机械振动-第07课 频率方程、振型与正则坐标

第七课频率方程、振型与正那么坐标Sunday,January14,2024主要内容频率方程与特征值问题坐标耦合模态正交性与主坐标主要内容频率方程与特征值问题坐标耦合模态正交性与主坐标频率方程与特征值问题频率方程与特征值问题频率方程与特征值问题频率方程与特征值问题频率方程与特征值问题例题主要内容频率方程与特征值问题坐标耦合模态正交性与主坐标两个质点的运动不是互相独立的，它们彼此受另一个质点的运动的影响。这种质点或质点系的运动相互影响的现象叫做耦合〔coupling〕，具有耦合性质的系统叫耦合系统。像这样表示振动位移的两个以上坐标出现在同一个运动方程式中时，就称这些坐标之间存在静力耦合或弹性耦合。另外，当一个微分方程式中出现两个以上的加速度项时，称为在坐标之间有动力耦合或质量〔惯性〕耦合。坐标耦合〔耦联〕l1l2GmgCGx静力耦合或弹性耦合质心与几何中心不重合质心x几何中心坐标耦合GCl4l3GxcC动力耦合或质量耦合C几何中心坐标耦合x=x1ll1l2Gmgx1G静力与动力耦合坐标耦合坐标耦合某个系统中是否存在耦合取决于用以表示运动的坐标的选择方法，而与系统本身的特性无关。通过适当的选择坐标，可以将系统的运动方程表示成既无静力耦合又无动力耦合的形式。采用主坐标或正那么坐标可以使运动方程解耦。主要内容频率方程与特征值问题坐标耦合模态正交性与主坐标n自由度的振动系统，具有n个固有频率和与之对应的n阶主振型。且这些主振型之间存在着关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性。对应于两边左乘转置，然后右乘

相减

说明，对应于不同固有频率的主振型之间，即关于质量矩阵相互正交，又关于刚度矩阵相互正交，这就是主振型的正交性。还可以证明，零固有频率对应的主振型也必定与系统的其它主振型关于质量矩阵和刚度矩阵正交。Ki称为第i阶主刚度或第i阶模态刚度；Mi称为第i阶主质量或第i阶模态质量。可见，由于主振型的正交性，不同阶的主振动之间不存在动能的转换，或者说不存在惯性耦合。同样可以证明第i阶固有振动的广义弹性力在第j阶固有振动的微小位移上的元功之和也等于零，因此不同阶固有振动之间也不存在势能的转换，或者说不存在弹性耦合。对于每一个主振动来说，它的动能和势能之和是个常数。在运动过程中，每个主振动内部的动能和势能可以互相转化，但各阶主振动之间不会发生能量的传递。因此，从能量的观点看，各阶主振动是互相独立的，这就是主振动正交性的物理意义。以各阶主振型矢量为列，按顺序排列成一个n×n阶方阵，称此方阵为主振型矩阵或模态矩阵，即根据主振型的正交性，可以导出主振型矩阵的两个性质主质量矩阵主刚度矩阵使Mr由对角阵变换为单位阵将主振型矩阵的各列除以其对应主质量的平方根，即这样得到的振型称为正那么振型。正那么振型的正交关系是第i阶正则振型第i阶固有频率以各阶正那么振型为列，依次排列成一个n×n阶方阵，称此方阵为正那么振型矩阵，即由正交性可导出正那么矩阵两个性质谱矩阵

在一般情况下，具有有限个自由度振动系统的质量矩阵和刚度矩阵都不是对角阵。因此，系统的运动微分方程中既有动力耦合又有静力耦合。对于n自由度无阻尼振动系统，有可能选择这样一组特殊坐标，使方程中不出现耦合项亦即质量矩阵和刚度矩阵都是对角阵，这样每个方程可以视为单自由度问题，称这组坐标为主坐标或模态坐标。由前面的讨论可知，主振型矩阵U与正那么振型矩阵，均可使系统的质量矩阵和刚度矩阵转换成为对角阵。因此，可利用主振型矩阵或正那么振型矩阵进行坐标变换，以寻求主坐标或正那么坐标。由物理坐标到模态坐标的转换，是方程解耦的数学过程。从物理意义上讲，是从力的平衡方程变为能量平衡方程的过程。在物理坐标系统中，质量矩阵和刚度矩阵一般是非对角阵，使运动方程不能解耦。而在模态坐标系统中，第i个模态坐标代表在位移向量中第i阶主振型〔模态振型〕所作的奉献。任何一阶主振型的存在，并不依赖于其他主振型是否同时存在。这就是模态坐标得以解耦的原因。因此，位移响应向量是各阶模态奉献的叠加的结果，而不是模态耦合的结果。各阶模态之间是不耦合的。写出图示系统的主振型矩阵和正那么振型矩阵，以及用正那么坐标表示的系统运动方程。由质量矩阵

，可求出主质量矩