北师大版初二数学《一次函数》教（学）案

./一次函数知识点：函数的概念定义：在某一变化过程中,可以取不同数值的量,叫做变量,例如x和y,对于x的每一个值,y都有惟一的值与之对应,我们就说x是自变量,y是因变量,此时也称y是x的函数．例1：求下列函数中自变量x的取值范围：<1>；<2>．例2：圆柱底面半径为5cm,则圆柱的体积V〔cm3与圆柱的高h〔cm之间的函数关系式为,它是函数．知识点：一次函数的概念定义：一次函数：若两个变量x、y间的关系可以表示成〔k、b为常数,k≠0形式,则称y是x的一次函数〔x是自变量,y是因变量．特别地,当b＝0时,称y是x的____________．正比例函数是一次函数的特殊情况．例1：有下列函数：①y＝－x－2；②y＝－eq\f<2,x>；③y＝－x2＋〔x+1<x－2>；④y＝－2,其中不是一次函数的是．〔填序号例2：要使y＝〔m－2xn－1＋n是关于x的一次函数,则m、n应满足______________．例3：已知y=<k－1>是正比例函数,则k=．[变式练习]1、若函数y=<k＋1>x＋k2－1是正比例函数,则k的值为〔A．0B．1C．±1D．－12、若是正比例函数,则b的值是〔A.0B.C.D.3.下列关于x的函数中,是一次函数的是〔考点：正比例函数的图象和性质例1已知正比例函数y=kx<k≠0>的图象过第二、四象限,则〔A．y随x的增大而减小B．y随x的增大而增大C．当x<0时,y随x的增大而增大,当x>0时,y随x的增大而减小D．不论x如何变化,y不变例2已知是正比例函数,且y随x的增大而减小,则m的值为_______.[变式练习]1、正比例函数,当m时,y随x的增大而增大.2、函数y=<k－1>x,y随x增大而减小,则k的范围是<>A.B.C.D.考点：一次函数的图象和性质总结：一次函数的图象一次函数y=kx+b的图象是经过点<0,b>,〔－,0的一条直线正比例函数y=kx的图象是经过原点〔0,0的一条直线,如下表所示．例1：已知函数y=<m－3>x－,当m________时,y随x的增大而增大；当m_________时,y随x的增大而减小．例2：已知正比例函数y=<3k－1>x,y随着x的增大而增大,则k的取值范围是〔A．k<0B．k>0C．k<D．k>例3：如图,表示一次函数与正比例函数〔为常数,且图象的是〔ＯＯxyxyＯxyＯxyＯＡ．Ｂ．C．D．[变式练习]1、两个一次函数y1=mx＋n,y2=nx＋m,它们在同一坐标系中的图象可能是图中的〔2、已知函数,当时,y的取值范围是〔A.B.C.D.3、若关于x的函数是一次函数,则m=,n.4、若m<0,n>0,则一次函数y=mx+n的图象不经过〔A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限考点：直线的平移:例1：在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象．y＝2x与y＝2x＋3观察y＝2x与y＝2x＋3两条直线,它们有什么样的位置关系?请回答：两条直线与平行,那么____,____直线的平移:左"+"右"－",上"+"下"－"向左〔右平移向左〔右平移p个单位向上〔下平移p个单位向上〔下平移p个单位点的平移同样按照"左‘+’右‘－’,上‘+’下‘－’"．平移几个单位就加上或者减去几．例2：直线y＝－2x与直线y＝－2x－4的位置关系是__________．函数y＝－2x－4图象可以由函数y＝－2x的图象向______平移_____个单位得到．[变式练习]1、下列说法是否正确,为什么?〔1直线y=3x＋1与y=－3x＋1平行；〔2直线与重合；〔3直线y=－x－3与y=－x平行；〔4直线与相交.2、将直线y＝3x向下平移5个单位,得到直线；将直线y＝－x－5向上平移5个单位,得到直线.考点：用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤：一设,二代,三解,四代入：〔1设一次函数表达式为y=kx+b；〔2将已知点的坐标代入函数表达式,解方程〔组；〔3求出k与b的值；〔4将k、b的值带入y=kx+b,得到函数表达式．例如：已知一次函数的图象经过点〔2,1和〔－1,－3求此一次函数的关系式．解：设一次函数的关系式为y＝kx+b〔k≠0,由题意可知,解∴此函数的关系式为y=．例1：已知正比例函数的图象如下图如示,则正比例函数的解析式为多少?例2：已知弹簧的长度y〔厘米在一定的限度内是所挂物质量x〔千克的一次函数．现已测得不挂重物时弹簧的长度是6厘米,挂4千克质量的重物时,弹簧的长度是7.2厘米,求这个一次函数的关系式例3：一次函数y＝3x＋b的图象与两坐标轴围成的三角形面积是24,求b.例4.若一次函数y=kx+b的图象经过〔0,1和〔－1,3两点,则此函数的解析式为_____________.例5、若正比例函数y=kx的图象经过点〔1,2,则此函数的解析式为_____________.例6.直线y＝2x＋8与x轴和y轴的交点的坐标分别是_______、_______.例7、已知一次函数的图象经过A<－2,－3>,B<1,3>两点.<1>求这个一次函数的解析式；<2>试判断点P<－1,1>是否在这个一次函数的图象上；<3>求此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积.[变式练习]1.油箱中存油20升,油从油箱中均匀流出,流速为0.2升/分钟,则油箱中剩余油量Q〔升与流出时间t<分钟的函数关系是〔A．Q＝0.2tB．Q＝20－0.2tC．t=0.2QD．t=20—0.2Q2.若正比例函数的图象经过〔－l,5那么这个函数的表达式为__________,y的值随x的减小而____________3.若一次函数y=kx－3经过点<3,0>,则k=,该图象还经过点<0,和〔,－24.一某市市内出租车行程在4km以内〔含4km收起步费8元,行驶超过4km时,每超过1km,加收1．80元,当行程超出4km时收费y元与所行里程x<km之间的函数关系式．5.小李以每千克0.8元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场去销售,在销售了部分西瓜之后,余下的每千克降价0.4元,全部售完．销售金额与卖瓜的千克数之间的关系如图l－6－3所示,那么小李赚了〔A．32元B．36元C．38元D．44元6.直线y=EQ\F<4,3>x＋4与x轴交于A,与y轴交于B,O为原点,则△AOB的面积为〔A．12B．24C．6D．107.一次函数的图象如图l－6－42所示,那么这个一次函数的表达式是〔A．y＝－2x＋2B．y＝－2x－2C．y＝2x＋2D．y＝2x－2考点：一次函数的应用例1.如果每盒圆珠笔有12支,售价6元,那么圆珠笔的售价y〔元与圆珠笔的支数x<支之间的关系式是〔A．y=EQ\F<1,2>xB．y=2xC．y=6xD．y=12x例2.幸福村办工厂,今年前五个月生产某种产品的总量C〔件关于时间t〔月的函数图象如图l－6－43所示,则该工厂对这种产品来说〔A．1月至3月每月生产总量逐月增加,4、5两月每月生产总量逐月减小B．l月至3月生产总量逐月增加,4、5两月生产总量与3月持平C．l月至3月每月生产总量逐月增加,4、5两月均停止生产D．l月至3月每月生产总量不变,4、5两月均停止生产例3.在一次运输任务中,一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地,到达乙地卸货后返回．设汽车从甲地出发x<h>时,汽车与甲地的距离为y<km>,y与x的函数关系如图所示．根据图像信息,解答下列问题：<1>这辆汽车的往、返速度是否相同?请说明理由；<2>求返程中y与x之间的函数表达式；<3>求这辆汽车从甲地出发4h时与甲地的距离．[变式练习]1、一天,小军和爸爸去登山,已知山脚到山顶的路程为300米．小军先走了一段路程,爸爸才开始出发．图l－6－44中两条线段分别表示小军和爸爸离开山脚登山的路程S<米与登山所用的时间t〔分的关系〔从爸爸开始登山时计时．根据图象,下列说法错误的是〔A．爸爸登山时,小军已走了50米B．爸爸走了5分钟,小军仍在爸爸的前面C．小军比爸爸晚到山顶D．爸爸前10分钟登山的速度比小军慢,10分钟后登山的速度比小军快2.某地区的电力资源丰富,并且得到了较好的开发.该地区一家供电公司为了鼓励居民用电,采用分段计费的方法来计算电费.月用电量x<度>与相应电费y<元>之间的函数图像如图所示.=1\*GB2⑴月用电量为100度时,应交电费元；=2\*GB2⑵当x≥100时,求y与x之间的函数关系式；=3\*GB2⑶月用电量为260度时,应交电费多少元?基础练习1.下列函数是一次函数的是．①y=2x；②y=3+4x；③y=0.5；④y=ax〔a≠0的常数；⑤xy=3；⑥2x+3y－1=0；2.若函数y=<m－2>x+5是一次函数,则m满足的条件是____________．3．已知y与x－1成正比例,且x=2时,y＝7．〔1写出y与x之间的函数关系：_________；〔2y与x之间是_________函数关系4．已知一次函数y＝kx＋5的图象经过点〔－1,2,则k＝_______,图象不经过_______象限．6.如果直线y=kx+b经过一、二、四象限,那么有〔A．k＞0,b＞0B．k＞0,b＜0C．k<0,b＜0D．k＜0,b＞07.已知函数：①y=－x,②y=7－3x,③y=3x－1,④y=3x2,⑤y=EQ\F<x,3>,⑥y=EQ\F<3,x>中,正比例函数有〔A．①⑤B．①④C．①③D．③⑥8．〔1当m=时,y=是一次函数．〔2我国是一个水资源缺乏的国家,大家要节约用水．据统计,拧不紧的水龙头每秒钟会滴下2滴水,每滴水约0.05毫升．李丽同学在洗手时,没有把水龙头拧紧,当李丽同学离开x小时后水龙头滴了y毫升水．则y与x之间的函数关系式是．〔4设圆的面积为s,半径为R,那么下列说法正确的是〔A．S是R的一次函数B．S是R的正比例函数C．S是的正比例函数D．以上说法都不正确9．已知一次函数y=<m＋2>x＋m－m－4的图象经过点〔0,2,则m的值是<

>A．2

B．－2

C．－2或3

D．310．直线y=－x+2与x轴的交点坐标是,与y轴的交点坐标是．直线y=－x－1与x轴的交点坐标是,与y轴的交点坐标是．直线y=4x－2与x轴的交点坐标是,与y轴的交点坐标是．直线y=与x轴的交点坐标是,与y轴的交点坐标是．12.在下列四个函数中,的值随值的增大而减小的是〔Ａ． Ｂ． Ｃ．Ｄ．13、直线和的位置关系是,直线可以看作是直线向平移个单位得到的．14.将直线y＝－2x＋3向下平移5个单位,得到直线．15.直线y＝kx－4平行于直线y＝－2x,则直线的解析式为；16．电话每台月租费28元,市区内电话〔三分钟以内每次0.20元,若某台电话每次通话均不超过3分钟,则每月应缴费y〔元与市内电话通话次数x之间的函数关系式是〔A．y＝28x＋0.20 B．y＝0.20x＋28xC．y＝0.20x＋28 D．y＝28－0.20x17．某人购进一批苹果到集市上零售,已知卖出的苹果x〔千克与销售的金额y元的关系如下表：x〔千克12345…y〔元2+0.14+0.26+0.38+0.410+0.5…〔1写出y与x的函数关系式：___________；〔2该商贩要想使销售的金额达到250元,至少需要卖出多少千克的苹果?18．如图2－4,某游客为爬上3千米的山顶看日出,先用1小时爬了2千米,休息0.5小时后,再用1小时爬上山顶,游客爬山所用时间t〔小时与山高h〔千米间的函数关系用图象表示是〔19．一次函数的图象与y轴的交点坐标是_________,与x轴的交点坐标是_________．一般的,一次函数y＝kx＋b与y轴的交点坐标是__________,与x轴的交点坐标是__________．20．依据给定的条件,求一次函数的解析式．〔1已知一次函数的图象如图4－5所示,求此一次函数的解析式,并判断点〔6,5是否在此函数图象上．图4－5〔2已知一次函数y＝2x＋b的图象与y轴的交点到x轴的距离是4,求其函数解析式．21．依据给定的条件,求一次函数解析式：y＝ax＋7经过一次函数y＝4－3x和y＝2x－1的交点．22、已知函数轴交点的纵坐标为,且当x=1时,y=2,则此函数的解析式.23.已知y－1与成正比例,且x＝2时,y＝5,写出y与x之间的函数关系式.24．如图3－4,居室窗户的高90cm,活动窗拉开的最大距离是80cm．如果活动窗拉开xcm时,窗户的通风面积是ycm2〔1试确定这个函数的解析式并指出自变量x的取值范围；〔2画出这个函数的图象．图3－425．某班同学在探究弹簧的长度跟外力的变化关系时,实验记录得到的相应数据如下表：砝码的质量<x克>050100150200250300400500指针位置<y厘米>2345677.57.57.5〔1求出y与x的函数关系式；〔2y关于x的函数图象是〔图6－526．气温随着高度的增加而下降,下降的一般规律是从地面到高空11km处,每升高1km,气温下降6℃．高于11km时,气温几乎不再变化,设地面的气温为38℃,高空中xkm的气温为y℃．当0≤x≤11时,求y27．我国很多城市水资源缺乏,为了加强居民的节水意识,某市制定了每月用水4吨以内〔包括4吨和用水4吨以上两种收费标准〔收费标准：每吨水的价格,某用户每月应交水费y〔元是用水量x〔吨的函数,其函数图象如图6－6所示．〔1观察图象,求出函数在不同范围内的解析式；〔2说出自来水公司在这两个用水范围内的收费标准；〔3若某用户该月交水费12.8元,求该户用了多少吨水．图6－6提高练习xyO3第2题图1．一次函数的图象过点A〔5,3且平行于直线y=3xyO3第2题图2.一次函数与的图象如图,则下列结论：①；②；③当时,中,正确的个数是<>A．0 B．1C．2 D3．已知一次函数图象经过点〔2,3,且与y轴交点的纵坐标为4,则这个函数的表达式是____．4、一束光线从y轴上点A〔0,1出发,经过x轴上点C反射后经过点B〔3,3,则光线从A点到B点经过的路线长是；直线BC的解析式为．5.若ab＞0,bc<0,则直线y=－EQ\F<a,b>x－EQ\F<c,b>不通过〔A.第一象限B.第一象限C.第三象限D.第四象限6.已知一次函数y=EQ\F<3,2>x+m和y=－EQ\F<1,2>x+n的图象都经过点A〔－2,0且与y轴分别交于B、C两点,那么△ABC的面积是〔A．2B．3C．4D．67．已知函数的图象如图,则的图象可能是<>第7题第7题图图<1>图<1>2O5xABCPD图<2>第9题图9.如图<1>,在直角梯形ABCD中,动点P从点B出发,沿BC,CD运动至点D停止．设点P运动的路程为,△ABP的面积为y,如果y关于x的函数图象如图<2>所示,则△BCD的面积是<>A．3 B．4 C．5 D．610.如图,在中学生耐力测试比赛中,甲、乙两学生测试的路程s<米>与时间t<秒>之间的函数关系的图象分别为折线OABC和线段OD,下列说法正确的是<>A．乙比甲先到终点B．乙测试的速度随时间增加而增大C．比赛到29.4秒时,两人出发后第一次相遇D．比赛全程甲测试速度始终比乙测试速度快11.小高从家门口骑车去单位上班,先走平路到达点A,再走上坡路到达点B,最后走下坡路到达工作单位,所用的时间与路程的关系如图所示．下班后,如果他沿原路返回,且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致,那么他从单位到家门口需要的时间是< >A．12分钟 B．15分钟 C．25分钟 D．27分钟12、如右图,平面直角坐标系中,在边长为1的正方形的边上有一动点沿运动一周,则的纵坐标与点走过的路程之间的函数关系用图象表示大致是<>1123412ysO123412ysOs123412ysO123412yOA.B.C.D.QPRMN<图1><图2>49yxO13、如图1,在矩形中,动点从点出发,沿→→→方向运动至点处停止．设点运动的路程为,的面积为,如果关于的函数图象如图2所示,则当时,点应运动到<>QPRMN<图1><图2>49yxOA．处B．处C．处D．处14.求函数与x轴、y轴的交点坐标,并求这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积.15、已知两直线y1=2x－3,y2=6－x〔1在同一坐标系中作出它们的图象．〔2求它们的交点A的坐标．〔3根据图象指出x为何值时,y1＞y2；x