2024届云南省昭通市水富市云天化中学高一数学第二学期期末学业质量监测模拟试题含解析

2024届云南省昭通市水富市云天化中学高一数学第二学期期末学业质量监测模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B．C． D．2．若，则一定有（）A． B． C． D．3．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A．中位数 B．平均数C．方差 D．极差4．直线（，）过点(-1,-1),则的最小值为()A．9 B．1 C．4 D．105．已知等差数列的前项和为，首项，若，则当取最大值时，的值为（）A． B． C． D．6．若，则()A．0 B．-1 C．1或0 D．0或-17．若等差数列的前5项之和，且，则（）A．12 B．13 C．14 D．158．现有1瓶矿泉水，编号从1至1．若从中抽取6瓶检验，用系统抽样方法确定所抽的编号为（）A．3，13，23，33，43，53 B．2，14，26，38，42，56C．5，8，31，36，48，54 D．5，10，15，20，25，309．已知圆C的半径为2，在圆内随机取一点P，并以P为中点作弦AB，则弦长的概率为A． B． C． D．10．如图，将边长为的正方形沿对角线折成大小等于的二面角分别为的中点，若，则线段长度的取值范围为（）A． B．C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知圆及点，若满足：存在圆C上的两点P和Q，使得，则实数m的取值范围是________.12．若数列是等差数列，则数列也为等差数列，类比上述性质，相应地，若正项数列是等比数列，则数列_________也是等比数列.13．七位评委为某跳水运动员打出的分数的茎叶图如图，其中位数为_______.14．若采用系统抽样的方法从420人中抽取21人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，420，则抽取的21人中，编号在区间[241,360]内的人数是______15．函数的零点个数为__________．16．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．做一个体积为，高为2m的长方体容器，问底面的长和宽分别为多少时，所用的材料表面积最少？并求出其最小值.18．某机构通过对某企业今年的生产经营情况的调查，得到每月利润（单位：万元）与相应月份数的部分数据如表：14712229244241196（1）根据如表数据，请从下列三个函数中选取一个恰当的函数描述与的变化关系，并说明理由，，，；（2）利用（1）中选择的函数，估计月利润最大的是第几个月，并求出该月的利润.19．在平面直角坐标系中，已知射线与射线，过点作直线l分别交两射线于点A、B（不同于原点O）.（1）当取得最小值时，直线l的方程；（2）求的最小值；20．如图所示，平面平面，四边形为矩形，，点为的中点.(1)若，求三棱锥的体积；(2)点为上任意一点，在线段上是否存在点，使得?若存在，确定点的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.21．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点.已知∠BAC=，AB=2，AC=2，PA=2.求：（1）三棱锥P-ABC的体积；（2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】

画出长方体,将平移至,则,则即为异面直线与所成角,由余弦定理即可求解.【题目详解】根据题意,画出长方体如下图所示:将平移至,则即为异面直线与所成角,,由余弦定理可得故选:C【题目点拨】本题考查了长方体中异面直线的夹角求法,余弦定理在解三角形中的应用,属于基础题.2、C【解题分析】

由题,可得,且,即,整理后即可得到作出判断【题目详解】由题可得,则,因为,则,,则有,所以,即故选C【题目点拨】本题考查不等式的性质的应用,属于基础题3、A【解题分析】

可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案．【题目详解】设9位评委评分按从小到大排列为．则①原始中位数为，去掉最低分，最高分，后剩余，中位数仍为，A正确．②原始平均数，后来平均数平均数受极端值影响较大，与不一定相同，B不正确③由②易知，C不正确．④原极差，后来极差可能相等可能变小，D不正确．【题目点拨】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.4、A【解题分析】

将点的坐标代入直线方程：，再利用乘1法求最值【题目详解】将点的坐标代入直线方程：，，当且仅当时取等号【题目点拨】已知和为定值，求倒数和的最小值，利用乘1法求最值。5、B【解题分析】

设等差数列的公差为，，由，可得，令求出正整数的最大值，即可得出取得最大值时对应的的值.【题目详解】设等差数列的公差为，由，得，可得，令，，可得，解得.因此，最大.故选:B.【题目点拨】本题考查等差数列前项和的最值，一般利用二次函数的基本性质求解，也可由数列项的符号求出正整数的最大值来求解，考查计算能力，属于中等题.6、D【解题分析】

由二倍角公式可得，即，从而分情况求解.【题目详解】易得，或.

由得.

由，得.故选：D【题目点拨】本题考查二倍角公式的应用以及有关的二次齐次式子求值，属于中档题.7、B【解题分析】试题分析：由题意得，，又，则，又，所以等差数列的公差为，所以．考点：等差数列的通项公式．8、A【解题分析】

根据系统抽样原则，可知编号成公差为的等差数列，观察选项得到结果.【题目详解】根据系统抽样原则，可知所抽取编号应成公差为的等差数列选项编号公差为；选项编号不成等差；选项编号公差为；可知错误选项编号满足公差为的等差数列，正确本题正确选项：【题目点拨】本题考查抽样方法中的系统抽样，关键是明确系统抽样的原则和特点，属于基础题.9、B【解题分析】

先求出临界状态时点P的位置，若，则点P与点C的距离必须大于或等于临界状态时与点C的距离，再根据几何概型的概率计算公式求解.【题目详解】如图所示：当时，此时,若，则点P必须位于以点C为圆心，半径为1和半径为2的圆环内，所以弦长的概率为：.故选B.【题目点拨】本题主要考查几何概型与圆的垂径定理，此类题型首先要求出临界状态时的情况，再判断满足条件的区域.10、A【解题分析】

连接和，由二面角的定义得出，由结合为的中点，可知是的角平分线且，由的范围可得出的范围，于是得出的取值范围．【题目详解】连接，可得，即有为二面角的平面角，且，在等腰中，，且，，则，故答案为，故选A．【题目点拨】本题考查线段长度的取值范围，考查二面角的定义以及锐角三角函数的定义，解题的关键在于充分研究图形的几何特征，将所求线段与角建立关系，借助三角函数来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

设出点P、Q的坐标，利用平面向量的坐标运算以及两圆相交的条件求出实数m的取值范围.【题目详解】设点，由得，由点在圆上，得，又在圆上，，与有交点，则，解得故实数m的取值范围为.故答案为：【题目点拨】本题考查了向量的坐标运算、利用圆与圆的位置关系求参数的取值范围，属于中档题.12、【解题分析】

利用类比推理分析，若数列是各项均为正数的等比数列，则当时，数列也是等比数列．【题目详解】由数列是等差数列，则当时，数列也是等差数列．类比上述性质，若数列是各项均为正数的等比数列，则当时，数列也是等比数列．故答案为：【题目点拨】类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．13、85【解题分析】

按照茎叶图，将这组数据按照从小到大的顺序排列，找出中间的一个数即可.【题目详解】按照茎叶图，这组数据是79，83，84，85，87，92，93.把这组数据按照从小到大的顺序排列，最中间一个是85.所以中位数为85.故答案为：85【题目点拨】本题考查对茎叶图的认识．考查中位数，属于基础题.14、6【解题分析】试题分析：由题意得，编号为，由得共6个.考点：系统抽样15、3【解题分析】

运用三角函数的诱导公式先将函数化简，再在同一直角坐标系中做出两支函数的图像，观察其交点的个数即得解.【题目详解】由三角函数的诱导公式得，所以令，求零点的个数转化求方程根的个数，因此在同一直角坐标系分别做出和的图象，观察两支图象的交点的个数为个，注意在做的图像时当时，,故得解.【题目点拨】本题考查三角函数的有界性和余弦函数与对数函数的交点情况，属于中档题.16、【解题分析】2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，所有的基本事件有（数学1，数学2，语文），（数学1，语文，数学2），（数学2，数学1，语文），（数学2，语文，数学1），（语文，数学1，数学2），（语文，数学2，数学1）共6个，其中2本数学书相邻的有（数学1，数学2，语文），（数学2，数学1，语文），（语文，数学1，数学2），（语文，数学2，数学1）共4个，故2本数学书相邻的概率．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、长和宽均为4m时，最小值为64【解题分析】

利用体积求得ab=16，只需表示出表面积，结合高为2m，利用基本不等式求出最值即可.【题目详解】设底面的长和宽分别为，因为体积为32，高为c=2m，所以底面积为16，即ab=16所用材料的面积S=2ab+2bc+2ca=32+4（a+b），当且仅当a=b=4时取等号，答：当底面的长和宽均为4m时，所用的材料表面积最少，其最小值为64【题目点拨】与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.18、（1）,理由见解析；（2）第5个月，利润最大为245.【解题分析】

（1）根据题中数据，即可直接判断出结果；（2）将题中，代入，求出参数，根据二次函数的性质，以及自变量的范围，即可得出结果.【题目详解】（1）由题目中的数据知，描述每月利润（单位：万元）与相应月份数的变化关系函数不可能是常数函数，也不是单调函数；所以，应选取二次函数进行描述；（2）将，代入，解得，，∴，，，，∴，万元.【题目点拨】本题主要考查二次函数的应用，熟记二次函数的性质即可，属于常考题型.19、（1）；（2）6.【解题分析】

（1）设，，利用三点共线可得的关系，计算出后由基本不等式求得最小值．从而得直线方程；（2）由（1）中所设坐标计算出，利用基本不等式由（1）中所得关系可得的最小值，从而得的最小值．【题目详解】（1）设，，因为A，B，M三点共线，所以与共线，因为，，所以，得，即，，等号当且仅当时取得，此时直线l的方程为.（2）因为由，所以，当且仅当时取得等号，所以当时，取最小值6.【题目点拨】本题考查直线方程的应用，考查三点共线的向量表示，考查用基本不等式求最值．用基本不等式求最值时要根据目标函数的特征采取不同的方法，如（1）中用“1”的代换配凑出基本不等式的条件求得最值，（2）直接由已知应用基本不等式求最值．20、(1)；(2)存在，为中点，证明见解析.【解题分析】

（1）先根据面积垂直的性质得到平面；再由题中数据，结合棱锥体积公式，即可求出结果；（2）先由线面垂直的性质得到为中点时，有.再给出证明：取中点，连接，，，由线面垂直的判定定理，以及面面垂直的性质定理，证明平面，再由线面垂直的性质定理，即可得出结果.【题目详解】(1)因为四边形为矩形，所以，又平面平面，所以平面；又，所以，因此三棱锥的体积为：；(2)当为中点时，有.证明如下:取中点，连接，，.∵为的中点，为的中点，∴，又∵，∴，∴四点共面.∵平面平面，平面