近代光学信息处理课件

傅里叶光学基础*光学信息处理*1.1二维傅里叶分析1.1.1定义及存在条件复变函数器g(x,y)的傅里叶变换可表为

G(u,v)

=F{g(x,y)}=

∞-∞g(x,y)exp[-i2

(ux+vy)]dxdy(1)称g(x,y)为原函数，G(u,v)为变换函数或像函数。(1)式的逆变换为

g(x,y)

=F-1{G(u,v)

}=

∞-∞G(u,v)exp[i2

(ux+vy)]dudv

(2)*光学信息处理*傅里叶-贝塞尔变换

设函数g(r,

)=g(r)具有圆对称，傅里叶-贝塞尔变换为

G(

)

=B{g(r)}=2

∞org(r)Jo(2

r)dr其中Jo为第一类零阶贝塞尔函数傅里叶-贝塞尔逆变换为

g(r)

=B-1

{G(

)}=2

∞o

G()Jo(2

r)d

*光学信息处理*

变换存在的条件为

(1)g(x,y)在全平面绝对可积；

(2)g(x,y)在全平面只有有限个间断点，在任何有限的区域内只有有限个极值；

(3)g(x,y)没有无穷大型间断点。以上条件并非必要，实际上，“物理的真实”就是变换存在的充分条件。以下我们常用g(x,y)

G(u,v)表示变换对．对于光学傅里叶变换，x，y是空间变量，u，v

则是空间频率变量。在一维情况下，有时也用希腊字母v

表示频率变量。*光学信息处理*1.1.2δ函数的傅里叶变换由δ函数的定义容易得到

δ(x-xo,y-yo)

exp[-i2

(uxo+vyo)](3)当xo=0，yo=0时得到δ(x,y)

1

(4)上式的物理意义表示点源函数具有权重为l的最丰富的频谱分量．因此光学中常用点光源来检测系统的响应特性，即脉冲响应．(3)式还可表为,δ(x-xo,y-yo)=

∞-∞exp{-i2[u(x-xo)+v(y-yo)]}dudv它正是δ函数的积分表达式．根据δ函数的偏导数的定义

∞-∞δ(n)(x)g(x)dx=(-1)ng(n)(0)(6)得到δ(k,l)(x,y)的傅里叶变换

δ(k,l)(x,y)=

k+lδ(x,y)/xkyl

)

(i2

u)k(i2

v)l

(7)*光学信息处理*1.1.3傅里叶变换的基本性质(1)线性

(linearity)Ag(x,y)+Bh(x,y)

AG(u,v)+BH(u,v)(8)(2)缩放及反演(scalingandinversion)g(ax,by)

G(u/a,v/b)/|ab|(9)上式表明空域信号的展宽将引起频域信号的压缩.特别是当a=b=-1时，得到反演的变换性质：

g(-x,-y)

G(-u,-v)(10)(3)位移(shift)g(x+xo,y+yo)

exp[i2

(uxo+vyo)]G(u,v)(11)上式表示原函数的位移引起变换函数的相移.(4)共扼(conjugation)g*(x,y)

G*(-u,-v)(12)*光学信息处理*(5)卷积

(convo1ution)g(x,y)和h(x,y)的卷积定义：g(x,y)

h(x,y)=

∞-∞g(

,

)h(x-,y-)dd易证明:g(x,y)

h(x,y)

G(u,v)H(u,v)

δ函数的卷积有特殊的性质：

g(x)

δ(x-xo)=g(x-xo)(15)g(x,y)

δ(k,l)(x,y)=g(k,l)(x,y)(16)(6)导数的变换公式可由(7)式导出

g(k,l)(x,y)

(i2

u)k(i2

v)l

G(u,v)(17)*光学信息处理*(7)相关(correlation)函数g(x,y)和h(x,y)的相关定义为

g(x,y)

h(x,y)=

∞-∞g(

,

)h(x+,y+)dd

当g=h时成为自相关，有

g(x,y)

g(x,y)=

∞-∞g(

,

)g(x+,y+)dd

相关的变换可以利用卷积的变换公式导出：

g(x,y)

h(x,y)=g*(-x,-y)

h(x,y)

G*(u,v)H(u,v)g(x,y)

g(x,y)

∣G(u,v)∣2(21)

自相关与功率谱构成傅里叶变换*光学信息处理*(8)矩

(moment)g(x,y)的(k,l)阶矩定义为

Mk,l=

∞-∞g(x,y)xkyldxdy(22)

将逆变换表达式(2)代入上式，得到Mk,l=

∞-∞G(u,v)dudv

∞-∞xkylexp[i2

(ux+vy)]dxdy

由δ函数导数的变换表达式(7)，上式内部的积分

∞-∞xkylexp[i2

(ux+vy)]dxdy=(i2)-k-lδ(k,l)(u,v)矩的表达式

Mk,l=(-i2)-k-lG(k,l)(0,0)*光学信息处理*(9)Parseval定理

g(x,y)

h(x,y)

G*(u,v)H(u,v)式可用逆变换表达式改写为

∞-∞g(

,

)h(x+,y+)dd

=

∞-∞G*(u,v)H(u,v)exp[i2

(ux+vy)]dudv

令x=y=0，上式为

∞-∞g(

,

)h(,)dd=

∞-∞G*(u,v)H(u,v)dudv

这一关系式称为Parseval定理．当h=g时，上式化为

∞-∞

g(

,

)

2dd=

∞-∞

G(u,v)

2dudv该式又称完备关系式，实际上是能量守恒定律在空域和频域中表达式一致性的表现．*光学信息处理*1.1.4特殊函数及其傅里叶变换1、rect(x)，

(x)及sinc(x)函数定义(1)rect(x)函数

rect(x)=1，|x|

½rect(x)=0，其他(2)

(x)函数

(x)=1-|x|，|x|1

(x)=0，其他(3)sinc(x)函数

sinc(x)=(sinx)/x*光学信息处理*½-½11-11.1.4特殊函数及其傅里叶变换rect(x)，

(x)及sinc(x)函数傅里叶变换：傅里叶变换分别为

rect(x)

sinc(u)

sinc(x)

rect(u)

(x)

sinc2(u)*光学信息处理*1.1.4特殊函数及其傅里叶变换2、符号函数sgn(x)和阶跃函数step(x)符号函数sgn(x)定义

sgn(x)=1，x>0sgn(x)=0，x=0sgn(x)=-1，x<0阶跃函数step(x)定义

step(x)=1，x>0step(x)=0，x<0*光学信息处理*oo1.1.4特殊函数及其傅里叶变换sgn(x)函数和step(x)函数傅里叶变换傅里叶变换为

sgn(x)

1/iustep(x)=sgn(x)/2+1/2

1/i2u+(u)/2

利用step(x)的变换式及卷积定理，可求出积分

x-∞g(

)d

的变换：

x-∞g(

)d=∞-∞g(

)step(x-

)d

=g(x)

step(x)

G(u)[1/i2u+(u)/2]*光学信息处理*1.1.4特殊函数及其傅里叶变换3、周期函数设函数g(x)可展开为傅里叶级数

g(x)=

∞-∞Cnexp(i2n

fox)(38)式中Cn=(1/X)

X/2-X/2g(x)exp(-i2n

fox)dx周期X=1/fo．对(38)式两边取傅氏变换得

G(u)=

∞-∞Cn

(u-nfo)(40)推导中用到积分变换式：

(u-nfo)

exp(i2

nfox)

．*光学信息处理*1.1.4特殊函数及其傅里叶变换g(x)=

∞-∞Cnexp(i2n

fox)

G(u)=

∞-∞Cn

(u-nfo)(40)4、函数comb(x)

comb(x)=

∞-∞(x-n)

=

∞-∞exp(i2n

x)(42)系数Cn=1．因此由(40)式可得

comb(x)

comb(u)(43)*光学信息处理*1.1.4特殊函数及其傅里叶变换4、函数comb(x)

设X为实数常数，则有(1/X)g(x)

comb(x/X)=(1/X)

∞-∞g(

)comb[(x-)/X]d

=(1/X)

∞-∞g(

)

∞-∞[(x-)/X-

n]d

=

∞-∞

∞-∞g[X(/X)][x/X-

/X-n]d(

/X)=

∞-∞g[X(x/X-n]=

∞-∞g(x

-nX)(44)结果得到了以nX(n=0，±1，±2，…)为中心的一系列重复出现的波形g(x

-nX)，这一现象称为“复现”．

*光学信息处理*1.1.4特殊函数及其傅里叶变换4、函数comb(x)gs(x)=g(x)comb(x/X)

=g(x)

∞-∞(x/X-n)

=

∞-∞g(nX)(x-nX)gs称g的抽样函数，X为抽样间隙，xn=nX称样点，g(xn)称样值．所以g(x)的抽样函数gs(x)是以样值为权重的

函数序列．*光学信息处理*1.1.5功率谱与空间自相关函数由Parseval定理

∞-∞

g(x,y)

2dxdy=

∞-∞

G(u,v)

2dudv

g(x,y)为光场的复振幅分布，

g(x,y)

2代表光强分布，

G(u,v)

2则表示单位频率间隔的光能量，称为功率谱，用s(u,v)表示为s(u,v)=

G(u,v)

2(46)

根据变换定理，我们得到g(x,y)

g(x,y)

∣G(u,v)∣2=

s(u,v)(47)*光学信息处理*1.1.5功率谱与空间自相关函数g(x,y)

g(x,y)

∣G(u,v)∣2=

s(u,v)(47)g

g

在光学上称为空间自相关函数．上式表示功率谱是空间自相关函数的傅氏变换．

空间自相关函数表征空间相距为(x,y)的两点之间场的相似性或关联性，它是场的空间相干性的度量。场的相干性较高时，功率谱的弥散就较小，表示光功率在频域内集中在很小的区域中(可称为准单色光)；反之当场的相干性较差时，功率谱的弥散就较大，表示光功率在频域中分布在较大的区域内，包含较宽的波段。*光学信息处理*1.2空间带宽积和测不准关系式1.2.1空间带宽积与自由度如果信号g在频域内不为零的分量限制在某一区域内，则称为“带限函数”。1、Whittaker-Shannon抽样定律：带限函数g(x,y)被它的抽样值的无穷集合{gmn=g(m/

u,n/v)}完全确定，式中

u

，

v

是频带的宽度，m,n=0,±l,±2,…。*光学信息处理*1.2.1空间带宽积与自由度2、空间带宽积与自由度傅氏变换及解析函数的一般理论告诉我们：

频域内的带限函数，在空域内必然扩展到全平面，因为带限函数的傅里叶变换是一个解析函数，它不可能在一个有限的区域内处处为零，否则通过解析开拓就可以证明这个函数在全平面内处处为零．*光学信息处理*1.2.1空间带宽积与自由度2、自由度实际信号测量系统的输入平面总是有限制的，设信号被限制在r[-x/2,

x/2,-y/2,

y/2]矩形区域内，又设系统的带宽

u，

v

与抽样间隙X，Y满足倒数的关系，则在r

内共有抽样点N个，

N

=xy/XY=xyu

v=SW(1)式中S=xy,W=

u

v

。SW称空间带宽积，是评价系统性能的重要参数，(1)式指出通过系统的样点数等于空间带宽积．*光学信息处理*

因为一个在频域中非无限扩展的信号(带限信号)，在空域中必然是无限扩展的，若用一个具有有限大小的输入端面的系统对该信号进行测量，必然造成信息量的损失，使测量结果失真。

例如信号分布在矩形r

内，那么这个信号就被它的N个样值基本上确定了。我们称这个信号有N个自由度，显然自由度数等于空间带宽积．*光学信息处理*

如果系统的输入端面的尺寸小于r，则自由度数将小于N．所以空间带宽积与其说是信号的特征，还不如说是系统的特征，因为系统有限的空域和频域尺寸限制了通过它的信息量．

例如对于一个成像系统，限制空域尺寸的是视场光阑的大小，限制频域尺寸的是孔径光阑的大小。显然视场越大、孔径越大的系统能传递更多的信息．*光学信息处理*1.2.2系统的分辨率

考虑一个低通滤波性能的系统的分辨率，即输入平面上能被系统分辨开来的两个点的最小间距(最小分辨长度)的倒数。由抽样定理可知，对任意输入信号g(x,y)来讲，由于系统频率响应特性的限制，其效果都是带限的，因此可以用抽样函数gs(x,y)来代替它。只要抽样点充分稠密，即条件

X≤1/

u，Y≤1/

v

(4)满足时，对于系统输出端而言，gs和g等价，在输出端并不能觉察出gs的周期结构，或者说gs包含的脉冲是不可分辨的。*光学信息处理*1.2.2系统的分辨率

当条件(4)不满足时，gs和g对于输出端不再等价，从而在输出端就能觉察出gs的周期结构，或者讲gs中两个相邻脉冲能够被系统分辨开来。这样，系统的最小分辨长度x和y应当与(4)式表示的X，Y同数量级，从而与带宽成反比：

x1/

u，

y

1/

v(5)最小分辨长度与空间带宽积的关系为

xy

x

y/SW(6)可见在给定输入端面尺寸x，y后，SW越大，最小分辨长度就越小，系统的分辨率就越高，测量过程的失真越小。*光学信息处理*1.2.3等效带宽和测不准关系仅考虑一维情况

G(u)=

∞-∞g(x)exp(-i2

ux)dx(7)

g(x)=

∞-∞G(u)exp(i2

ux)du

(8)

由以上两式可得

G(0)=

∞-∞g(x)dx(9)

g(0)=

∞-∞G(u)du(10)

设信号在空域和频域中不显著为0的分量都集中在原点近旁有限区域内，则可用近似度量g(x)和G(u)的弥散或展宽的程度．引入和：*光学信息处理*(11)(12)

意义：

如一个矩形高度等于G(0)，面积与曲线G(u)下的面积相同，则它的宽度为，又称为“等效带宽”。*光学信息处理*等效带宽

Goodman提出了等效带宽的概念，它是频谱曲线展宽程度的某种度量，G(u)越宽，越大，因而常用来评价系统的性能。G(u)

将(11)、(12)交叉相除得到(13)由于可表征信号在空域的展宽或弥散，上式意味着信号在空域和频域中的展宽是互相制约的．假设要对信号进行长度或位置测量，测量系统可看成是对被测对象的一个变换，在位置测量时必须使系统首先“对准”空间的一个定点或长度的一个端点，该点可以用

函数表示，它就是系统的输入，而输出恰恰就是系统的脉冲响应h。必须指出，通过测量我们只能获得h所包含的信息，我们永远无法直接得到被测点本身．*光学信息处理*所有测量系统的等效带宽都是有限的，从而

函数的脉冲响应h就有一定的弥散，它表征了对准误差，因而也就是系统空间分辨率大小的度量．注意到取决于整个频谱函数G(u)，因此两个系统即使有等同的截止频率，由于G(u)不相同，也会得到不同的等效带宽，因而也不一致．一般来讲，越大，频响特性就越好，脉冲响应的弥散就越小．由于=∞的系统不存在，所以永远不等于0．在这个意义上讲，测量永远都不是绝对准确的，(13)式称为光学系统的测不准关系，它与量子力学中的测不准关系实质上一致．*光学信息处理*1.2.4广义测不准关系(

x)2(u)2≥1/162或

x

u≥1/4(18)*光学信息处理*1.3平面波的角谱和角谱的衍射

从变换光学入手来讨论衍射效应．1.3.1角谱设单色光波沿z方向传播，照射到xy平面上，在xy平面上的光场复振幅分布用函数

(x,y,0)=

(x,y)=

∞-∞A(u,v)exp[i2

(ux+vy)]dudv

(1)一个波矢量为k的平面波

o(x,y,z)=A(u,v,z)exp(ik·r)=A(u,v,z)exp[i2

(

x+

y+z)/

]其中

,

和

是k的方向余弦．*光学信息处理*1.3平面波的角谱和角谱的衍射1.3.1角谱

(x,y,0)=

∞-∞A(u,v)exp[i2

(ux+vy)]dudv(1)引入矢量a=(

,

),则在z=0的平面上

o(x,y,0)=A(u,v)exp(i2

a·r/

)=A(u,v)exp[i2

(

x+

y)/

](4)将(4)式和(1)式作比较，得u=

/,v=/

(5)则(1)式可用a表示为

(x,y)=

∞-∞A(

/

,

/

)exp[i2

(

x+

y)/

]d(

/)d(/)

(6)上式表示：z=0平面上的场，即透过xy平面向+z方向传播的波，可用不同方向的平面波展开．*光学信息处理*1.3平面波的角谱和角谱的衍射u=

/,v=/

(5)

(x,y)=

∞-∞A(

/

,

/

)exp[i2

(

x+

y)/

]d(

/)d(/)

(6)(5)式表示空间频率正比于

/

或

/

，在

(x,y)中的低频分量对应于与轴夹角不大的平面波分量。而高频分量则对应于与z轴夹角较大的平面波分量。不同方向的平面波的权函数A(

/

,

/

)

称为

(x,y)的角谱，和空间频谱的实质是相同的。

A(

/

,

/

)与

(x,y)

的关系就是傅里叶变换：

A(

/

,

/

)=

∞-∞

(x,y)exp[-i2

(

x+

y)/

]dxdy(7)(6)和(7)两式构成傅里叶变换对。*光学信息处理*1.3.2角谱的传播首先A(

/

,

/;z)与A(

/

,

/

)的关系为:A(

/

,

/;z)=

∞-∞

(x,y,z)exp[-i2

(

x+

y)/

]dxdy

(x,y,z)=

∞-∞A(

/

,

/;z)exp[i2

(

x+

y)/

]d(

/)d(/)以

(x,y,z)

代入亥姆霍兹方程，交换积分与微分的次序，可知A(

/

,

/;z)

也满足亥姆霍兹方程：(d2/dz2+kz2)A(

/

,

/,z)=0(10)式中

(11)(10)式的一个解是(12)*光学信息处理*1.3.2角谱的传播

当

2+

2<1时，光波沿+z方向传播的效果，在频域内表现为乘以一个沿z轴的相位延迟因子

.在第二章，我们将看到这一效应等价于空间滤波．当

2+

2>1时，取正数，则角谱为

A(

/

,

/;z)=A(

/

,

/

)exp(-i2

z/

)表示一个随z的增大迅速衰减的波，称隐失波，它只存在于很接近于xy平面的一个薄层内，这是近场光学要讨论的问题．*光学信息处理*1.3.3菲涅耳衍射将(12)式中相因子内的根号作泰勒展开：(14)在上式中只保留二级小量，则

A(

/

,

/;z)=A(u,v)exp[i2

z(1-

2

2/2)/

]=A(u,v)exp(i2

z/)exp(-i

z

2)=A(u,v)exp(i2

z/)exp[-i

z(u2+v2)]由于A(u,v)

(x,y)exp[-i

z(u2+v2)]

exp[-i

(x2+y2)/

z]/iz

(x,y,z)

A(

/

,

/;z)*光学信息处理*A(

/

,

/;z)=A(u,v)exp(i2

z/)exp[-i

z(u2+v2)]A(u,v)

(x,y)exp[-i

z(u2+v2)]

exp[-i

(x2+y2)/

z]/iz

(x,y,z)

A(

/

,

/;z)卷积的性质:g(x,y)

h(x,y)

G(u,v)H(u,v)相应的空域信号为

(x,y,z)=exp(i2

z/)(x,y)

exp{i[(x2+y2)]/

z}/iz(16)=exp(i2

z/)/iz∞-∞

(

,

)exp{i[(x-

)2+(y-)2]/

z}dd上式即为菲涅耳衍射的公式，积分在z=0的平面进行，式中

(x,y)表示z=0的光场复振幅分布。*光学信息处理*1.3.4夫琅和费衍射若

z>>

(

2+

2)/

(17)则菲涅耳衍射的公式化为

(x,y,z)=exp(i2

z/)/izexp[i

(x2+y2)/

z]×∞-∞

(

,

)exp[-i2

(

x+y)/

z]dd(18)(18)就化为远场衍射即夫琅和费衍射的情况。(18)式还可表为

(x,y,z)=(A/z)

(x/z,y/z)(19)上式表示除了与积分变量无关的相位因子A以外，

为

的傅里叶变换，频域宗量为x/z

及y/z

．*光学信息处理*1.3.5角谱的衍射

设在xy平面上有一不透光的屏，屏上带一透光的孔，孔的复数透过率用光瞳函数p(x,y)来表示，p(x,y)可以是复数．这样，屏后面的透射场

t可用入射波的场

i表为

t(x,y)

=i(x,y)

p(x,y)

(20)在频域中，上式变为

At(

/

,

/)=Ai(

/

,

/)

P(

/

,

/)(21)式中P为p的角谱．(21)式说明透射波角谱为入射波角谱与光瞳函数角谱的卷积．引入光阑后，一般来讲信号的空间分布受到压缩．*光学信息处理*

根据测不准原理，信号在频域中的分布必然展宽.(21)式所示的卷积运算的结果，总是使入射波的角谱变得更加平滑，换言之，有更多的能量扩散到高频段中去．

(12)式为角谱在自由空间中的衍射公式.如果考虑到xy平面上光瞳函数的作用，(12)式改写为

(22)(12)式或(22)式原则上可以解决任何光波的传播及衍射问题．*光学信息处理*1.4透镜系统的傅里叶变换性质远场衍射即夫琅和费衍射

(x,y,z)=exp(i2

z/)/izexp[i

(x2+y2)/

z]×∞-∞

(

,

)exp[-i2

(

x+y)/

z]dd(18)

(18)式表明，远场衍射具有傅里叶变换的特性．由于薄透镜或透镜组的后焦面等价于∞，因而可以想像凡是具有正焦距的光学系统都应当具有傅里叶变换的功能．*光学信息处理*

设用振幅为l的单色平面波照射一个在xy平面上，且振幅透过率为g(x,y)的物体，则物体后面的场为g(x,y)．光场展开成为平面波角谱：g(x,y)=

∞-∞G(

/

,

/

)exp[i2

(

x+

y)/

]d(

/)d(/)*光学信息处理*

由于透镜组具有聚焦的特性，所有方向相同，即具有同样的方向余弦

,

的入射波都将会聚到透镜组后焦面的一点Q(u,v)上。当透镜组焦距f>>(u2+v2)1/2时，即Q点很接近于原点时，有下面的近似等式

u≈

f,v≈

f

(2)

g(x,y)的角谱中所有方向余弦为

,

的角谱分量都对Q点有贡献，Q点的的复振幅自然就等于G(

/

,

/

)，因而后焦面上的复振幅分布为

G(

/

,

/

)=G(u/f,v/f)

(3)*光学信息处理*

这样，透镜组的后焦面就成为信号的频域，透镜组起了傅里叶变换的作用。大部分具有聚焦性能的器件，例如反光镜、自聚焦透镜等，都具有傅里叶变换的功能。薄透镜的傅里叶变换功能可以直接计算出来，但它只是光学傅里叶变换器件的一个特例．我们用u，v来表示频域的坐标，也可以表示空间频率变量。在一维的情形下也用v来表示空间频率变量。*光学信息处理*注意u

≈

f,v

≈

f(2)只是近轴近似．严格来说，

u

=ftg=f

/(1-2)1/2

(4)

式中

是波矢量k与z轴的夹角。为简单起见，设k位于xz平面内．(4)式又称正切条件，只是在

很小时，才满足(2)式。当

较大时，傅里叶平面(后焦面)上的线度u与空间频率/

并不满足正比关系。*光学信息处理*

从几何光学知道，一个像差校正得很好的透镜必须满足正弦条件，而正弦条件与正切条件是难以同时满足的，所以，性能完善的傅里叶变换透镜是很难设计的。

不过在大多数情况下，光学变换是作为近似的模拟变换而加以应用的，再说推导薄透镜的相位变换公式时已经引入了近轴近似。在大多数应用中，无论是薄透镜或是透镜组仍然是最方便、廉价的光学傅里叶变换器件。*光学信息处理*透镜系统的相位变换公式

由于透镜系统能将平面波转换成球面波，所以它的相位变换效应可以表为

tl=exp(ik)exp(–ikr)/r(5)

式中

为透镜组的等效厚度。r=OP，O是会聚球面波的中心，也是透镜系统的焦点，OQ=OM=f，f为焦距，在近轴近似下，PQ≈MN=h，*光学信息处理*tl=exp(ik)exp(–ikr)/rr=f+PQ≈f+h。因为

2+2

+f2=r2≈

(f+h)2

→

2+2

≈(f+h)2-f2≈2fh→h≈(

2+2)/2f所以r≈f+h=f+(

2+2)/2f(6)

式中(,)是P点坐标，代入(5)式，取分母上的r≈f,得透镜系统的相位变换公式

tl=exp[ik(-f)]exp[–ik(

2+2)/2f]/f(7)*光学信息处理*透镜系统对图像的变换公式

设光波在dl和d2范围内的传播满足菲涅耳近似条件，则由1.3节(16)式透镜前表面的场

l可表为

l(

,

)=eikd1/id1

×∞-∞

o(x,y)exp{ik[(

-x)2+(-y)2]/2d1}dxdy(8)透镜L的相位变换效应可表为

l’(

,

)=tl

l=(e-ikf/f)exp[-ik(

2+2)/2f]

l(

,

)(9)其中略去了常数相位项exp(ik

)．*光学信息处理*

设输入平面的透过率为

o(x,y)，它位于透镜L前dl处．输出平面uv位于L后d2处。物体用振幅为1的单色光波照明。利用菲涅耳变换公式，得到输出平面(u,v)上的场

l(u,v)=exp(ikd2)/id2×∞-∞

l’(

,

)exp{ik[(u-

)2+(v-)2]/2d2}dd(10)将(8)，(9)代入(10)式，得

l(u,v)=-exp(ik(d1+d2-f)exp[ik(u2+v2)/2d2]/

2d1d2f×∞-∞

o(x,y)exp[ik(x2+y2)/2d1]I(x,y)dxdy

(11)其中I(x,y)=

∞-∞exp{ik/2[(1/d1+1/d2-1/f)(2+

2)]-2(x/d1+u/d2)-2(y/d1+v/d2)}dd

=I1(x,y)I2(x,y)(12)Ij=

∞-∞exp[i(k2/2-kj)]d(j=1,2)(13)=1/d1+1/d2-1/f,1=

x/d1+u/d2,2=

y/d1+v/d2*光学信息处理*

讨论：以(15),(16)式代入(12)式，再代入(11)式，经整理，得到*光学信息处理*(a)

≠0(15)(16)(18)

当d2=f，即以后焦面作为输出平面，则(18)式化作

(19)此时

是

o的傅里叶变换(相位因子除外，在探测光强时相位因子不起作用)，宗量是(u/f,v/f)．*光学信息处理*

当d2=f,d1=f

时，相位因子消去，

(20)

是

o的傅里叶变换在一般情况下，d1和d2与f并不相等．在这种情况下，有可能实现广义傅里叶变换(分数阶傅里叶变换)。我们将在第五章中详细讨论这一课题。*光学信息处理*(b)

=1/d1+1/d2-1/f=0，即输入输出平面关于透镜组满足成像关系，此时I1=d1(x-u/)(21)I2=d2(y-v/)(22)式中

=-d2/d1

为系统的横向放大率．以(21)、(22)式代入(12)、(11)式得

(23)在输出平面上得到放大

倍的像，回到几何光学的结果．这个结论只是近似成立的，因为我们完全不考虑光瞳函数的影响，也忽略了透镜的像差．*光学信息处理*

经典光学信息处理*光学信息处理*2.1引言信息：客观事物的运动状态的表征和描述。能量从能量源传递到探测器，在能量传递过程中伴随着信息的传递，就形成信号。探测到的能量中所包含的不需要的信息则称为噪声。光学信息：指光的强度(或振幅)、相位、颜色(波长)和偏振态等。本课程光学信息特指光强分布所形成的图像，它可以是日常生活中自然图像，也可以是人造的或人工模拟的图像。光学信息处理：指的是光学图像的产生、传递、探测和处理。所需要的图像称为信号，在处理过程中伴生的不需要的图像称噪声。本章介绍经典的光学信息处理，被处理的图形是真实物体的像．*光学信息处理*1873年，德国科学家阿贝(Abbe)创建了二次成像理论，为光学信息处理打下了一定的理论基础1935年，物理学家策尼克(Zernike)发明了相衬显微镜，将相位分布转化为强度分布，成功地直接观察到微小的相位物体——细菌。1963年，范德拉格特(A.VanderLugt)提出了复数空间滤波的概念，使光学信息处理进入了一个广泛应用的新阶段。20世纪80年代以后，随着关键器件——空间调制器的日益完善，光学信息处理以其速度快、抗干扰能力强、并行处理等特点逐渐显示其独特的优越性，成为当今最热门学科方向。*光学信息处理*2.2早期发展1、阿贝(Abbe)二次衍射成像理论认为相干照明下显微镜成像过程可分做两步：物面上发出的光波经物镜，在其后焦面上产生夫琅禾费衍射，得到第一次衍射像；衍射像作为新的相干波源，由它发出的次波在像面上干涉而构成物体的像，称为第二次衍射像。*光学信息处理*阿贝研究结论：

显微镜的相对孔径越大，系统的通频带越宽，物体中所包含的高频信息在成像过程中的损失就越少，像的质量就越高。相对孔径越小，在传递过程中高频信息的损失就越大，像的失真或畸变就越严重，清晰度或分辨率越低。*光学信息处理*2、阿贝—波特系列实验

阿贝于1873年、波特于1906年分别做了实验。部分实验内容及结果:*光学信息处理**光学信息处理*部分实验内容及结果:

由实验结果归纳出几点结论如下：1.实验充分证明了阿贝成像理论的正确性：像的结构直接依赖于频谱的结构，只要改变频谱的组分，便能够改变像的结构；2.实验充分证明了傅里叶分析的正确性：(1)频谱面上的横向分布是物的纵向结构的信息(图B)；频谱面上的纵向分布是物的横向结构的信息(图C)；(2)零频分量是一个直流分量，它只代表像的本底(图D)；*光学信息处理*

由实验结果归纳出几点结论如下：(3)阻挡零频分量，在一定条件下可使像发生衬度反转(图E)；(4)仅允许低频分量通过时，像的边缘锐度降低；仅允许高频分量通过时，像的边缘效应增强；(5)采用选择型滤波器，可望完全改变像的性质(图F)。*光学信息处理*2.3傅里叶处理器

1960年，Cutrona等明确提出用透镜进行傅里叶变换的方案。*光学信息处理*略去相位因子

前焦面输入复振幅函数f(x,y)，后焦面的复振幅函数就是f(x,y)的傅里叶变换，记为F(u，v)。4f光学信息处理系统输入平面：输入信号函数f(x,y)；谱平面(两个透镜的共同焦面)：傅里叶谱F(u,v)；输出平面：输出信号函数f(,)。信号的频谱从抽象的数学概念变成了物理现实。注意所有的探测器，包括眼睛，都只能探测到光强，即振幅的模的平方。*光学信息处理*用两个透镜L1和L2构成著名的4f系统。4f光学信息处理系统

借助于符号F，可以把(1)及(2)式表为

F(u,v)=F

{f(x,y)}(3)f(x’,y’)=F{F(u,v)}(4)这里(x’,y’)是输出平面上的坐标，坐标轴方向与(z，y)相同，它可以用傅里叶逆变换表示如下：f(-x’,-y’)=F-1

{F(u,v)}(5)由图2.5，有

=

-x’及

=-y’，从而得到f(

,

)=F-1

{F(u,v)}(6)这样，顺序进行的两次变换可以用图2.6表示.*光学信息处理*图2.6包含傅里叶变换及逆变换的傅里叶处理系统F{f}F-1{F}f(x,y)F(u,v)f(

,

)2.4线性系统与卷积线性系统的定义：设g1(

,

)＝L

{f1(x,y)}(1)g2(

,

)＝L

{f2(x,y)}(2)则有αg1(

,

)+βg2(

,

)

=L

{αf1(x,y)}+L

{βf2(x,y)}式中α，β

为常数。卷积的定义：f

(x,y)*h(x,y)=g(x,y)=

∞-∞f(

,

)h(x-,y-)dd引入:g1(x,y)=

∞-∞f1(

,

)h(x-,y-)ddg2(x,y)=

∞-∞f2(

,

)h(x-,y-)dd可得:αg1(

,

)+βg2(

,

)

=

∞-∞[αf1(x,y)

+β

f2(

,

)]h(x-,y-)dd

这样就证明了卷积是线性运算.*光学信息处理*

如果输入函数是

(x,y)，则输出g(x,y)=h(x,y)

h(x,y)称为系统对脉冲的响应(简称脉冲响应)．当输入是一个点或一个脉冲时，其振幅是

(x,y)，输出振幅函数即h(x,y)，观察到的光强函数则为|h(x,y)|2，它表示一个物点所形成的像的弥散，称点扩散函数．成像过程可以看成是线性变换．物点

→透镜

→弥散像原始的物体看成是大量点的集合，则该物体通过光学系统形成的像将是同样数量的弥散的光斑的集合.对于非相干情况，f(x,y)，h(x,y)和g(x,y)均为光强，h(x,y)直接表示点扩散函数，不需求平方。*光学信息处理*2.5空间滤波f

(x,y)*h(x,y)=g(x,y)=

∞-∞f(

,

)h(x-,y-)dd

设f，h

和g

的傅里叶变换分别为F，H和G，则根据卷积的变换定理，我们得到G(u,v)＝F(u,v)H(u,v)传递函数:脉冲响应h(x,y)的傅里叶变换H(u,v)它表征系统对输入信号的传递性能，使输入信号转换成输出信号。一般来讲，可把线性系统的成像，等价为图2.6所示的两步过程来模拟。或者用4f光学系统来实现。进一步，一个畸变像可以借助于4f光学系统来校正。空间滤波：改变频谱成分的操作。*光学信息处理*1、空间滤波的傅里叶分析下面仅讨论一维情况，并利用4f系统进行滤波。设物为朗奇(Ronchi)光栅，其透过率函数为：

t(x)=|(1/d)rect(x/a)*comb(x/d)|rect(x/B)式中d为缝间距，a为缝宽，B为光栅总宽度。*光学信息处理*

将物置于4f系统输入面上，频谱为T(u)=F{t(x)}=(aB/d){sinc(Bu)+sinc(a/d)·sinc[B(u–1/d)]+sinc(a/d)·sinc[B(u+1/d)]+…}

其中u=x/f。式中第1项为零级谱，第2、3项分别为+1

、-1

级谱，后面依次为高级频谱，频谱的强度分布实际上是栅状物的夫琅禾费衍射。*光学信息处理*

在未进行空间滤波前，输出面上得到的是T(u)的傅里叶逆变换F-1{T(u)}，它应是原物的像t(x)。

滤波器采用狭缝或开孔式二进制(0，1)光阑，置于频谱面上。现分四种情况讨论：(1)滤波器是一个通光孔，只允许0级通过，其透过率函数为

F(u)=1|u|<1/BF(u)=0|u|

为其它值在滤波器后，仅有T(u)中的零级谱通过，其余项均被挡住，因而频谱面后的光振幅为

T(u)F(u)=(aB/d)sinc(Bu)

输出面上得到上式的傅里叶逆变换

t’(

)=F-1{T(u)F(u)}=F-1{(aB/d)sinc(Bu))}=(a/d)rect(/B)这与Porter实验D

结果相符。*光学信息处理**光学信息处理*t’(

)

(2)滤波器是一个狭缝，使0级和+1、-1级频谱通过。滤波后的光场复振幅为T(u)F(u)=(aB/d){sinc(Bu)+sinc(a/d)·sinc[B(u–1/d)]+sinc(a/d)·sinc[B(u+1/d)]}

输出面得到它的傅里叶逆变换t’(

)=F-1{T(u)F(u)}=(a/d)[rect(/B)+sinc(a/d)rect(/B)exp(i2/d

)+sinc(a/d)rect(/B)exp(-i2/d

)=(a/d)rect(/B)[1+2sinc(a/d)cos(2/d

)]

可知，像与物的周期相同，但由于失去高频信息而造成边缘锐度消失。*光学信息处理**光学信息处理*F(u)T(u)F(u)t’(

)

uu

(3)滤波器为双狭缝，只允许+2、-2级频谱通过。滤波后的光场复振幅为

T(u)F(u)=(aB/d){sinc(2a/d)·sinc[B(u–2/d)]+sinc(2a/d)·sinc[B(u+2/d)]}输出振幅为

t’(

)=F-1{T(u)F(u)}=(2a/d)sinc(2a/d)rect(/B)cos(4/d

)

可见像振幅的周期是物周期的1/2，实验中观察到的输出一般表现为强度分布，因而本例的像强度分布周期应是物周期的1/4。*光学信息处理**光学信息处理*F(u)T(u)F(u)t’(

)uu

(4)滤波器为一光屏，只阻挡零级，允许其他频谱通过。经过傅里叶变换后．像的分布有两种可能的情况：*光学信息处理*当a=d/2时，即栅状物的缝宽等于缝间隙时，像的振幅分布具有周期性，其周期与物周期相同，但强度是均匀的.t(x)F(u)t’(

)xu

I(

)

当a>d/2时，像的振幅分布向下错位，强度分布出现衬度反转，原来的亮区变为暗区，原来的暗区变为亮区。*光学信息处理*t(x)F(u)t’(

)xu

I(

)

2、滤波器的种类及应用举例

滤波器分为振幅型和相位型两类，可根据需要选择不同的滤波器。(1)振幅型滤波器振幅型滤波器只改变傅里叶频谱的振幅分布，不改变它的相位分布，通常用F(u,v)表示。它是一个振幅分布函数，其值可在0～1的范围内变化。如滤波器的透过率函数表达为

F(u,v)=1孔内

F(u,v)=0孔外则称其为二元振幅型滤波器。根据不同的滤波频段又可分为低通、高通和带通三类，其功能及应用举例如下：*光学信息处理*低通滤波器

低通滤波器主要用于消除图像中的高频噪声。例如，电视图像照片、新闻传真照片等往往含有密度较高的网点，由于周期短、频率高，它们的频谱分布展宽。*光学信息处理*低通滤波的例子(a)输入图像(b)用针孔滤掉高频的输出图像

图2.8低通滤波：高频成分被阻拦，输出图像不再带有高频成分，照片上就不出现光栅结构.*光学信息处理*高通滤波器

高通滤波器用于滤除频谱中的低频部分，以增强像的边缘，或实现衬度反转。其大体结构如左图所示，中央光屏的尺寸由物体低频分布的宽度而定。

高通滤波器主要用于增强模糊图像的边缘，以提高对图像的识别能力。由于能量损失较大，所以输出结果一般较暗。*光学信息处理*高通滤波器结构带通滤波器

带通滤波器用于选择某些频谱分量通过，阻挡另一些分量。带通滤波器形式很多，这里仅举几例。例1:正交光栅上污点的清除设正交光栅的透过率为to(x,y)，其上的污点为g(x,y)，边框为

(x,y).输入面光振幅为t

(x,y)=tog

设To、G、

分别是to、g、

的频谱，则频谱面得到T=To*G*

。由于to是正交光栅，因而它的频谱To为sinc函数构成的二维阵列，G、

分别为一阶贝塞尔函数。由于g的宽度小于

的宽度，所以G的尺寸大于

。*光学信息处理*采用带通滤波器：在每一个阵列点位置开一个通光小孔，其孔径应选择恰好使

通过，而使G的第一个暗点被阻挡。滤波后可在像面上得到去除了污点的正交光栅。*光学信息处理*带有污点的正交光栅零级频谱函数的一维剖面示意图例2：缩短光栅的周期

采用带通滤波狭缝，可有选择地允许光栅的某些频谱分量通过，以改变光栅的周期。如允许正、负一级通过，光栅的周期缩短一倍；如允许正、负二级和零级通过，光栅的周期也缩短一倍。例3：抑制周期性信号中的噪声如蛋白质结晶的高倍率电子显微镜照片中的噪声是随机分布的，而结晶本身却有着严格的周期性，因而噪声的频谱是随机的，结晶的频谱是有规律的点阵列。用适当的针孔阵列作为滤波器，把噪声的频谱挡住，只允许结晶的频谱通过，可有效地改善照片的信噪比。*光学信息处理*方向滤波器例1：印刷电路中掩模疵点的检查

印刷电路掩模的构成是横向或纵向的线条[见图(a)]，它的频谱较多分布在x、y轴附近。而疵点的形状往往是不规则的，线度也较小，所以其频谱必定较宽，在离轴一定距离处都有分布。可用图(b)所示的十字形滤波器将轴线附近的信息阻挡，提取出疵点信息，输出面上仅显示出疵点的图像，如图(c)所示。*光学信息处理*

例2：组合照片上接缝的去除

航空摄影得到的组合照片往往留有接缝，如图(a)所示。接缝的频谱分布在与之垂直的轴上，利用如图(b)所示的条形滤波器，将该频谱阻挡，可在像面上得到理想的照片，如图(c)所示。*光学信息处理*

例3：地震记录中强信号的提取

由地震检测记录特点可知，弱信号起伏很小，总体分布是横向线条，如图(a)所示，因此其频谱主要分布在纵向上。采用图(b)所示的滤波器，可将强信号提取出来，[见图(c)]，以便分析震情。*光学信息处理*2、相位型滤波器——相衬显微镜相位物体：物体本身只存在折射率的分布不均或表面高度的分布不均。相位型滤波器：只改变傅里叶频谱的相位分布，不改变它的振幅分布，其主要功能是用于观察相位物体。当用相干光照明时，相位物体各部分都是透明的，其透过率只包含相位分布函数

to(x,y)=exp[i

(x,y)]

用普通显微镜将无法观察这种相位物体。只有将相位信息变换为振幅信息，才有可能用肉眼直接观察到物体。1935年策尼克(Zernike)发明了相衬显微镜，解决了相位到振幅的变换，因此而获得诺贝尔奖。*光学信息处理*

已知当相位的改变量

小于1弧度时，其透过率函数可做如下近似：to(x,y)=exp[i

(x,y)]≈1+i

(x,y)未经滤波时，像的强度分布为I=toto*=(1+i

)(1-i

)≈1

根本无法观察到物体的图像，像面上只是一片均匀的光场。当在滤波面上放置一个相位滤波器，仅使物的零级谱的相位增加

/2(或3

/2)，则可使像的强度分布与物的相位分布成线性关系。由此可得物的频谱

T(u,v)=F{to(x,y)

}=F{1+i

(x,y)

}=

(u,v)+i

(u,v)

式中第一项为零频，第二项为衍射项。*光学信息处理*频谱面放置相位滤波器，其后的光场分布为

T’(u,v)=

(u,v)exp(±i

/2)+i

(u,v)=i[±

(u,v)+

(u,v)]

像面复振幅分布:t’=F–1{T’(u,v)}=i[±1+

(

,

)]像的强度分布为

Ii

=|t’|2=|±1+

(

,

)}|2=1±2

(

,

)可见，像强度Ii与相位

呈线性关系，也就是说像强度随物的相位分布线性地分布，这就实现了相位到振幅(强度)的变换。式中的±号代表正相位反衬和负相位反衬，前者表示相位越大像强度越大，后者则相反。例如，用相衬显微镜观察透明生物切片；利用相位滤波系统检查透明光学元件内部折射率是否均匀，或检查抛光表面的质量，等等。*光学信息处理*相衬法图2.2相衬法使相位物体变为可见

P为相位物体，I为透镜，PF为相位片，

AI为振幅图像，P用相干光照明．*光学信息处理*Schlieren方法

早在1864年在阿贝理论以前，Toepler就发明了相衬法，这一技术称为Schlieren方法，早先用来探测透镜的疵病。与相衬显微镜类似，在这一方法中，只是简单地把衍射图形挡去一半多一点，透镜中的疵病等相位物体就可以看见。*光学信息处理*HS是光阑，P仍用相干光照明．图2.3Schlieren方法使相位物体变为可见3、多重像的产生

方法：利用正交光栅调制输入图像设输入图像为g(x,y)置于P1平面；P2平面放置一正交朗奇光栅，其振幅透过率为

式中d为光栅常数。上式也可写成卷积形式，*光学信息处理*uv

在P2平面后的光场:u2’=F|g(x,y)|F(u,v)P3平面得到的输出光场:式中后两项的卷积形成了一个sinc函数的阵列，事实上它可近似看成是

函数阵列，物函数与之卷积的结果是在P3平面上构成输入图形的多重像。说明:

上面的推导过程中忽略了光栅孔径和透镜孔径的影响，但这无碍于对多重像产生过程的物理概念的理解。*光学信息处理**光学信息处理*多重像的产生uv

4、图像相减朗奇光栅编码

将d=2a朗奇光栅贴放在照相底片上，对像进行编码，如图所示。第1次曝光时，记录下乘以光栅透射因子t(x)的像A。t(x)可傅里叶级数展开为：*光学信息处理*(1)空域编码频域解码相减方法H∝IA[(1+R)/2]+IB[(1-R)/2]=(IA+IB)/2+(IA–IB)R/2

上式的物理意义:

在图像A和图像B相同的部分得到一张普