2024届河南省新乡市第七中学数学高一第二学期期末经典试题含解析

2024届河南省新乡市第七中学数学高一第二学期期末经典试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．经过原点且倾斜角为的直线被圆C:截得的弦长是，则圆在轴下方部分与轴围成的图形的面积等于（）A． B． C． D．2．如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A． B． C． D．3．在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则的面积的最大值为()A． B． C． D．4．设数列是等差数列，是其前项和，且，，则下列结论中错误的是（）A． B． C． D．与均为的最大值5．角的终边在直线上，则（）A． B． C． D．6．下列极限为1的是（）A．（个9） B．C． D．7．已知函数，，的零点分别为a，b，c，则（）A． B． C． D．8．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（）A．至少有一个红球与都是红球B．至少有一个红球与都是白球C．恰有一个红球与恰有二个红球D．至少有一个红球与至少有一个白球9．平面与平面平行的充分条件可以是（）A．内有无穷多条直线都与平行B．直线，，且直线a不在内，也不在内C．直线，直线，且，D．内的任何一条直线都与平行10．已知，，直线，若直线过线段的中点，则（）A．-5 B．5 C．-4 D．4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知三棱锥的外接球的球心恰好是线段的中点，且，则三棱锥的体积为__________.12．函数的单调递减区间为______.13．已知，若，则______.14．若、为单位向量，且，则向量、的夹角为_______.（用反三角函数值表示）15．中，，，，则______.16．函数的初相是__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知直线l：(a-2)y=(3a-1)x-1（1）求证：不论实数a取何值，直线l总经过一定点；（2）若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求直线l的方程．18．已知，，，均为锐角，且.（1）求的值；（2）若，求的值.19．函数在同一个周期内，当时，取最大值1，当时，取最小值-1．（1）求函数的单调递减区间．（2）若函数满足方程，求在内的所有实数根之和．20．已知函数．（1）求的最小正周期．（2）求在区间上的最小值．21．已知为平面内不共线的三点，表示的面积（1）若求；（2）若，，，证明:；（3）若，，，其中，且坐标原点恰好为的重心，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】

由已知利用垂径定理求得，得到圆的半径，画出图形，由扇形面积减去三角形面积求解．【题目详解】解：直线方程为，圆的圆心坐标为，半径为．圆心到直线的距离．则，解得．圆的圆心坐标为，半径为1．如图，，则，．，，圆在轴下方部分与轴围成的图形的面积等于．故选：．【题目点拨】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查扇形面积的求法，考查计算能力，属于中档题．2、D【解题分析】对于选项A,因为，所以，所以即，所以选项A错误；对于选项B，，所以，选项B错误；对于选项C，，当时，，当，，故选项C错误；对于选项D，，所以，又，所以，所以，选D.3、A【解题分析】

由以及，结合二倍角的正切公式，可得，根据三角形的内角的范围可得，由余弦定理以及基本不等式可得，再根据面积公式可得答案.【题目详解】因为，且，所以，所以，则.由于为定值，由余弦定理得，即.根据基本不等式得，即，当且仅当时，等号成立.所以.故选：A【题目点拨】本题考查了二倍角的正切公式，考查了余弦定理，考查了基本不等式，考查了三角形的面积公式，属于中档题.4、C【解题分析】

根据等差数列的性质，结合，，分析出错误结论.【题目详解】由于，，所以，，，所以，与均为的最大值.而，所以，所以C选项结论错误.故选：C.【题目点拨】本小题主要考查等差数列的性质，考查分析与推理能力，属于基础题.5、C【解题分析】

先由直线的斜率得出，再利用诱导公式将分式化为弦的一次分式齐次式，并在分子分母中同时除以，利用弦化切的思想求出所求代数式的值．【题目详解】角的终边在直线上，，则，故选C．【题目点拨】本题考查诱导公式化简求值，考查弦化切思想的应用，弦化切一般适用于以下两个方面：（1）分式为角弦的次分式齐次式，在分子分母中同时除以，可以弦化切；（2）代数式为角的二次整式，先除以，转化为角弦的二次分式其次式，然后在分子分母中同时除以，可以实现弦化切．6、A【解题分析】

利用极限的运算逐项求解判断即可【题目详解】对于A项，极限为1，对于B项，极限不存在，对于C项，极限为1．对于D项，，故选：A．【题目点拨】本题考查的极限的运算及性质，准确计算是关键，是基础题7、B【解题分析】

，，分别为，，的根，作出，，的图象与直线，观察交点的横坐标的大小关系．【题目详解】由题意可得，，分别为，，的根，作出，，,的图象,与直线的交点的横坐标分别为，，，由图象可得，故选：．【题目点拨】本题主要考查了函数的零点，函数的图象，数形结合思想，属于中档题．8、C【解题分析】

从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下几种：3个球全是红球；2个红球和1个白球；1个红球2个白球；3个全是白球.选项A中，事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件；选项B中，事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件；选项D中，事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的事件为“2个红球1个白球”与“1个红球2个白球”；选项C中，事件“恰有一个红球”与事件“恰有2个红球”互斥不对立，故选C.9、D【解题分析】

利用平面与平面平行的判定定理一一进行判断，可得正确答案.【题目详解】解：A选项，内有无穷多条直线都与平行，并不能保证平面内有两条相交直线与平面平行，这无穷多条直线可以是一组平行线，故A错误；B选项,直线，，且直线a不在内，也不在内,直线a可以是平行平面与平面的相交直线，故不能保证平面与平面平行，故B错误；C选项,直线，直线，且，,当直线，同样不能保证平面与平面平行，故C错误；D选项,内的任何一条直线都与平行,则内至少有两条相交直线与平面平行，故平面与平面平行;故选:D.【题目点拨】本题主要考查平面与平面平行的判断，解题时要认真审题，熟练掌握面与平面平行的判定定理，注意空间思维能力的培养.10、B【解题分析】

根据题意先求出线段的中点，然后代入直线方程求出的值.【题目详解】因为，，所以线段的中点为，因为直线过线段的中点，所以，解得.故选【题目点拨】本题考查了直线过某一点求解参量的问题，较为简单.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

根据题意得出平面后，由计算可得答案.【题目详解】因为三棱锥的外接球的球心恰好是的中点，所以和都是直角三角形，又因为，所以，，又，则平面.因为，所以三角形为边长是的等边三角形，所以.故答案为：【题目点拨】本题考查了直线与平面垂直的判定，考查了三棱锥与球的组合，考查了三棱锥的体积公式，属于中档题.12、【解题分析】

利用二倍角降幂公式和辅助角公式可得出，然后解不等式，即可得出函数的单调递减区间.【题目详解】，解不等式，得，因此，函数的单调递减区间为.故答案为：.【题目点拨】本题考查正弦型三角函数单调区间的求解，一般利用三角恒等变换思想将三角函数解析式化简，考查计算能力，属于中等题.13、【解题分析】

由条件利用正切函数的单调性直接求出的值．【题目详解】解：函数在上单调递增，且，若，则，故答案为：．【题目点拨】本题主要考查正切函数的单调性，根据三角函数的值求角，属于基础题．14、.【解题分析】

设向量、的夹角为，利用平面向量数量积的运算律与定义计算出的值，利用反三角函数可求出的值.【题目详解】设向量、的夹角为，由平面向量数量积的运算律与定义得，，，因此，向量、的夹角为，故答案为.【题目点拨】本题考查利用平面向量的数量积计算平面向量所成的夹角，解题的关键就是利用平面向量数量积的定义和运算律，考查运算求解能力，属于中等题.15、【解题分析】

根据，得到的值，再由余弦定理，得到的值.【题目详解】因为，所以，在中，，，由余弦定理得.所以.故答案为：【题目点拨】本题考查二倍角的余弦公式，余弦定理解三角形，属于简单题.16、【解题分析】

根据函数的解析式即可求出函数的初相.【题目详解】，初相为.故答案为：【题目点拨】本题主要考查的物理意义，属于简单题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）15，【解题分析】

（1）直线l方程可整理为：a3x-y+-x+2y-1=0，由直线系的知识联立方程组，解方程组可得定点；

（2）由题意可得a的范围，分别令【题目详解】（1）直线l方程可整理为：a3x-y联立3x-y=0-x+2y-1=0，解得x=∴直线恒过定点15（2）由题意可知直线的斜率k=3a-1∴a∈令y=0，得：x=1令x=0，得：y=-1∴S=1分母t=-3a当a=76∈此时S为最小值.故直线l的方程为：7即为：15x+5y-6=0【题目点拨】本题考查直线过定点问题，涉及函数最值的求解，属中档题．18、（1）；（2）【解题分析】

(1)计算表达出,再根据,两边平方求化简即可求得.(2)根据,再利用余弦的差角公式展开后分别计算求解即可.【题目详解】（1）由题意,得,,,,.（2）,,均为锐角,仍为锐角,,,.【题目点拨】本题主要考查了根据向量的数量积列出关于三角函数的等式,再利用三角函数中的和差角以及凑角求解的方法.属于中档题.19、（1），；（2）．【解题分析】

（1）先求出周期得，由最高点坐标可求得，然后由正弦函数的单调性得结论；（2）由直线与的图象交点的对称性可得．【题目详解】（1）由题意，∴，又，，，由得，∴，令得，∴单调减区间是，；（2）在含有三个周期，如图，的图象与在上有六个交点，前面两个交点关于直线对称，中间两个关于直线对称，最后两个关于直线对称，∴所求六个根的和为．【题目点拨】本题考查由三角函数的性质求解析式，考查函数的单调性，考查函数零点与方程根的分布问题．函数零点与方程根的分布问题可用数形结合思想，把方程的根转化为函数图象与直线交点的横坐标，再利用对称性求解．20、（1）；（2）．【解题分析】试题分析：本题主要考查倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、三角函数的最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.（Ⅰ）先利用倍角公式将降幂，再利用两角和的正弦公式将化简，使之化简成的形式，最后利用计算函数的最小正周期；（Ⅱ）将的取值范围代入，先求出的范围，再数形结合得到三角函数的最小值.试题解析：（Ⅰ）∵，∴的最小正周期为.（Ⅱ）∵，∴.当，即时，取得最小值.∴在区间上的最小值为.考点：倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、三角函数的最值.21、（1）；（2）详见解析；（3）是定值，值为，理由见解析.【解题分析】

（1）已知三点坐标，则可以求出三边长度及对应向量，由向量数量积公式可以求出夹角余弦值，从而算出正弦值，利用面积公式完成作答；（2）和（1）的方法一样，唯独不同在于（1）是具体值，而（2）中是参数，我们可以