浙南名校联盟2024届高一数学第二学期期末调研试题含解析

浙南名校联盟2024届高一数学第二学期期末调研试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．下列命题正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则2．若一个正四棱锥的侧棱和底面边长相等，则该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°3．设，是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，给出下列四个命题，正确的是（）A．若，，则 B．若，，，则C．若，，，则 D．若，，，则4．若函数局部图象如图所示，则函数的解析式为A． B．C． D．5．直线l：x+y﹣1＝0与圆C：x2+y2＝1交于两点A、B，则弦AB的长度为（）A．2 B． C．1 D．6．在中，角,,的对边分别为,,，若，，则（）A． B． C． D．7．已知在三角形中，，点都在同一个球面上，此球面球心到平面的距离为，点是线段的中点，则点到平面的距离是（）A． B． C． D．18．向量，则（）A． B．C．与的夹角为60° D．与的夹角为30°9．若直线的倾斜角为，则的值为（）A． B． C． D．10．在平面直角坐标系中，过点的直线与轴的正半轴，轴的正半轴分别交于两点，则的面积的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知是定义在上的奇函数，对任意实数满足，，则________.12．中，，，，则______.13．数列满足，则的前60项和为_____．14．在中，角的对边分别为，若，则_______.（仅用边表示）15．等差数列中，，，设为数列的前项和，则_________.16．在中，，，，则的面积是__________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知为锐角，.（1）求的值；（2）求的值．18．关于的不等式，其中为大于0的常数。（1）若不等式的解集为，求实数的取值范围；（2）若不等式的解集为，且中恰好含有三个整数，求实数的取值范围.19．为了解人们对某种食材营养价值的认识程度，某档健康养生电视节目组织名营养专家和名现场观众各组成一个评分小组，给食材的营养价值打分（十分制）．下面是两个小组的打分数据：第一小组第二小组（1）求第一小组数据的中位数与平均数，用这两个数字特征中的哪一种来描述第一小组打分的情况更合适？说明你的理由．（2）你能否判断第一小组与第二小组哪一个更像是由营养专家组成的吗？请比较数字特征并说明理由．（3）节目组收集了烹饪该食材的加热时间：（单位：）与其营养成分保留百分比的有关数据：食材的加热时间（单位：）营养成分保留百分比在答题卡上画出散点图，求关于的线性回归方程（系数精确到），并说明回归方程中斜率的含义．附注：参考数据：，.参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．20．如图是函数的部分图像，是它与轴的两个不同交点，是之间的最高点且横坐标为，点是线段的中点.（1）求函数的解析式及上的单调增区间；（2）若时，函数的最小值为，求实数的值.21．已知是等差数列，满足，，且数列的前n项和.（1）求数列和的通项公式；（2）令，数列的前n项和为，求证:.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】

A项中，需要看分母的正负；B项和C项中，已知两个数平方的大小只能比较出两个数绝对值的大小.【题目详解】A项中，若，则有，故A项错误；B项中，若，则，故B项错误；C项中，若则即，故C项错误；D项中，若，则一定有，故D项正确.故选：D【题目点拨】本题主要考查不等关系与不等式，属于基础题.2、B【解题分析】

正四棱锥，连接底面对角线，在中，为侧棱与地面所成角，通过边的关系得到答案.【题目详解】正四棱锥，连接底面对角线，，易知为等腰直角三角形.中点为，又正四棱锥知：底面即为所求角为，答案为B【题目点拨】本题考查了线面夹角的计算，意在考察学生的计算能力和空间想象力.3、C【解题分析】

利用线面、面面之间的位置关系逐一判断即可.【题目详解】对于A，若，，则平行、相交、异面均有可能，故A不正确；对于B，若，，，则垂直、平行均有可能，故B不正确；对于C，若，，，根据线面垂直的定义可知内的两条相交线线与内的两条相交线平行，故，故C正确；对于D，由C可知，D不正确；故选：C【题目点拨】本题考查了由线面平行、线面垂直判断线面、线线、面面之间的位置关系，属于基础题.4、D【解题分析】

由的部分图象可求得A，T，从而可得，再由，结合的范围可求得，从而可得答案．【题目详解】，；又由图象可得：，可得：，，，．，，又，当时，可得：，此时，可得：故选D．【题目点拨】本题考查由的部分图象确定函数解析式，常用五点法求得的值，属于中档题．5、B【解题分析】

利用直线和圆相交所得弦长公式，计算出弦长.【题目详解】圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，所以.故选：B【题目点拨】本小题主要考查直线和圆相交所得弦长的计算，属于基础题.6、A【解题分析】

由正弦定理求得sinA，利用同角三角函数的基本关系求得cosA，求出sinB=sin(120°+A)的值，可得

的值．【题目详解】△ABC中，由正弦定理可得

，∴

，∴sinA=

，cosA=.

sinB=sin(120°+A)=

•+•=

，再由正弦定理可得

=

=

，

故答案为

A.【题目点拨】本题考查正弦定理，两角和与差的正弦公式的应用，求出sinB是解题的关键，属基础题．7、D【解题分析】

利用数形结合，计算球的半径，可得半径为2，进一步可得该几何体为正四面体，可得结果.【题目详解】如图据题意可知：点都在同一个球面上可知为的外心，故球心必在过且垂直平面的垂线上因为，所以球心到平面的距离为即，又所以同理可知：所以该几何体为正四面体，由点是线段的中点所以，且平面，故平面所以点到平面的距离是故选：D【题目点拨】本题考查空间几何体的应用，以及点到面的距离，本题难点在于得到该几何体为正四面体，属中档题.8、B【解题分析】试题分析：由，可得，所以，故选B．考点：向量的运算．9、B【解题分析】

根据题意可得：，所求式子利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将代入计算即可求出值．【题目详解】由于直线的倾斜角为，所以，则故答案选B【题目点拨】本题考查二倍角的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及直线倾斜角与斜率之间的关系，熟练掌握公式是解本题的关键．10、B【解题分析】

利用直线的方程过点分别与轴的正半轴，轴的正半轴分别交于两点，可得：，，结合基本不等式的性质即可得出.【题目详解】在平面直角坐标系中，过点的直线与轴的正半轴，轴的正半轴分别交于两点，且构成，所以，直线斜率一定存在，设，，：，，则有：，，解得，当且仅当：，即时，等号成立，的面积为：.故选：B【题目点拨】本题考查了直线的截距式方程、基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

由奇函数的性质得出，由题中等式可推出函数是以为周期的周期函数，再利用周期性和奇偶性求出的值.【题目详解】函数是定义在上的奇函数，则，且对任意实数满足，，所以，函数是以为周期的周期函数，，，因此，，故答案为：.【题目点拨】本题考查抽象函数求值，利用题中条件推导出函数的周期是解题的关键，在计算时充分利用函数的周期性将自变的值的绝对值变小，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中等题.12、【解题分析】

根据，得到的值，再由余弦定理，得到的值.【题目详解】因为，所以，在中，，，由余弦定理得.所以.故答案为：【题目点拨】本题考查二倍角的余弦公式，余弦定理解三角形，属于简单题.13、1830【解题分析】

由题意可得，，，，，，…，，变形可得，，，，，，，，…，利用数列的结构特征，求出的前60项和．【题目详解】解：，∴，，，，，，…，，∴，，，，，，，，…，从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列，的前60项和为，故答案为：．【题目点拨】本题主要考查递推公式的应用，考查利用构造等差数列求数列的前项和，属于中档题．14、【解题分析】

直接利用正弦定理和三角函数关系式的变换的应用求出结果．【题目详解】由正弦定理，结合可得，即，即，从而.【题目点拨】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．15、【解题分析】

由等差数列的性质可得出的值，然后利用等差数列的求和公式可求出的值.【题目详解】由等差数列的基本性质可得，因此，.故答案为：.【题目点拨】本题考查等差数列求和，同时也考查了等差数列基本性质的应用，考查计算能力，属于基础题.16、【解题分析】

计算，等腰三角形计算面积，作底边上的高，计算得到答案.【题目详解】，过C作于D，则故答案为【题目点拨】本题考查了三角形面积计算，属于简单题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解题分析】

（1）由二倍角公式，结合题意，可直接求出结果；（2）先由题意求出，，根据，由两角差的正弦公式，即可求出结果.【题目详解】（1）因为，所以；（2）因为为锐角，所以，，又，所以，，所以.【题目点拨】本题主要考查三角恒等变换给值求值的问题，熟记二倍角公式，以及两角差的正弦公式即可，属于常考题型.18、（1）；（2）【解题分析】

（1）关于的不等式的解集为，得出判别式△，且，由此求出的取值范围；（2）由题意知判别式△，设，利用对称轴以及（1），，得出不等式的解集中恰好有三个整数，等价于，由此求出的取值范围．【题目详解】（1）由题意得一元二次不等式对应方程的判别式，结合，解得.（2）由题意得一元二次不等式对应方程的判别式，解得.又，所以.设，其对称轴为.注意到，，对称轴，所以不等式解集中恰好有三个整数只能是1、2、3，此时中恰好含有三个整数等价于：，解得.【题目点拨】本题考查了不等式的解法与应用问题．19、（1）中位数为，平均数为，中位数更适合描述第一小组打分的情况；（2）由可知第二小组的打分人员更像是由营养专家组成；（3）散点图见解析；回归直线为：；的含义：该食材烹饪时间每加热多分钟，则其营养成分大约会减少．【解题分析】

（1）将第一小组打分按从小到大排序，根据中位数和平均数的计算方法求得中位数和平均数；由于存在极端数据，可知中位数更适合描述第一小组打分情况；（2）分别计算两组数据的方差，由可知第二小组打分相对集中，其更像是由营养专家组成；（3）由已知数据画出散点图；利用最小二乘法计算可得回归直线；根据的含义，可确定斜率的含义.【题目详解】（1）第一小组的打分从小到大可排序为：，，，，，，，则中位数为：平均数为：可发现第一小组中出现极端数据，会造成平均数偏低则由以上算得的两个数字特征可知，选择中位数更适合描述第一小组打分的情况．（2）第一小组：平均数为方差：第二小组：平均数：方差：可知，，第一小组的方差远大于第二小组的方差第二小组的打分相对集中，故第二小组的打分人员更像是由营养专家组成的（3）由已知数据，得散点图如下，，且，则关于的线性回归方程为：回归方程中斜率的含义：该食材烹饪时间每加热多分钟，则其营养成分大约会减少．【题目点拨】本题考查计算数据的中位数、平均数和方差、根据方差确定数据的波动性、回归直线的求解问题；考查学生对于统计中的公式的掌握情况，对于学生的计算和求解能力有一定要求，属于常考题型.20、（1）（2）【解题分析】

（1）由点是线段的中点，可得和的坐标，从而得最值和周期，可得和，再代入顶点坐标可得，再利用整体换元可求单调区间；（2）令得到，讨论二次函数的对称轴与区间的位置关系求最值即可.【题目详解】（1）因为为中点，，所以，，则，，又因为，则所以，由又因为，则所以令又因为则单调递增区间为.（2）因为