2024届江西省宜春市上高县高三上学期12月月考数学试题（解析版）

PAGEPAGE1江西省宜春市上高县2024届高三上学期12月月考数学试题一、单选题1.已知集合，，其中为自然对数的底数，则子集的个数为（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B【解析】由题知，，在点处的切线斜率为，则在处的切线方程为.因为直线与曲线相切于点，有且只有这一个公共点，故中有且只有一个元素，所以的子集个数为2个．故选:B．2.已知复数z满足，则（）A. B.C D.【答案】A【解析】由，得，所以，故选：A.3.已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，则（）A.若且，则B.若且，则C.若且，则D.若且异面，则【答案】D【解析】对于A，若且，也有可能与相交，如下图，故A错误；对于B，若且，也有可能与相交，如下图，故B错误；对于C，若且，也有可能，如下图，故C错误；对于D，若且异面，则，故D正确.故选：D.4.由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈，美国加大了对我国一些高科技公司的打压，为突破西方的技术封锁和打压，我国的一些科技企业积极实施了独立自主､自力更生的策略，在一些领域取得了骄人的成绩.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子”问题，实现芯片制造的国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司2020年全年投入芯片制造方面的研发资金为120亿元，在此基础上，计划以后每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元的年份是（）参考数据：.A.2024年 B.2025年 C.2026年 D.2027年【答案】C【解析】设2020年后第年该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元，由得，两边同取常用对数，得，所以，所以从2026年开始，该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元.故选：C.5.设点是的重心，若，，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设是的中点，连接．因为是的重心，所以因为，所以，所以当且仅当时取等号.故选：C.6.已知函数，总有成立，且的最小值为.若，则的图象的一条对称轴方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由于对,总有成立，且的最小值为,所以,又，则,所以，所以，由于，所以，故，令,所以，故对称轴方程为，取时，，故选：A.7.已知分别为双曲线的左、右焦点，过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为（）A.3 B. C. D.2【答案】C【解析】设过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，由双曲线的定义可得，由，可得，，，由可得，在三角形中，由余弦定理可得：，即有，化简可得，所以双曲线的离心率．故选：C．8.已知，关于的方程()有四个不同的实数根，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；故当时，函数的最小值为，图像是由的图像下方的部分向上翻折形成，如图所示：令，当时，等式为，矛盾，舍去；若，此时对应两个不同根，若要凑四个根，则，不满足题意，舍去；则有两个不同的根，即，，故选：A.二、多选题9.下列命题是真命题的有（）A.分层抽样调查后的样本中甲、乙、丙三种个体的比例为3：1：2，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30B.某一组样本数据为125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，则样本数据落在区间[114.5，124.5]内的频率为0.4C.甲、乙两队队员体重的平均数分别为60，68，人数之比为1：3，则甲、乙两队全部队员体重的平均数为67D.一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的85%分位数为5【答案】BD【解析】对于选项A：根据样本的抽样比等于各层的抽样比，样本容量为，故选项A错误；对于选项B：样本数据落在区间内的有120，122，116，120共4个，所以样本数据落在区间内的频率为，故选项B正确；对于选项C：甲、乙两队的人数之比为，则甲队队员在所有队员中所占权重为，乙队队员在所有队员中所占权重为，则甲、乙两队全部队员体重的平均数为，故选项C错误；对于选项D：将该组数据从小到大排列为：1，2，2，2，3，3，3，4，5，6，由，则该组数据的分位数是第9个数，该数为5，故选项D正确.10.一箱产品有正品10件，次品2件，从中任取2件，有如下事件，其中互斥事件有（）A.“恰有1件次品”和“恰有2件次品” B.C.“至少有1件正品”和“至少有1件次品” D.“至少有1件次品”和“都是正品”【答案】AD【解析】A：“恰有1件次品”和“恰有2件次品”不可能同时发生，为互斥事件；B：“都是次品”的基本事件中包含了“至少有1件次品”的事件，不是互斥事件；C：“至少有1件正品”的基本事件为{“有1件正品和1件次品”，“有2件正品”}，“至少有1件次品”的基本事件为{“有1件正品和1件次品”，“有2件次品”}，它们有共同的基本事件“有1件正品和1件次品”，不是互斥事件；D：由C分析知：“至少有1件次品”和“都是正品”不可能同时发生，为互斥事件；故选：AD.11.已知三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，．（）A.面积的最大值为B.的最大值为C.的取值范围为D【答案】AB【解析】对于A，由，，得，当且仅当时取等号，即的最大值为4，则面积，即面积的最大值为，A正确；对于B，由正弦定理得，则，，，显然，有，，则当，即时，取得最大值为，B正确；对于C，，由，得，因此的取值范围为，C错误；对于D，由余弦定理得，D错误.故选：AB12.如图，在正方体中，点满足，且.记与所成角为与平面所成角为，则（）A.若，三棱锥的体积为定值B.若，存在，使得平面C.D.若，则在侧面内必存在一点，使得【答案】ABC【解析】对于A，当时，取中点，中点，连接，根据平面向量基本定理知，则在上，则，平面，平面，则平面，则到平面距离为定值，又的面积为定值，因此四面体的体积为定值，A正确；对于B，当时，取，则F为的中点，取的中点，令，则为的中点，连接，显然平面，平面，则平面，而，同理平面，又平面，因此平面平面，又平面，所以平面，B正确；对于C，过作交于，连接，由平面，得平面，而平面，有，显然是与平面所成的角，即，由，得是与所成的角，即，所以，C正确；对于D，建立如图所示的空间直角坐标系，当时，，点在侧面内，设，，则，于是始终为锐角，D错误.

故选：ABC.三、填空题13.已知平面向量，若，则__________.【答案】【解析】由，得，解得，所以，故答案为：14.的展开式中的系数是__________．【答案】126【解析】因为的展开式的通项公式为，所以的展开式中的系数为：．故答案为：.15.已知，函数在单调递减，则的取值范围为_________．【答案】【解析】因为，又在上单调递减，所以，，则，所以，令，因为，，所以，所以问题转化为在（）上单调递减，则问题转化为在（）上单调递减，又，，单调递减区间为，，所以，所以，解得.故答案为：.16.设是定义在上的单调函数，若，则不等式的解集为__________.【答案】【解析】由，可得必为定值，设，即，由，解得，所以，则不等式，即为，可得，解得，所以不等式的解集为.故答案为：.四、解答题17.在中，角，，所对的边分别是，，，已知.（1）求角的大小；（2）设，，求的值.（1）解：由正弦定理得，即.∴，又，∴，则，又，故.（2）解：由，，可得，即，因为，所以，又，则，，所以，，∴.18.在中，角的对边分别为的面积为，已知.（1）求角；（2）若的周长为，求的最大值.解：（1）因为，所以，即，由正弦定理，得，因为，所以，因为，所以，所以，又，所以.（2）由余弦定理，得，即，所以，即，因为，，所以，所以，又（当且仅当时取等号），所以（当且仅当时取等号），所以（当且仅当时取等号），所以（当且仅当时取等号），即的最大值为.19.已知数列的前项的和，数列的前项的和满足，.（1）分别求数列和的通项公式；（2）求数列的前项的和.解：（1）当时，．当时，，满足上式，故数列的通项公式为.当时，由，得，两式相减得即,所以，又当时，，解得，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，∴．（2）由（1）知：，①②得：．∴．20.如图所示，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面二面角的大小为，分别是的中点．（1）求证：平面（2）在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．（1）证明：连接，取的中点，连接分别是的中点分别是的中点，又平面，分别是的中点，又平面平面，平面（2）解：平面平面又平面为二面角的平面角，即以为坐标原点建立如图所示的空间坐标系如图所示：设则，，．设平面的法向量为，则，，令可得，到平面的距离，解得．，线段上是否存在一点，使得点A到平面EFM的距离为．且．21.某县一高级中学是一所省级规范化学校，为适应时代发展､百姓需要，该校在县委县政府的大力支持下，启动建设了一所高标准､现代化､智能化的新校，并由县政府公开招聘事业编制教师，招聘时首先要对应聘者的简历进行评分，评分达标者进入面试环节，面试时应聘者需要回答三道题，第一题考查教育心理学知识，答对得10分，答错得0分；第二题考查学科专业知识，答对得10分，答错得0分；第三题考查课题说课，说课优秀者得15分，非优秀者得5分．（1）若共有2000人应聘，他们的简历评分服从正态分布，80分及以上为达标，估计进入面试环节的人数(结果四舍五入保留整数)；（2）面试环节一应聘者前两题答对的概率均为，第三题被评为优秀的概率为，每道题正确与否､优秀与否互不影响，求该应聘者的面试成绩Y的分布列及其数学期望．附：若随机变量，则解：（1）因为服从正态分布，所以因为，所以进入面试环节的人数约为317人；（2）记该应聘者第题答对为事件，第3题优秀为事件的可能取值为则所以的分布列为5152535所以的数学期望为.22.已知函数，(a，b∈R).（1）当a=﹣1，b=0时，求曲线y=f(x)﹣g(x)在x=1处的切线方程；（2）当b=0时，若对任意的x∈[1，2]，f(x)+g(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；（3）当a=0，b>0时，若方程f(x)=g(x)有两个不同的实数解x1，x2(x1<x2)，求证：x1+x2>2.（1）解：当时，时，，当时，，，当时，，曲线在处的切线方程为；（2）解：当时，对，，都成立，则对，，恒成立，令，则．令，则，当，，此时单调递增；当时，，此时单调递减，，，的取值范围为；（3）证明：当，时，由，得，方程有两个不同的实数解，，令，则，，令，则，当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减，，，又，（1），，，只要证明，就能得到，即只要证明，令，则，在上单调递减，则，，，，，即，证毕．江西省宜春市上高县2024届高三上学期12月月考数学试题一、单选题1.已知集合，，其中为自然对数的底数，则子集的个数为（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B【解析】由题知，，在点处的切线斜率为，则在处的切线方程为.因为直线与曲线相切于点，有且只有这一个公共点，故中有且只有一个元素，所以的子集个数为2个．故选:B．2.已知复数z满足，则（）A. B.C D.【答案】A【解析】由，得，所以，故选：A.3.已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，则（）A.若且，则B.若且，则C.若且，则D.若且异面，则【答案】D【解析】对于A，若且，也有可能与相交，如下图，故A错误；对于B，若且，也有可能与相交，如下图，故B错误；对于C，若且，也有可能，如下图，故C错误；对于D，若且异面，则，故D正确.故选：D.4.由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈，美国加大了对我国一些高科技公司的打压，为突破西方的技术封锁和打压，我国的一些科技企业积极实施了独立自主､自力更生的策略，在一些领域取得了骄人的成绩.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子”问题，实现芯片制造的国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司2020年全年投入芯片制造方面的研发资金为120亿元，在此基础上，计划以后每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元的年份是（）参考数据：.A.2024年 B.2025年 C.2026年 D.2027年【答案】C【解析】设2020年后第年该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元，由得，两边同取常用对数，得，所以，所以从2026年开始，该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元.故选：C.5.设点是的重心，若，，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设是的中点，连接．因为是的重心，所以因为，所以，所以当且仅当时取等号.故选：C.6.已知函数，总有成立，且的最小值为.若，则的图象的一条对称轴方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由于对,总有成立，且的最小值为,所以,又，则,所以，所以，由于，所以，故，令,所以，故对称轴方程为，取时，，故选：A.7.已知分别为双曲线的左、右焦点，过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为（）A.3 B. C. D.2【答案】C【解析】设过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，由双曲线的定义可得，由，可得，，，由可得，在三角形中，由余弦定理可得：，即有，化简可得，所以双曲线的离心率．故选：C．8.已知，关于的方程()有四个不同的实数根，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；故当时，函数的最小值为，图像是由的图像下方的部分向上翻折形成，如图所示：令，当时，等式为，矛盾，舍去；若，此时对应两个不同根，若要凑四个根，则，不满足题意，舍去；则有两个不同的根，即，，故选：A.二、多选题9.下列命题是真命题的有（）A.分层抽样调查后的样本中甲、乙、丙三种个体的比例为3：1：2，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30B.某一组样本数据为125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，则样本数据落在区间[114.5，124.5]内的频率为0.4C.甲、乙两队队员体重的平均数分别为60，68，人数之比为1：3，则甲、乙两队全部队员体重的平均数为67D.一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的85%分位数为5【答案】BD【解析】对于选项A：根据样本的抽样比等于各层的抽样比，样本容量为，故选项A错误；对于选项B：样本数据落在区间内的有120，122，116，120共4个，所以样本数据落在区间内的频率为，故选项B正确；对于选项C：甲、乙两队的人数之比为，则甲队队员在所有队员中所占权重为，乙队队员在所有队员中所占权重为，则甲、乙两队全部队员体重的平均数为，故选项C错误；对于选项D：将该组数据从小到大排列为：1，2，2，2，3，3，3，4，5，6，由，则该组数据的分位数是第9个数，该数为5，故选项D正确.10.一箱产品有正品10件，次品2件，从中任取2件，有如下事件，其中互斥事件有（）A.“恰有1件次品”和“恰有2件次品” B.C.“至少有1件正品”和“至少有1件次品” D.“至少有1件次品”和“都是正品”【答案】AD【解析】A：“恰有1件次品”和“恰有2件次品”不可能同时发生，为互斥事件；B：“都是次品”的基本事件中包含了“至少有1件次品”的事件，不是互斥事件；C：“至少有1件正品”的基本事件为{“有1件正品和1件次品”，“有2件正品”}，“至少有1件次品”的基本事件为{“有1件正品和1件次品”，“有2件次品”}，它们有共同的基本事件“有1件正品和1件次品”，不是互斥事件；D：由C分析知：“至少有1件次品”和“都是正品”不可能同时发生，为互斥事件；故选：AD.11.已知三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，．（）A.面积的最大值为B.的最大值为C.的取值范围为D【答案】AB【解析】对于A，由，，得，当且仅当时取等号，即的最大值为4，则面积，即面积的最大值为，A正确；对于B，由正弦定理得，则，，，显然，有，，则当，即时，取得最大值为，B正确；对于C，，由，得，因此的取值范围为，C错误；对于D，由余弦定理得，D错误.故选：AB12.如图，在正方体中，点满足，且.记与所成角为与平面所成角为，则（）A.若，三棱锥的体积为定值B.若，存在，使得平面C.D.若，则在侧面内必存在一点，使得【答案】ABC【解析】对于A，当时，取中点，中点，连接，根据平面向量基本定理知，则在上，则，平面，平面，则平面，则到平面距离为定值，又的面积为定值，因此四面体的体积为定值，A正确；对于B，当时，取，则F为的中点，取的中点，令，则为的中点，连接，显然平面，平面，则平面，而，同理平面，又平面，因此平面平面，又平面，所以平面，B正确；对于C，过作交于，连接，由平面，得平面，而平面，有，显然是与平面所成的角，即，由，得是与所成的角，即，所以，C正确；对于D，建立如图所示的空间直角坐标系，当时，，点在侧面内，设，，则，于是始终为锐角，D错误.

故选：ABC.三、填空题13.已知平面向量，若，则__________.【答案】【解析】由，得，解得，所以，故答案为：14.的展开式中的系数是__________．【答案】126【解析】因为的展开式的通项公式为，所以的展开式中的系数为：．故答案为：.15.已知，函数在单调递减，则的取值范围为_________．【答案】【解析】因为，又在上单调递减，所以，，则，所以，令，因为，，所以，所以问题转化为在（）上单调递减，则问题转化为在（）上单调递减，又，，单调递减区间为，，所以，所以，解得.故答案为：.16.设是定义在上的单调函数，若，则不等式的解集为__________.【答案】【解析】由，可得必为定值，设，即，由，解得，所以，则不等式，即为，可得，解得，所以不等式的解集为.故答案为：.四、解答题17.在中，角，，所对的边分别是，，，已知.（1）求角的大小；（2）设，，求的值.（1）解：由正弦定理得，即.∴，又，∴，则，又，故.（2）解：由，，可得，即，因为，所以，又，则，，所以，，∴.18.在中，角的对边分别为的面积为，已知.（1）求角；（2）若的周长为，求的最大值.解：（1）因为，所以，即，由正弦定理，得，因为，所以，因为，所以，所以，又，所以.（2）由余弦定理，得，即，所以，即，因为，，所以，所以，又（当且仅当时取等号），所以（当且仅当时取等号），所以（当且仅当时取等号），所以（当且仅当时取等号），即的最大值为.19.已知数列的前项的和，数列的前项的和满足，.（1）分别求数列和的通项公式；（2）求数列的前项的和.解：（1）当时，．当时，，满足上式，故数列的通项公式为.当时，由，得，两式相减得即,所以，又当时，，解得，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，∴．（2）由（1）知：，①②得：．∴．20.如图所示，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面二面角的大小为，分别是的中点．（1）求证：平面（2）在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．（1）证明：连接，取的中点，连接分别是的中点分别是的中点，又平面，分别是的中点，又平面平