2024届北京市东城区第二中高一数学第二学期期末经典模拟试题含解析

2024届北京市东城区第二中高一数学第二学期期末经典模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若,且,,则（）A． B． C． D．2．已知为的三个内角的对边，，的面积为2，则的最小值为().A． B． C． D．3．已知圆心在轴上的圆经过，两点，则的方程为（）A． B．C． D．4．在中，角、、所对的边长分别为，，，，，，则的面积为（）A． B． C． D．95．函数的部分图像如图所示，则的值为（）A．1 B．4 C．6 D．76．“结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量.如图所示的是一位农民记录自己采摘果实的个数.在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一.根据图示可知，农民采摘的果实的个数是（）A．493 B．383 C．183 D．1237．在下列结论中，正确的为（）A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同B．向量与向量的长度相等C．向量就是有向线段D．零向量是没有方向的8．在等差数列an中，若a2+A．100 B．90 C．95 D．209．过点P（﹣2，m）和Q（m，4）的直线斜率等于1，那么m的值等于（）A．1或3 B．4 C．1 D．1或410．如图，在中，已知D是边延长线上一点，若，点E为线段的中点，，则（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知，，则________12．已知曲线与直线交于A，B两点，若直线OA，OB的倾斜角分别为、，则__________13．若是三角形的内角，且，则等于_____________．14．在数列中，，是其前项和，当时，恒有、、成等比数列，则________．15．已知等边，为中点，若点是所在平面上一点，且满足，则__________.16．已知，且，则_____.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知，，其中，，且函数在处取得最大值.（1）求的最小值，并求出此时函数的解析式和最小正周期；（2）在(1)的条件下，先将的图像上的所有点向右平移个单位，再把所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，然后将所得图像上所有的点向下平移个单位，得到函数的图像.若在区间上，方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（3）在(1)的条件下，已知点P是函数图像上的任意一点，点Q为函数图像上的一点，点，且满足，求的解集.18．如图，圆锥中，是圆的直径，是底面圆上一点，且，点为半径的中点，连.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）当是边长为4的正三角形时，求点到平面的距离.19．已知数列满足=(1)若求数列的通项公式;(2)若==对一切恒成立求实数取值范围.20．已知余切函数.（1）请写出余切函数的奇偶性，最小正周期，单调区间；（不必证明）（2）求证：余切函数在区间上单调递减.21．有一款手机，每部购买费用是5000元，每年网络费和电话费共需1000元；每部手机第一年不需维修，第二年维修费用为100元，以后每一年的维修费用均比上一年增加100元.设该款手机每部使用年共需维修费用元，总费用元.（总费用购买费用网络费和电话费维修费用）（1）求函数、的表达式：（2）这款手机每部使用多少年时，它的年平均费用最少？

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】

利用两角和差的正弦公式将β＝α-(α﹣β)进行转化求解即可．【题目详解】β＝α-(α﹣β)，∵＜α，＜β，β＜，∴α，∵sin（）0，∴＜0，则cos（），∵sinα，∴cosα，则sinβ＝sin[α-(α﹣β)]＝sinαcos（α﹣β）-cosαsin（α﹣β）（），故选B【题目点拨】本题主要考查利用两角和差的正弦公式,同角三角函数基本关系，将β＝α-(α﹣β)进行转化是解决本题的关键，是基础题2、D【解题分析】

运用三角形面积公式和余弦定理，结合三角函数的辅助角公式和正弦型函数的值域最后可求出的最小值.【题目详解】因为，所以，即，令，可得，于是有，因此，即，所以的最小值为，故本题选D.【题目点拨】本题考查了余弦定理、三角形面积公式，考查了辅助角公式，考查了数学运算能力.3、A【解题分析】

由圆心在轴上设出圆心坐标,设出圆的方程,将,两点坐标代入,即可求得圆心坐标和半径,进而得圆的方程.【题目详解】因为圆心在轴上,设圆心坐标为,半径为设圆的方程为因为圆经过,两点代入可得解方程求得所以圆C的方程为故选:A【题目点拨】本题考查了圆的方程求法,关键是求出圆心和半径,属于基础题.4、A【解题分析】

，利用正弦定理，和差公式化简可得，再利用三角形面积计算公式即可得出.【题目详解】化为：的面积故选：【题目点拨】本题考查正弦定理与两角和余弦公式化简求值，属于基础题.5、C【解题分析】

根据是零点以及的纵坐标值，求解出的坐标值，然后进行数量积计算.【题目详解】令，且是第一个零点，则；令，是轴右侧第一个周期内的点，所以，则；则，，则.选C.【题目点拨】本题考查正切型函数以及坐标形式下向量数量积的计算，难度较易.当已知，则有.6、C【解题分析】

根据题意将四进制数转化为十进制数即可.【题目详解】根据题干知满四进一,则表示四进制数,将四进制数转化为十进制数,得到故答案为:C.【题目点拨】本题以数学文化为载体，考查了进位制等基础知识，注意运用四进制转化为十进制数，考查运算能力，属于基础题．7、B【解题分析】

逐一分析选项，得到答案.【题目详解】A.单位向量的方向任意，所以当起点相同时，终点在以起点为圆心的单位圆上，终点不一定相同，所以选项不正确；B.向量与向量是相反向量，方向相反，长度相等，所以选项正确；C.向量是既有大小，又有方向的向量，可以用有向线段表示，但不能说向量就是有向线段，所以选项不正确；D.规定零向量的方向任意，而不是没有方向，所以选项不正确.故选B.【题目点拨】本题考查了向量的基本概念，属于基础题型.8、B【解题分析】

利用等差数列的性质，即下标和相等对应项的和相等，得到a2【题目详解】∵数列an为等差数列，a∴a【题目点拨】考查等差数列的性质、等差中项，考查基本量法求数列问题.9、C【解题分析】试题分析：利用直线的斜率公式求解．解：∵过点P（﹣2，m）和Q（m，4）的直线斜率等于1，∴k==1，解得m=1．故选C．考点：直线的斜率．10、B【解题分析】

由，，，，代入化简即可得出．【题目详解】，带人可得，可得，故选B.【题目点拨】本题考查了向量共线定理、向量的三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

直接利用反三角函数求解角的大小，即可得到答案.【题目详解】因为，，根据反三角函数的性质，可得.故答案为：.【题目点拨】本题主要考查了三角方程的解法，以及反三角函数的应用，属于基础题.12、【解题分析】

曲线即圆曲线的上半部分，因为圆是单位圆，所以，，，，联立曲线与直线方程，消元后根据韦达定理与直线方程代入即可求解.【题目详解】由消去得，则，由三角函数的定义得故.【题目点拨】本题主要考查三角函数的定义，直线与圆的应用.此题关键在于曲线的识别与三角函数定义的应用.13、【解题分析】∵是三角形的内角，且，∴故答案为点睛：本题是一道易错题，在上，，分两种情况：若，则；若，则有两种情况锐角或钝角.14、.【解题分析】

由题意得出，当时，由，代入，化简得出，利用倒数法求出的通项公式，从而得出的表达式，于是可求出的值.【题目详解】当时，由题意可得，即，化简得，得，两边取倒数得，，所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，，，则，因此，，故答案为：.【题目点拨】本题考查数列极限的计算，同时也考查了数列通项的求解，在含的数列递推式中，若作差法不能求通项时，可利用转化为的递推公式求通项，考查分析问题和解决问题的能力，综合性较强，属于中等题.15、0【解题分析】

利用向量加、减法的几何意义可得，再利用向量数量积的定义即可求解.【题目详解】根据向量减法的几何意义可得：,即,所以.故答案为：0【题目点拨】本题考查了向量的加、减法的几何意义以及向量的数量积，属于基础题.16、【解题分析】

首先根据已知条件求得的值，平方后利用同角三角函数的基本关系式求得的值.【题目详解】由得，两边平方并化简得，由于，所以.而，由于，所以【题目点拨】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角和的正弦公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）的最小值为1，，，（2）（3）原不等式的解集为【解题分析】

（1）先将化成正弦型，然后利用在处取得最大值求出，然后即可得到的解析式和周期（2）先根据图象的变换得到，然后画出在区间上的图象，条件转化为的图象与直线有两个交点即可（3）利用坐标的对应关系式，求出的函数的关系式，进一步利用三角不等式的应用求出结果．【题目详解】（1）因为，所以因为在处取得最大值.所以，即当时的最小值为1此时，（2）将的图像上的所有的点向右平移个单位得到的函数为，再把所得图像上所有的点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到的函数为，然后将所得图像上所有的点向下平移个单位，得到函数在区间上的图象为：方程有两个不相等的实数根等价于的图象与直线有两个交点所以，解得（3）设，因为点，且满足所以，所以因为点为函数图像上的一点所以即因为，所以所以所以所以原不等式的解集为【题目点拨】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，平面向量的数量积的应用，三角不等式的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题．18、（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）【解题分析】

（Ⅰ）由平面，证得，再由为等边三角形，得到，利用线面垂直的判定定理，即可证得平面；（Ⅱ）利用等体积法，即可求得点到平面的距离.【题目详解】（Ⅰ）证明：在圆锥中，则平面，又因为平面，所以，因为，，所以，又，所以为等边三角形，因为为中点，所以，又，所以平面；（Ⅱ）依题意，，因为为直径，所以，又，所以，中，边上的高为，的面积为，又，，则面积为，所以，解得.【题目点拨】本题主要考查了线面垂直的判定与证明，以及利用等体积法求解点面距，其中解答中熟练线面位置关系的判定定理，以及合理运用等体积法的运用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19、（1）=；（2）.【解题分析】

（1）由，结合可得数列为等差数列，进而可得所求；（2）由得，利用累加法并结合等比数列的前项和公式求出，化简得，再利用数列的单调性求出的最大值即可得出结论.【题目详解】（1）由，可得=．∴数列是首项为1，公差为4的等差数列，∴.（2）由及，得=，∴，∴，又满足上式，∴．∵对一切恒成立，即对一切恒成立，∴对一切恒成立．又数列为单调递减数列，∴，∴，∴实数取值范围为．【题目点拨】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式与前项和公式，考查了累加法与恒成立问题、逻辑推理能力与计算能力，解决数列中的恒成立问题时，也常利用分离参数的方法，转化为求最值的问题求解．20、（1）奇函数；周期为，单调递减速区间：（2）证明见解析【解题分析】

（1）直接利用函数的性质写出结果．（2）利用单调性的定义和三角函数关系式的变换求出结果．【题目详解】（1）奇函数；周期为，单调递减区间：（2）任取，，，有因为，所以，于是，，从而，.因此余切函数在区间上单调递减.【题目点拨】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和