2023-2024学年黑龙江省哈尔滨一中高一（上）期末数学试卷

第1页（共1页）2023-2024学年黑龙江省哈尔滨一中高一（上）期末数学试卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，3，5}，则∁UA＝（）A．{5} B．{1，4} C．{2，3} D．{2，3，5}2．（5分）命题“∃x∈R，3x2﹣x﹣2≤0”的否定是（）A．∃x∉R，3x2﹣x﹣2＞0 B．∃x∈R，3x2﹣x﹣2＞0 C．∀x∉R，3x2﹣x﹣2＞0 D．∀x∈R，3x2﹣x﹣2＞03．（5分）设p：α＝；q：tanα＝，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．（5分）函数的定义域为（）A．（﹣∞，2） B．（﹣1，2） C．[﹣1，2] D．[﹣1，2）5．（5分）已知a＝，b＝，c＝log3，则（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．a＞b＞c6．（5分）在同一坐标系中，函数与y＝loga（﹣x）（其中a＞0且a≠1）的图象只可能是（）A． B． C． D．7．（5分）在1859年的时候，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x的素数个数可以表示为π（x）≈的结论．若根据欧拉得出的结论，估计105以内的素数的个数为（素数即质数，lge≈0.4343，计算结果取整数）（）A．2172 B．4343 C．869 D．86868．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（3）＝3，对∀x1，x2∈[0，+∞），且x1≠x2有，则关于x的不等式（x+2）f（x+2）＜9的解集为（）A．（﹣∞，1） B．（﹣5，1） C．（﹣∞，﹣5）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）（多选）9．（5分）下列结论正确的是（）A．是第三象限角 B．若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为 C．角α的顶点在原点，始边在x轴的非负半轴，若角α的终边上有一点P（﹣3，4），则 D．若α是第一象限角，则是第一或第三象限角（多选）10．（5分）下列说法正确的是（）A．若f（x）的定义域为[﹣2，2]，则f（2x﹣1）的定义域为 B．函数与函数为同一个函数 C．函数f（x）＝ax﹣1+loga（2x﹣1）﹣1（其中a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0） D．函数单调递增区间是（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝4sin（2x+），下列结论中正确的有（）A．若f（x1）＝f（x2），则x1﹣x2是π的整数倍 B．函数f（x）的图象关于直线x＝﹣对称 C．函数f（x）的图象关于点（﹣，0）对称 D．函数y＝f（x）在[﹣，]单调递增（多选）12．（5分）已知函数，下列结论正确的是（）A．若f（a）＝1，则a＝4 B．若f（a）≥3，则a≤﹣1或a≥28 C． D．若g（x）＝f（x）﹣k有两个不同的零点，则三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知tanα＝2，则＝．14．（5分）函数y＝2tanx+a在上的最大值为4，则实数a的值为．15．（5分）函数f（x）＝ax3+bx﹣2，且f（1）＝﹣5，则f（﹣1）＝．16．（5分）已知函数f（x）＝4x+a•2x+3（a∈R），若函数f（x）在[0，2]的最小值为1，则实数a的值为．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知．（1）求函数f（x）的最小正周期．（2）求时函数的值域．18．（12分）已知集合A＝{x|1≤2x+1≤8}，B＝{x|（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0}，a∈R．（1）若1∈B，求实数a取值范围；（2）若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19．（12分）已知幂函数f（x）＝（2m2﹣2m﹣3）xm．（1）若f（x）的定义域为R，求f（x）的解析式；（2）若f（x）为奇函数，∃x∈[1，2]，使f（x）＞3x+k﹣1成立，求实数k的取值范围．20．（12分）在①f（x）的图象过点，②，③是奇函数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．问题：已知的最小正周期为2π，_____．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求f（x）的单调递增区间．21．（12分）某市财政下拨专款100百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x（单位：百万元）的函数y1（单位：百万元）：，处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x（单位：百万元）的函数y2（单位：百万元）：y2＝0.3x．设分配给植绿护绿项目的资金为x（单位：百万元），两个生态项目五年内带来的生态收益总和为y（单位：百万元）．（1）将y表示成关于x的函数；（2）为使生态收益总和y最大，对两个生态项目的投资分别为多少？22．（12分）已知函数g（x）＝ax2﹣2ax+1+b（a，b≥0）在x∈[1，2]时有最大值1和最小值0，设．（1）求实数a，b的值；（2）若不等式f（log2x）﹣2klog2x≤0在上恒成立，求实数k的取值范围；（3）若关于x的方程有三个不同的实数解，求实数m的取值范围．

2023-2024学年黑龙江省哈尔滨一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，3，5}，则∁UA＝（）A．{5} B．{1，4} C．{2，3} D．{2，3，5}【分析】由全集U及A，求出A的补集即可．【解答】解：∵集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，3，5}，∴∁UA＝{1，4}．故选：B．【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2．（5分）命题“∃x∈R，3x2﹣x﹣2≤0”的否定是（）A．∃x∉R，3x2﹣x﹣2＞0 B．∃x∈R，3x2﹣x﹣2＞0 C．∀x∉R，3x2﹣x﹣2＞0 D．∀x∈R，3x2﹣x﹣2＞0【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x∈R，3x2﹣x﹣2≤0”的否定是：∀x∈R，3x2﹣x﹣2＞0．故选：D．【点评】本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．3．（5分）设p：α＝；q：tanα＝，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】由tanα＝，解得α＝+kπ，k∈Z，再根据充要条件的定义即可判断出结论．【解答】解：当α＝，可得tanα＝，反之由tanα＝，解得α＝+kπ，k∈Z，则p是q的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．（5分）函数的定义域为（）A．（﹣∞，2） B．（﹣1，2） C．[﹣1，2] D．[﹣1，2）【分析】根据根式和对数的性质建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：要使函数有意义，则，解得﹣1≤x＜2，即函数的定义域为[﹣1，2）．故选：D．【点评】本题主要考查函数定义域的求解，结合根式和对数函数的性质是解决本题的关键．5．（5分）已知a＝，b＝，c＝log3，则（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．a＞b＞c【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解．【解答】解：∵，∴0＜a＝（）＜（）0＝1，b＝＞＝1，c＝，∴b＞a＞c．故选：C．【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的单调性的合理运用．6．（5分）在同一坐标系中，函数与y＝loga（﹣x）（其中a＞0且a≠1）的图象只可能是（）A． B． C． D．【分析】明确函数的图象与函数y＝ax的图象关于y轴对称，函数y＝ax的图象与函数y＝logax的图象关于y＝x对称，函数y＝loga（﹣x）的图象与函数函数y＝logax的图象关于y轴对称可得解．【解答】解：，由图易知故选：C．【点评】本题主要考查基本函数间的变换，总结其规律，理解其性质，反映其图象，考查学生识图用图的数形结合的能力．7．（5分）在1859年的时候，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x的素数个数可以表示为π（x）≈的结论．若根据欧拉得出的结论，估计105以内的素数的个数为（素数即质数，lge≈0.4343，计算结果取整数）（）A．2172 B．4343 C．869 D．8686【分析】根据黎曼猜想计算π（105），从而得出正确答案．【解答】解：由题意可知：π（105）≈＝＝＝2×104×lge≈2×104×0.4343＝8686．故选：D．【点评】本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．8．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（3）＝3，对∀x1，x2∈[0，+∞），且x1≠x2有，则关于x的不等式（x+2）f（x+2）＜9的解集为（）A．（﹣∞，1） B．（﹣5，1） C．（﹣∞，﹣5）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【分析】由题意可得函数在[0，+∞）单调递增，再由奇函数的性质可得函数在R上，单调递增，再由题意将9化成3f（3），由单调性可得不等式x+2＜3，进而求出不等式的解集．【解答】解：对∀x1，x2∈[0，+∞），且x1≠x2有，可得函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，因为f（3）＝3，又函数为奇函数，所以函数在R上为增函数，所以不等式可得（x+2）f（x+2）＜9＝3f（3），所以x+2＜3，解得x＜1，故选：A．【点评】本题考查抽象函数的单调性和奇偶性的应用，属于基础题．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）（多选）9．（5分）下列结论正确的是（）A．是第三象限角 B．若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为 C．角α的顶点在原点，始边在x轴的非负半轴，若角α的终边上有一点P（﹣3，4），则 D．若α是第一象限角，则是第一或第三象限角【分析】根据象限角的概念，弧长公式，扇形面积公式，三角函数的定义，即可分别求解．【解答】解：对A选项，∵是第二象限角，∴A选项错误；对B选项，∵圆心角为的扇形的弧长为π，∴扇形的半径r＝＝＝3，∴该扇形的面积为＝＝，∴B选项正确；对C选项，∵角α的顶点在原点，始边在x轴的非负半轴，又角α的终边上有一点P（﹣3，4），∴cosα＝＝，∴C选项正确；对D选项，∵α是第一象限角，∴，k∈Z，∴，k∈Z，∴是第一或第三象限角，∴D选项正确．故选：BCD．【点评】本题考查象限角的概念，弧长公式，扇形面积公式，三角函数的定义，属中档题．（多选）10．（5分）下列说法正确的是（）A．若f（x）的定义域为[﹣2，2]，则f（2x﹣1）的定义域为 B．函数与函数为同一个函数 C．函数f（x）＝ax﹣1+loga（2x﹣1）﹣1（其中a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0） D．函数单调递增区间是【分析】根据复合函数的定义域求法，相等函数的概念，指数与对数运算性质，复合函数的单调性求法，即可分别求解．【解答】解：对A选项，∵f（x）的定义域为[﹣2，2]，∴对f（2x﹣1）中有：2x﹣1∈[﹣2，2]，∴，∴f（2x﹣1）的定义域为[，]，∴A选项正确；对B选项，∵的定义域为[1，+∞），而的定义域为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），∴函数与函数不是同一个函数，∴B选项错误；对C选项，∵函数f（x）＝ax﹣1+loga（2x﹣1）﹣1（其中a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），∴C选项正确；对D选项，∵的定义域为（，2），∴单调递增区间是[，2），∴D选项错误．故选：AC．【点评】本题考查复合函数的定义域求法，相等函数的概念，指数与对数运算性质，复合函数的单调性求法，属中档题．（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝4sin（2x+），下列结论中正确的有（）A．若f（x1）＝f（x2），则x1﹣x2是π的整数倍 B．函数f（x）的图象关于直线x＝﹣对称 C．函数f（x）的图象关于点（﹣，0）对称 D．函数y＝f（x）在[﹣，]单调递增【分析】由正弦函数的周期性判断①；由正弦函数的对称性判断②、③；由正弦函数的单调性和整体思想判断④．【解答】解：若f（x1）＝f（x2）＝0，得x1﹣x2是半个周期的整数倍也成立，又f（x）＝4sin（2x+）的周期是π，A不正确；当x＝﹣时，2x+＝﹣，则f（﹣）＝﹣4，所以函数的图象关于直线x＝﹣对称，B正确；当x＝﹣时，2x+＝0，则f（﹣）＝0，所以函数的图象关于点（﹣，0）对称，C正确；由x∈[﹣，]得，2x+∈[﹣，]，则函数f（x）在区间[﹣，]上不是增函数，D不正确；故选：BC．【点评】本题考查命题的真假性判断，以及正弦函数的对称性、周期性，诱导公式的应用，掌握正弦函数的图象性质是解题的关键，属于中档题．（多选）12．（5分）已知函数，下列结论正确的是（）A．若f（a）＝1，则a＝4 B．若f（a）≥3，则a≤﹣1或a≥28 C． D．若g（x）＝f（x）﹣k有两个不同的零点，则【分析】对于A，分a＞1和a≤1两种情况求解，对于B，a＞1和a≤1两种情况解不等式，对于C，先求f（），再求，对于D，画出函数图象，根据图象求解．【解答】解：对于A，当a＞1时，由f（a）＝1，得log3（a﹣1）＝1，解得a＝4；当a≤1时，由f（a）＝1，得，解得a＝0，综上a＝4或a＝0，所以A错误；对于B，当a＞1时，由f（a）≥3，得log3（a﹣1）≥3，解得a≥28；a≤1时，由f（a）≥3，得，解得a≤﹣1，综上，a≤﹣1或a≥28，所以B正确，对于C，因为f（）＝＜0，所以＝＝＝2023，所以C正确，对于D，f（x）的图象如图所示，g（x）＝f（x）﹣k有两个不同的零点，等价于方程f（x）＝k有两个不等的实根，则等价于y＝f（x）与y＝k有两个不同的交点，因为，所以由图象可得，所以D正确．故选：BCD．【点评】本题主要考查了分段函数的性质，考查了函数的零点与方程根的关系，以及数形结合的数学思想，属于中档题．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知tanα＝2，则＝﹣5．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式化简所求即可得解．【解答】解：因为tanα＝2，所以＝＝＝﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14．（5分）函数y＝2tanx+a在上的最大值为4，则实数a的值为2．【分析】结合正切函数的单调性即可求解．【解答】解：因为y＝2tanx+a在上单调递增，故当x＝时，函数取得最大值2+a＝4，所以a＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了正切函数的单调性在函数最值求解中的应用，属于基础题．15．（5分）函数f（x）＝ax3+bx﹣2，且f（1）＝﹣5，则f（﹣1）＝1．【分析】根据f（1）＝﹣5，求得a+b＝﹣3，由此能求出f（﹣1）．【解答】解：由f（x）＝ax3+bx﹣2，且f（1）＝﹣5，即f（1）＝a+b﹣2＝﹣5，即a+b＝﹣3，则﹣a﹣b＝3，则f（﹣1）＝﹣a﹣b﹣2＝1．故答案为：1．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性在函数求值中的应用，属于基础题．16．（5分）已知函数f（x）＝4x+a•2x+3（a∈R），若函数f（x）在[0，2]的最小值为1，则实数a的值为．【分析】利用换元法，令2x＝t，进而得到f（x）＝g（t）＝t2+at+3，再通过t的取值范围与对称轴之间的关系，结合该函数的单调性和最小值之间的关系，即可计算求出a【解答】解：令2x＝t，则当x∈[0，2]时，t∈[1，4]，函数f（x）可化为g（t）＝t2+at+3，对称轴为，当，即a≥﹣2时，g（t）在[1，4]上单调递增，g（t）min＝g（1）＝4+a＝1，解得：a＝﹣3（舍）；当，即﹣8＜a＜﹣2时，g（t）在上单调递减，在上单调递增，∴，解得：（舍）或；当，即a≤﹣8时，g（t）在[1，4]上单调递减，∴g（t）min＝g（4）＝19+4a＝1，解得：（舍）；综上所述：．故答案为：．【点评】本题主要考查了换元法在函数值域求解中的应用，属于中档题．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知．（1）求函数f（x）的最小正周期．（2）求时函数的值域．【分析】（1）直接运用求周期公式计算即可；（2）由正弦函数的性质即可求函数的值域．【解答】解：（1）函数f（x）的最小正周期T＝＝π．（2）当时，有﹣2π≤2x﹣≤﹣，所以0≤sin（2x﹣）≤1，f（x）max＝2，f（x）min＝0，故f（x）的值域为[0，2]．【点评】本题主要考查三角函数的性质，三角函数的周期性及其求法，属于基础题．18．（12分）已知集合A＝{x|1≤2x+1≤8}，B＝{x|（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0}，a∈R．（1）若1∈B，求实数a取值范围；（2）若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【分析】（1）直接利用集合间的关系求出参数a的取值范围；（2）利用集合间的关系和充分条件和必要条件的应用求出实数a的取值范围．【解答】解：（1）若1∈B，则﹣a（1﹣a）＜0，得0＜a＜1．（2）由1≤2x+1≤8，得0≤x+1≤3，即﹣1≤x≤2，所以A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0}＝{x|a＜x＜a+1}，若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，则B是A的真子集，即解得﹣1≤a≤1，经检验，当﹣1≤a≤1时均有B⫋A．即实数a的取值范围是[﹣1，1]．【点评】本题考查的知识要点：集合的运算，充分条件和必要条件，不等式的解法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．19．（12分）已知幂函数f（x）＝（2m2﹣2m﹣3）xm．（1）若f（x）的定义域为R，求f（x）的解析式；（2）若f（x）为奇函数，∃x∈[1，2]，使f（x）＞3x+k﹣1成立，求实数k的取值范围．【分析】由f（x）是幂函数知2m2﹣2m﹣3＝1；（1）结合f（x）的定义域为R知m＝2，从而写出解析式；（2）结合f（x）为奇函数得m＝﹣1，从而可得f（x）＝x﹣1，化存在性问题为（﹣3x）max＞k﹣1，从而解得．【解答】解：∵f（x）＝（2m2﹣2m﹣3）xm是幂函数，∴2m2﹣2m﹣3＝1，即m2﹣m﹣2＝0，解得m＝2或m＝﹣1；（1）∵f（x）的定义域为R，∴m＝2，故f（x）＝x2；（2）∵f（x）为奇函数，∴f（x）＝x﹣1＝；∵∃x∈[1，2]，使f（x）＞3x+k﹣1成立，即∃x∈[1，2]，使﹣3x＞k﹣1成立，∴（﹣3x）max＞k﹣1，又∵y＝﹣3x在[1，2]上是减函数，∴1﹣3＞k﹣1，故k＜﹣1；故实数k的取值范围为（﹣∞，﹣1）．【点评】本题考查了幂函数的性质的应用，同时考查了存在性问题，属于中档题．20．（12分）在①f（x）的图象过点，②，③是奇函数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．问题：已知的最小正周期为2π，_____．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求f（x）的单调递增区间．【分析】（1）根据条件分别求出ω和φ的值即可求出函数的解析式．（2）根据三角函数图象平移变换关系，结合函数的单调性进行求解即可．【解答】解：若选①：（1）由已知得ω＝＝1，于是f（x）＝2sin（x+φ），因为f（x）图象过点（），所以2sin（φ）＝，又因为，所以，故f（x）＝2sin（x﹣）；（2）令，k∈Z，解得，，k∈Z，故f（x）的单调递增区间为[﹣]，k∈Z；若选②：（1）由已知得，ω＝1，于是f（x）＝2sin（x+φ）．因为cos（）＝﹣sinφ＝且，所以，故f（x）＝2sin（x﹣）；（2）令，k∈Z，解得，，k∈Z，故f（x）的单调递增区间为[﹣]，k∈Z；若选③：（1）由已知得，ω＝1，于是f（x）＝2sin（x+φ），因为f（x+）＝2sin（x++φ）为奇函数，即sin（）＝0，又因为，所以，故f（x）＝2sin（x﹣）；（2）令，k∈Z，解得，，k∈Z，故f（x）的单调递增区间为[﹣]，k∈Z．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出ω和φ的值，结合三角函数的图象变换关系以及函数的单调性是解决本题的关键，是中档题．21．（12分）某市财政下拨专款100百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x（单位：百万元）的函数y1（单位：百万元）：，处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x（单位：百万元）的函数y2（单位：百万元）：y2＝0.3x．设分配给植绿护绿项目的资金为x（单位：百万元），两个生态项目五年内带来的生态收益总和为y（单位：百万元）．（1）将y表示成关于x的函数；（2）为使生态收益总和y最大，对两个生态项目的投资分别为多少？【分析】（1）由题意列式化简即可；（2）将原式变形构造成对勾函数，利用对勾函数的性质求最值即可．【解答】解：（1）