2024届北京市东城区第五中学高一数学第二学期期末学业水平测试试题含解析

2024届北京市东城区第五中学高一数学第二学期期末学业水平测试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在等比数列中，，，，则等于()A． B． C． D．2．不等式>0的解集是（）A．（－，0）（1，+） B．（－，0）C．（1，+） D．（0，1）3．袋中有个大小相同的小球，其中个白球，个红球，个黑球，现在从中任意取一个，则取出的球恰好是红色或者黑色小球的概率为（）A． B． C． D．4．设满足约束条件，则的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．105．在等差数列中，如果，则数列前9项的和为()A．297 B．144 C．99 D．666．已知等差数列中，若，则取最小值时的（）A．9 B．8 C．7 D．67．终边在轴上的角的集合（）A． B．C． D．8．在投资生产产品时，每生产需要资金200万，需场地，可获得300万；投资生产产品时，每生产需要资金300万，需场地，可获得200万，现某单位可使用资金1400万，场地，则投资这两种产品，最大可获利()A．1350万 B．1475万 C．1800万 D．2100万9．某学校有教师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本，若女学生一共抽取了80人，则n的值为（）A．193 B．192 C．191 D．19010．如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知直线，圆O：上到直线的距离等于2的点有________个。12．若A(-2,3),B(3,-2),C(4,m)三点共线则m的值为________.13．的值为___________．14．已知向量为单位向量，向量，且，则向量的夹角为__________．15．等差数列前项和为，已知，，则_____．16．设，且，则的取值范围是______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知为第三象限角，．(1)化简(2)若，求的值18．某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据.x681012y2356（1）请根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程；（2）判断该高三学生的记忆力x和判断力是正相关还是负相关；并预测判断力为4的同学的记忆力.（参考公式：）19．已知数列是等差数列，是其前项和.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a＝7，b＝8，．（1）求边AB的长；（2）求△ABC的面积．21．已知函数，若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点．（1）若，证明：函数必有局部对称点；（2）若函数在区间内有局部对称点，求实数的取值范围；（3）若函数在上有局部对称点，求实数的取值范围．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】

直接利用等比数列公式计算得到答案.【题目详解】故选：C【题目点拨】本题考查了等比数列的计算，属于简单题.2、A【解题分析】

由题意可得，，求解即可.【题目详解】，解得或，故解集为（－，0）（1，+），故选A.【题目点拨】本题考查了分式不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题.3、D【解题分析】

利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【题目详解】从袋中个球中任取一个球，取出的球恰好是一个红色或黑色小球的基本事件数为，因此，取出的球恰好是红色或者黑色小球的概率为，故选D.【题目点拨】本题考查古典概型概率的计算，解题时要确定出全部基本事件数和所求事件所包含的基本事件数，并利用古典概型的概率公式进行计算，考查计算能力，属于基础题.4、B【解题分析】

结合题意画出可行域，然后运用线性规划知识来求解【题目详解】如图由题意得到可行域，改写目标函数得，当取到点时得到最小值，即故选【题目点拨】本题考查了运用线性规划求解最值问题，一般步骤：画出可行域，改写目标函数，求出最值，需要掌握解题方法5、C【解题分析】试题分析：，，∴a4=13,a6=9,S9==99考点：等差数列性质及前n项和点评：本题考查了等差数列性质及前n项和，掌握相关公式及性质是解题的关键．6、C【解题分析】

是等差数列，先根据已知求出首项和公差，再表示出，由的最小值确定n。【题目详解】由题得，，解得，那么，当n=7时，取到最小值-49.故选：C【题目点拨】本题考查等差数列前n项和，是基础题。7、D【解题分析】

根据轴线角的定义即可求解.【题目详解】A项，是终边在轴正半轴的角的集合；B项，是终边在轴的角的集合；C项，是终边在轴正半轴的角的集合；D项，是终边在轴的角的集合；综上，D正确.故选:D【题目点拨】本题主要考查了轴线角的判断，属于基础题.8、B【解题分析】

设生产产品x百吨，生产产品百吨，利润为百万元，先分析题意，找出相关量之间的不等关系，即满足的约束条件，由约束条件画出可行域；要求应作怎样的组合投资，可使获利最大，即求可行域中的最优解，在线性规划的解答题中建议使用直线平移法求出最优解，即将目标函数看成是一条直线，分析目标函数与直线截距的关系，进而求出最优解．【题目详解】设生产产品百吨，生产产品百吨，利润为百万元则约束条件为：，作出不等式组所表示的平面区域：目标函数为.由解得.使目标函数为化为要使得最大，即需要直线在轴的截距最大即可.由图可知当直线过点时截距最大.此时应作生产产品3.25百吨，生产产品2.5百吨的组合投资，可使获利最大．

故选：B．【题目点拨】在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件⇒②由约束条件画出可行域⇒③分析目标函数Z与直线截距之间的关系⇒④使用平移直线法求出最优解⇒⑤还原到现实问题中．属于中档题.9、B【解题分析】

按分层抽样的定义，按比例计算．【题目详解】由题意，解得．故选：B.【题目点拨】本题考查分层抽样，属于简单题．10、D【解题分析】对于选项A,因为，所以，所以即，所以选项A错误；对于选项B，，所以，选项B错误；对于选项C，，当时，，当，，故选项C错误；对于选项D，，所以，又，所以，所以，选D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、3；【解题分析】

根据圆心到直线的距离和半径之间的长度关系，可通过图形确定所求点的个数.【题目详解】由圆的方程可知，圆心坐标为，半径圆心到直线的距离：如上图所示，此时，则到直线距离为的点有：，共个本题正确结果：【题目点拨】本题考查根据圆与直线的位置关系求解圆上点到直线距离为定值的点的个数，关键是能够根据圆心到直线的距离确定直线的大致位置，从而根据半径长度确定点的个数.12、-3【解题分析】

根据三点共线与斜率的关系即可得出．【题目详解】kAB=-2-33-(-2)=-1，k∵A(-2,3),B(3,-2),C(4,m)三点共线，∴﹣1=-3-m6，解得m＝故答案为-3．【题目点拨】本题考查了三点共线与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13、【解题分析】

=14、【解题分析】因为，所以，所以，所以，则.15、1【解题分析】

首先根据、即可求出和，从而求出。【题目详解】，①，②①②得，，即，∴，即，∴，故答案为：1．【题目点拨】本题主要考查了解方程，以及等差数列的性质和前项和。其中等差数列的性质:若则比较常考，需理解掌握。16、【解题分析】

通过可求得x的取值范围，接着利用反正弦函数的定义可得的取值范围.【题目详解】，，即.由反正弦函数的定义可得，即的取值范围为.故答案为：.【题目点拨】本题主要考查余弦函数的定义域和值域，反正弦函数的定义，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析;(2).【解题分析】利用指数运算、指对互化、对数运算求解试题分析：（1）（2）由，得．又已知为第三象限角，所以，所以，所以=………………10分考点：本题主要考查了诱导公式、同角三角函数基本关系以及三角函数符号的判定．点评：解决此类问题的关键是掌握诱导公式、同角三角函数基本关系以及三角函数符好的判定方法．诱导公式的记忆应结合图形记忆较好，难度一般．18、（1）（2）该高三学生的记忆力x和判断力是正相关；判断力为4的同学的记忆力约为9【解题分析】

（1）根据所给数据和公式计算回归方程的系数，注意回归直线过中心点，得回归方程；（2）根据回归系数的正负可得正相关还是负相关，令代入可得估计值．【题目详解】（1），，，，，，故线性回归方程为.（2）因为，故可以判断，该高三学生的记忆力x和判断力是正相关；由回归直线方程预测，判断力为4的同学的记忆力约为9.【题目点拨】本题考查求线性回归直线方程，考查变量的相关性及回归方程的应用．回归方程中的系数的正负说明两数据的正负相关，系数为正，则为正相关，系数为负，则为负相关．19、（1）（2）【解题分析】试题分析：（1）将已知条件转化为首项和公差表示，解方程组可求得基本量的值，从而确定通项公式；（2）首先化简数列的通项公式，结合特点采用分组求和法求解试题解析：（1）∵数列是等差数列，是其前项和，.∴，解得，∴.（2）∵，考点：数列求通项公式及数列求和20、(1)AB的长为1．(2)6．【解题分析】

（1）利用余弦定理解方程，解方程求得的长.（2）根据的值，求得的值，由三角形面积公式，求得三角形的面积.【题目详解】（1）∵a＝7，b＝8，．∴由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，可得：64＝49+c2﹣2，可得：c2+2c﹣15＝0，∴解得：c＝1，或﹣5（舍去），可得：AB的长为1．（2）∵，B∈（0，π），∴sinB，又a＝7，c＝1，∴S△ABCacsinB6．【题目点拨】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查同角三角函数的基本关系式，考查运算求解能力，属于基础题.21、（1）见解析；（2）；（3）【解题分析】

试题分析：(1)利用题中所给的定义，通过二次函数的判别式大于0，证明二次函数有局部对称点；(2)利用方程有解