专题03 绝对值的化简（专项培优训练）（教师版）

专题03绝对值的化简（专项培优训练）试卷满分：100分考试时间：120分钟试卷难度：0.48一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023•涪城区模拟）若|a+2|＝﹣a﹣2，则|a﹣1|﹣|2﹣a|＝（）A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1【思路点拨】根据|a+2|＝﹣a﹣2确定a的取值范围，进而确定a﹣1，2﹣a的符号，再根据绝对值的定义进行计算即可．【完整解答】解：∵|a+2|＝﹣a﹣2，∴a+2≤0，即a≤﹣2，∴a﹣1＜0，2﹣a＞0，∴|a﹣1|﹣|2﹣a|＝﹣a+1﹣2+a＝﹣1，故选：D．【点评】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的前提．2．（2分）（2022秋•惠山区校级期末）已知a、b、c的大致位置如图所示：化简|a+b|的结果是（）A．﹣a﹣b B．a+b C．﹣a+b D．a﹣b【思路点拨】根据a，b到原点的距离，判断a+b的符号，再进行化简．【完整解答】解：因为a+b＞0，所以|a+b|＝a+b．故选：B．【点评】本题考查了绝对值的化简，掌握绝对值化简的方法是关键．3．（2分）（2023•邯郸三模）表示a是非负数的是（）A．a＞0 B．|a|≥0 C．a＜0 D．a≥0【思路点拨】由非负数的概念，即可判断．【完整解答】解：表示a是非负数的是a≥0．故选：D．【点评】本题考查绝对值，非负数的性质：绝对值，关键是掌握非负数的概念．4．（2分）（2021秋•郸城县期末）式子|x﹣1|﹣3取最小值时，x等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】根据绝对值非负数的性质解答．【完整解答】解：∵|x﹣1|≥0，∴当x﹣1＝0，即x＝1时，|x﹣1|﹣3取最小值．故选：A．【点评】本题考查了绝对值非负数的性质，初中阶段共有绝对值非负数，平方数非负数，算术平方根非负数三种，需熟练掌握．5．（2分）（2022秋•西安期中）下列结论成立的是（）A．若|a|＝a，则a＞0 B．若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b C．若|a|＞a，则a≤0 D．若|a|＞|b|，则a＞b．【思路点拨】若|a|＝a，则a为正数或0；若|a|＝|b|，则a与b互为相反数或相等；若|a|＞a，则a为负数；若|a|＞|b|，若a，b均为正数，则a＞b；若a，b均为负数，则a＜b；若a，b为一正一负或有一个为0，则根据a，b的大小，其结果也不同．【完整解答】解：A．若|a|＝a，则a为正数或0，故结论不成立；B．若|a|＝|b|，则a与b互为相反数或相等，故结论成立；C．若|a|＞a，则a为负数，故结论不成立；D．若|a|＞|b|，若a，b均为负数，则a＜b，故结论不成立；故选：B．【点评】本题考查的知识点有：正、负数的意义、绝对值的意义，有理数的大小比较等．6．（2分）（2022秋•九龙坡区校级期中）下列说法正确的有（）①已知a，b，c是非零的有理数，且＝﹣1时，则的值为1或﹣3；②已知a，b，c是有理数，且a+b+c＝0，abc＜0时，则的值为﹣1或3；③已知x≤4时，那么|x+3|﹣|x﹣4|的最大值为7，最小值为﹣7；④若|a|＝|b|且|a﹣b|＝，则式子的值为；⑤如果定义，当ab＜0，a+b＜0，|a|＞|b|时，{a，b}的值为b﹣a．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【思路点拨】①先由商为﹣1得|abc|＝﹣abc，进而得abc＜0，所以a、b、c三数中有一个负数，两个正数或三个均为负数，分别根据绝对值的性质与有理数的除法法则和加减法则计算便可；②由a+b+c＝0，得a+b＝﹣c，a+c＝﹣b，b+c＝﹣a，由abc＜0，得a、b、c三数中有一个负数，两个正数根据绝对值的性质与有理数的除法法则和加减法则计算便可；③分两种情况：当x＜﹣3时，当﹣3≤x≤4时，分别求得|x+3|﹣|x﹣4|的最大值与最小值；④由|a|＝|b|且|a﹣b|＝，得a＝﹣b，a﹣b＝±，求得a、b的值，再代入式子求值便可；⑤由ab＜0，a+b＜0，|a|＞|b|，得a＜0＜b，再根据新定义解答便可．【完整解答】解：①∵a，b，c是非零的有理数，＝﹣1，∴|abc|＝﹣abc＞0，∴abc＜0，∴a、b、c三数中有一个负数，两个正数或三个均为负数，当a、b、c三数中有一个负数，两个正数时，＝﹣1+1+1＝1，当a、b、c三数均为负数时，＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3，∴的值为1或﹣3，故①正确，符合题意；②∵a+b+c＝0，∴a+b＝﹣c，a+c＝﹣b，b+c＝﹣a，∵abc＜0，∴a、b、c三数中有一个负数，两个正数，不妨令a为负，b、c为正，则＝，故②不正确，不符合题意；③当x＜﹣3时，|x+3|﹣|x﹣4|＝﹣x﹣3﹣（4﹣x）＝﹣x﹣3﹣4+x＝﹣7，当﹣3≤x≤4时，|x+3|﹣|x﹣4|＝x+3﹣（4﹣x）＝x+3﹣4+x＝2x﹣1，此时，当x＝﹣3时，|x+3|﹣|x﹣4|有最小值为2×（﹣3）﹣1＝﹣7，当x＝4时，|x+3|﹣|x﹣4|有最大值为2×4﹣1＝7，综上，|x+3|﹣|x﹣4|的最大值为7，最小值为﹣7，故③正确，符合题意；④∵|a|＝|b|，∴a＝±b，∵|a﹣b|＝，∴a﹣b＝±，∴a＝，b＝﹣或a＝﹣，b＝，∴＝，故④正确，符合题意；⑤∵ab＜0，a+b＜0，|a|＞|b|，∴a＜0＜b，∴{a，b}＝b﹣a，故⑤正确，符合题意；故选：C．【点评】本题考查了绝对值的性质，新定义，解题的关键是熟练应用绝对值的性质化简含有绝对值的式子．7．（2分）（2021秋•凉州区校级月考）若|m﹣3|+|n+2|＝0，则m+2n的值为（）A．﹣4 B．﹣1 C．0 D．4【思路点拨】先根据非负数的性质求出m、n的值，再代入代数式进行计算即可．【完整解答】解：∵|m﹣3|+|n+2|＝0，∴m﹣3＝0，n+2＝0，解得m＝3，n＝﹣2，∴m+2n＝3﹣4＝﹣1．故选：B．【点评】本题考查的是非负数的性质，熟知几个非负数的和为0时，其中每一项必为0是解答此题的关键．8．（2分）（2020秋•龙马潭区期末）已知a是有理数，则下列结论正确的是（）A．a≥0 B．|a|＞0 C．﹣a＜0 D．|a|≥0【思路点拨】根据有理数的定义、绝对值的性质回答即可．【完整解答】解：A．有理数包括正有理数、负有理数和零，故A错误；B．当a＝0时，|a|＝0，故B错误；C．当a＝﹣1时，﹣a＝﹣（﹣1）＝1，故C错误；D．由绝对值的非负性可知|a|≥0，故D正确．故选：D．【点评】本题主要考查的是绝对值的性质、有理数的分类，特殊值法的使用是解题的关键．9．（2分）（2021秋•汤阴县期中）已知a，b，c为非零的实数，则的可能值的个数为（）A．4 B．5 C．6 D．7【思路点拨】分a、b、c三个数都是正数，两个正数，一个正数，都是负数四种情况，根据绝对值的性质去掉绝对值号，再根据有理数的加法运算法则进行计算即可得解．【完整解答】解：①a、b、c三个数都是正数时，a＞0，ab＞0，ac＞0，bc＞0，原式＝1+1+1+1＝4；②a、b、c中有两个正数时，设为a＞0，b＞0，c＜0，则ab＞0，ac＜0，bc＜0，原式＝1+1﹣1﹣1＝0；设为a＞0，b＜0，c＞0，则ab＜0，ac＞0，bc＜0，原式＝1﹣1+1﹣1＝0；设为a＜0，b＞0，c＞0，则ab＜0，ac＜0，bc＞0，原式＝﹣1﹣1﹣1+1＝﹣2；③a、b、c有一个正数时，设为a＞0，b＜0，c＜0，则ab＜0，ac＜0，bc＞0，原式＝1﹣1﹣1+1＝0；设为a＜0，b＞0，c＜0，则ab＜0，ac＞0，bc＜0，原式＝﹣1﹣1+1﹣1＝﹣2；设为a＜0，b＜0，c＞0，则ab＞0，ac＜0，bc＜0，原式＝﹣1+1﹣1﹣1＝﹣2；④a、b、c三个数都是负数时，即a＜0，b＜0，c＜0，则ab＞0，ac＞0，bc＞0，原式＝﹣1+1+1+1＝2．综上所述，的可能值的个数为4．故选：A．【点评】本题考查了有理数的除法，绝对值的性质，难点在于根据三个数的正数的个数分情况讨论．10．（2分）（2021秋•荔城区期末）若a＜0，则2a+5|a|等于（）A．3a B．﹣3a C．7a D．﹣7a【思路点拨】利用绝对值的性质：正数，零的绝对值是本身，负数的绝对值是它的相反数可将其进行化简．【完整解答】解：∵a＜0，∴|a|＝﹣a，∴原式＝2a﹣5a＝﹣3a，故选：B．【点评】本题考查了与绝对值有关的计算，解题的关键在于利用绝对值的性质进行化简．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023春•浦东新区期末）若|a﹣1|＝1﹣a，则a的取值范围是a≤1．【思路点拨】根据|a|＝﹣a时，a≤0，因此|a﹣3|＝3﹣a，则a﹣3≤0，即可求得a的取值范围．【完整解答】解：∵|a﹣1|＝1﹣a，∴a﹣1≤0，解得：a≤1．故答案为：a≤1．【点评】本题考查的是绝对值的性质，掌握一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0是解题的关键．12．（2分）（2022秋•坪山区校级期末）已知a、b、c的位置如图所示，化简|a+b|﹣|c﹣a|+|b+c|＝0．【思路点拨】由图可知：c＜a＜0＜b且|a|＜|b|＜|c|，再去绝对值化简即可求解．【完整解答】解：由数轴可知，c＜a＜0＜b且|a|＜|b|＜|c|，∴|a+b|﹣|c﹣a|+|b+c|＝a+b+c﹣a﹣b﹣c＝0．故答案为：0．【点评】本题考查了绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质，结合数轴正确去掉绝对值符号是解题是关键．13．（2分）（2022秋•泉州期末）单项式a是一个正数，且，那么的值为0．【思路点拨】根据a的值确定＝1，进而得出+的值为﹣2，得到b＜0，c＜0后，再根据绝对值的定义进行计算即可．【完整解答】解：∵a是一个正数，∴＝1，又∵，即+＝﹣2，∴b＜0，c＜0，∴ab＜0，bc＞0，ac＜0，abc＞0，∴＝﹣1+1﹣1+1＝0．故答案为：0．【点评】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的前提．14．（2分）（2022秋•余杭区校级期中）已知实数a，b，c，且a＜b＜0＜c，则化简|a﹣b|﹣|c﹣a|＝b﹣c．【思路点拨】根据a＜b＜0＜c，得出a﹣b＜0，c﹣a＞0，再根据绝对值的性质进行化简，然后合并同类项即可．【完整解答】解：∵a＜b＜0＜c，∴a﹣b＜0，c﹣a＞0．∵|a﹣b|﹣|c﹣a|＝﹣（a﹣b）﹣（c﹣a）＝﹣a+b﹣c+a＝b﹣c．故答案为：b﹣c．【点评】本题主要考查了绝对值的性质，掌握负数的绝对值等于它的相反数是解题的关键．15．（2分）（2022秋•东港区校级月考）已知|x﹣1|＝3，|y|＝2．则x﹣y的最大值是6．【思路点拨】根据绝对值的定义求得x＝4或﹣2，y＝±2，再分类讨论求得x﹣y，进而解决此题．【完整解答】解：∵|x﹣1|＝3，|y|＝2，∴x﹣1＝±3，y＝±2．∴x＝4或﹣2．∴当x＝4，y＝2，则x﹣y＝4﹣2＝2；当x＝4，y＝﹣2，则x﹣y＝4﹣（﹣2）＝6；当x＝﹣2，y＝2，则x﹣y＝﹣2﹣2＝﹣4；当x＝﹣2，y＝﹣2，则x﹣y＝﹣2﹣（﹣2）＝0．综上：x﹣y＝﹣4或0或2或6．∴x﹣y的最大值为6．故答案为：6．【点评】本题主要考查绝对值，熟练掌握绝对值的定义以及分类讨论的思想是解决本题的关键．16．（2分）（2021秋•东莞市期中）若|6﹣x|与|y+9|互为相反数，则x＝6，y＝﹣9，（x+y）÷（x﹣y）＝﹣．【思路点拨】根据相反数的概念列出算式，求出x、y的值，计算即可．【完整解答】解：由题意得，|6﹣x|+|y+9|＝0，则6﹣x＝0，y+9＝0，解得，x＝6，y＝﹣9，则（x+y）÷（x﹣y）＝﹣，故答案为：6；﹣9；﹣．【点评】本题考查的是非负数的性质，掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．17．（2分）（2022秋•鼓楼区校级月考）已知a，b为有理数，且|a+1|+|2013﹣b|＝0，则ab＝﹣1．【思路点拨】根据两个绝对值的和为0，可得每个绝对值为0，再根据绝对值，可得a，b的值，可得答案．【完整解答】解：|a+1|+|2013﹣b|＝0，∴a+1＝0，2013﹣b＝0，a＝﹣1，b＝2013，∴ab＝（﹣1）2013＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了非负数的性质：绝对值，两个绝对值的和为0，可得每个绝对值为0是解题关键．18．（2分）（2020秋•晋江市校级期末）已知x为有理数，则|1﹣x|+|1﹣2x|+|1﹣3x|+……+|1﹣10x|的最小值为．【思路点拨】分情况进行讨论，计算绝对值，再合并同类项即可求解．【完整解答】解：当x≤时，原式＝10﹣55x≥4.5；当＜x≤时，原式＝8﹣35x，最小值为8﹣35×＝；当＜x≤时，原式＝6﹣17x，最小值为6﹣17×＝；当＜x≤时，原式＝4﹣x，最小值为4﹣＝；当＜x≤时，原式＝2+13x，最小值为2+13×＝；根据趋势，x≥，该区域内的最小值会逐渐增加，∴最小值为．故答案为：．【点评】此题主要考查了绝对值，关键是熟悉绝对值的性质，注意分类讨论的思想．19．（2分）（2022秋•海珠区校级期末）若a+b+c＜0，abc＞0，则的值为4或0或2．【思路点拨】根据a+b+c＜0，abc＞0，推导出a、b、c三个数中必定是一正两负，进而分类讨论即可．【完整解答】解：∵a+b+c＜0，abc＞0，∴a、b、c三个数中必定是一正两负，∴当a＜0，b＜0，c＞0时，ab＞0，此时＝﹣1+2+3＝4；当a＜0，b＞0，c＜0时，ab＜0，此时＝﹣1﹣2+3＝0当a＞0，b＜0，c＜0时，ab＜0，此时＝1﹣2+3＝2故答案为：4或0或2．【点评】本题考查了与绝对值有关的代数式化简问题，熟练运用分类讨论思想是解题的关键．20．（2分）（2020秋•饶平县校级期中）当式子|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是﹣1≤x≤2，最小值是3．【思路点拨】|x+1|+|x﹣2|的最小值，意思是x到﹣1的距离与到2的距离之和最小，那么x应在﹣1和2之间的线段上．【完整解答】解：由数形结合得，若|x+1|+|x﹣2|取最小值，那么表示x的点在﹣1和2之间的线段上，所以﹣1≤x≤2，最小值是3．故答案为：﹣1≤x≤2，3．【点评】本题主要考查了数轴和绝对值，掌握数轴上两点间的距离＝两个数之差的绝对值．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2022秋•子洲县校级月考）请根据图示的对话解答下列问题．（1）分别求出a和b的值．（2）已知|m﹣a|+|b+n|＝0，求m﹣n的值．【思路点拨】（1）根据相反数和绝对值的定义可得结果；（2）根据绝对值的非负数性质解答即可．【完整解答】解：（1）因为2的相反数是﹣2，所以a＝﹣2；因为b＜a，且b的绝对值是﹣5，所以b＝﹣5；（2）由题意得：|m﹣（﹣2）|+|﹣5+n|＝0，∴m+2＝0，﹣5+n＝0，解得m＝﹣2，n＝5，∴m﹣n＝﹣2﹣5＝﹣7．【点评】本题考查了相反数的概念、非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．22．（8分）（2021秋•石峰区校级期中）阅读下列材料：|x|＝，即当x＜0时，1．当x＞0时，用这个结论可以解决下面问题：（1）已知a＞0，b＜0时，求的值；（2）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求的值．【思路点拨】（1）利用绝对值的意义解答即可；（2）通过分析确定出a，b，c的符号，再利用绝对值的意义化简运算即可．【完整解答】解：（1）∵a＞0，b＜0，∴|a|＝a，|b|＝﹣b，∴原式＝＝1﹣1＝0；（2）∵a+b+c＝0，∴b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c．∵a+b+c＝0，abc＜0，∴a，b，c中两个正数一个负数，设a＞0，b＞0，c＜0，∴原式＝＝＝﹣1﹣1+1＝﹣1．【点评】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的加减，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．23．（6分）（2022秋•祁阳县校级期中）若|a|＝7，|b|＝3，（1）若ab＞0，求a+b的值．（2）若|a+b|＝a+b，求a﹣b的值．【思路点拨】（1）首先利用绝对值的定义解得a，b，根据ab＞0，确定a，n代入即可；（2）根据|a+b|＝a+b，确定a，b代入即可．【完整解答】解：∵|a|＝7，|b|＝3，∴a＝±7，b＝±3，（1）∵ab＞0，∴a＝7时，b＝3，a+b＝7+3＝10；a＝﹣7时，b＝﹣3，a+b＝﹣7+（﹣3）＝﹣10，∴a+b的值为±10；（2）∵|a+b|＝a+b，∴a＝7时，b＝±3，∴a﹣b＝7﹣（﹣3）＝10或a﹣b＝7﹣3＝4，∴a﹣b的值为4或10．【点评】本题主要考查了绝对值的定义，理解绝对值的定义是解答此题的关键．24．（6分）（2022秋•越秀区校级期中）（1）化简：2|x﹣2|﹣|x+4|；（2）若2a+|4﹣5a|+|1﹣3a|的值是一个定值，求a的取值范围，并且求出定值．【思路点拨】（1）先求出零点值，再分类化简绝对值便可；（2）根据绝对值的性质进行解答便可．【完整解答】解：令x﹣2＝0，x+4＝0，得x＝2，x＝﹣4，∴零点值为x＝﹣4和x＝2，①当x＜﹣4时，2|x﹣2|﹣|x+4|＝2（2﹣x）+x+4＝4﹣2x+x+4＝8﹣x，②当﹣4≤x＜2时，2|x﹣2|﹣|x+4|＝2（2﹣x）﹣x﹣4＝4﹣2x﹣x﹣4＝﹣3x，③当x≥2时，2|x﹣2|﹣|x+4|＝2（x﹣2）﹣x﹣4＝2x﹣4﹣x﹣4＝x﹣8，综上，2|x﹣2|﹣|x+4|＝；（2）要想使2a+|4﹣5a|+|1﹣3a|的值是一个定值，就必须使得4﹣5a≥0，且1﹣3a≤0，原式＝2a+4﹣5a﹣（1﹣3a）＝3，即时，原式的值定值3．【点评】本题主要考查绝对值的性质，关键是正确理解与应用绝对值的性质解题．25．（6分）（2018秋•鲤城区期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试化简下式：|a﹣c|﹣|a﹣b|+|2a|．【思路点拨】根据数轴上a、b、c的位置，判断出a﹣c、a﹣b以及2a的符号，然后根据绝对值的性质进行化简．【完整解答】解：由图可知：c＜a＜0＜b；∴a﹣c＞0，a﹣b＜0，2a＜0；∴原式＝a﹣c+a﹣b﹣2a＝﹣b﹣c．【点评】本题考查了绝对值的性质，能够正确的判断出绝对值内代数式的符号是解答此类题目的关键．26．（10分）（2021秋•南昌县期中）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，可以这样分类：当a＞0时，|a|＝a；当a＝0时，|a|＝0；当a＜0时，|a|＝﹣a．用这种方法解决下列问题：（1）当a＝5时，求的值．（2）当a＝﹣2时，求的值．（3）若有理数a不等于零，求的值．（4）若有理数a、b均不等于零，试求的值．【思路点拨】（1）直接将a＝5代入求出答案；（2）直接将a＝﹣2代入求出答案；（3）分别利用a＞0或a＜0分析得出答案；（4）分别利用当a，b是同正数或当a，b是同负数或当a，b是异号分析得出答案．【完整解答】解：（1）当a＝5时，＝1；（2）当a＝﹣2时，＝﹣1；（3）若有理数a不等于零，当a＞0时，＝1，当a＜0时，＝﹣1；（4）若有理数a、b均不等于零，当a，b是同正数，＝2，当a，b是同负数，＝﹣2，当a，b是异号，＝0．【点评】此题主要考查了绝对值，正确分类讨论得出是解题关键．27．（8分）（2016秋•景德镇期末）已知a+b+c＝0，其中a＞0，c＜0且|a|＜|c|，请根据绝对值的意义化简：（1）＝1，＝﹣1；（2）请分析b的正负性，并求出++的值．【思路点拨】（1）先依据绝对值的性质化简绝对值，然后利用除法法则计算即可；（2）由a+b+c＝0可知b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，然后再化简绝对值即可．【完整解答】解：（1）∵a＞0，c＜0，∴|a|＝a，|ac|＝﹣ac．∴＝＝1，＝＝﹣1．故答案为：1；﹣1．（2）∵a＞0，c＜0且|a|＜|c|，∴a＜﹣c，即a+c＜0，而a+b+c＝0，则b＝﹣（a+c）＞0，即b为正．又b+c＝﹣