系数法求数列的通项，解题的关键就是利用题意得出数列的递推公式，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.4、A【解题分析】

计算的面积，根据可得点到平面的距离．【题目详解】中，，，∴的边上的高为，∴，设到平面的距离为，则，又，∴，解得．故选A．【题目点拨】本题涉及点面距离的求法，点面距可以通过建立空间直角坐标系来求得点面距离，或者寻找面面垂直，再直接过点做交线的垂线即可;当点面距离不好求时，也可以根据等积法把点到平面的距离归结为一个容易求得的几何体的体积.5、C【解题分析】

先将化为弧度数，再利用扇形面积计算公式即可得出．【题目详解】所以扇形的面积为：故选：C【题目点拨】题考查了扇形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6、C【解题分析】由三视图可知，此组合体上部是一个母线长为5，底面圆半径是3的圆锥，下部是一个高为5，底面半径是3的圆柱故它的体积是5×π×32+π×32×=57π故选C7、D【解题分析】

设，，则，则，将其展开，运用向量的数量积的定义，化简得到，再由余弦函数的性质，即可得到范围.【题目详解】设，，则，则，由于，则，则．故选：D【题目点拨】本题考查平面向量的数量积的定义，考查三角函数的化简和求最值，考查运算能力，属于中档题.8、D【解题分析】

按照程序框图运行程序，直到时输出结果即可.【题目详解】按照程序框图运行程序输入，，则，满足，，则，满足，，则，满足，，则，满足，，则，满足，，则，不满足，输出故选：【题目点拨】本题考查根据程序框图计算输出结果的问题，属于基础题.9、D【解题分析】

对选项进行一一判断，选项D为面面垂直判定定理.【题目详解】对A，与可能异面，故A错；对B，可能在平面内；对C，与平面可能平行，故C错；对D，面面垂直判定定理，故选D.【题目点拨】本题考查空间中线、面位置关系，判断一个命题为假命题，只要能举出反例即可.10、B【解题分析】

先利用两角和的余弦公式求出，通过条件可求得，进而可得.【题目详解】解：，因为，则，故，故选：B.【题目点拨】本题考查两角和的正切公式，注意角的范围的确定，是基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

设的角、、的对边分别为、、，在内取点，使得，设，，，利用余弦定理得出的三边长，由此计算出的面积，再利用可得出的值.【题目详解】设的角、、的对边分别为、、，在内取点，使得，设，，，由余弦定理得，，同理可得，，，则，的面积为，另一方面，解得，故答案为.【题目点拨】本题考查余弦定理的应用，问题的关键在于将题中的等式转化为余弦定理，并转化为三角形的面积来进行计算，考查化归与转化思想以及数形结合思想，属于中等题.12、4【解题分析】

故答案为：4【题目点拨】本题主要考查向量的位置关系，考查向量模的运算的处理方法.由于三个向量两两所成的角相等，故它们两两的夹角为，由于它们的模都是已知的，故它们两两的数量积也可以求出来，对后平方再开方，就可以计算出最后结果.13、【解题分析】

观察式子，将两式相除即可得到答案.【题目详解】根据题意，可知，于是.【题目点拨】本题主要考查等比数列公比的相关计算，难度很小.14、【解题分析】

由韦达定理和两角和的正切公式可得，进一步缩小角的范围可得，进而可求．【题目详解】方程两根、，，，，又，，，，，，，结合，，故答案为．【题目点拨】本题考查两角和与差的正切函数，涉及韦达定理，属中档题．15、3【解题分析】试题分析：，解得.考点：球的体积和表面积16、54.【解题分析】

设首项为，公差为，利用等差数列的前n项和公式列出方程组，解方程求解即可.【题目详解】设首项为，公差为,由题意，可得解得所以.【题目点拨】本题主要考查了等差数列的前n项和公式，解方程的思想，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、米【解题分析】

在中，求出，利用正弦定理求出，然后在中利用锐角三角函数定义求出，最后在中，利用余弦定理求出.【题目详解】由题意可知，在中，，由正弦定理得，所以米，在中，米，在中，由余弦定理得，所以，米.【题目点拨】本题考查利用正弦、余弦定理解三角形应用题，要将实际问题转化为三角形的问题，并结合已知元素类型选择正弦、余弦定理解三角形，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.18、（1）（2）见解析【解题分析】

（1）弄清题意，将相关数据代入齐奥尔科夫斯基公式：，即可得出各个等级的速度对应的的值；（2）弄清题意与相关名词，火箭起飞质量即为，将公式变形，分离出，解不等式即可得，的最小值为.【题目详解】（1）由题意可得，，，且，，当达到第一宇宙速度时，有，；当达到第二宇宙速度时，有，；当达到第三宇宙速度时，有，.（2）因为希望达到，但火箭起飞质量最大值为，，，即，得，的最小值为比较（1）中当达到第三宇宙速度时，；火箭起飞质量为，此时，达到，但火箭起飞质量最大值为，的最小值为.由以上说明实际意义为：不是火箭的推进剂质量越大，火箭达到的速度越大，当减少推进剂质量，增大火箭发动机喷流相对火箭的速度，同样可以达到想要的速度.【题目点拨】本题是一个典型的数学模型的应用问题，用数学的知识解决实际问题，这类题目关键是弄清题意；建立适当的函数模型进行解答．属于中档题.19、（1）（2）【解题分析】

（1）根据三角函数的基本关系式，可得，再结合正切的倍角公式，即可求解；（2）由（1）知，结合三角函数的基本关系式，即可求解，得到答案.【题目详解】（1）由，根据三角函数的基本关系式，可得，所以.（2）由（1）知，又由.【题目点拨】本题主要考查了三角函数的基本关系式和正切的倍角公式的化简求值，其中解答中熟记三角函数的基本关系式和三角恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.20、（1）；（2），或.【解题分析】

（1）设，求出，把表示成关于的二次函数；（2）利用向量的坐标运算得，令把表示成关于的二次函数，再求最小值.【题目详解】（1）设，又，所以，，所以当时，取得最小值.（2）由题意得，，，则=，令，因为，所以，又，所以，，所以当时，取得最小值，即，