高思奥数导引小学五年级含详解答案第22讲：牛吃草问题与时钟问题

第22讲：牛吃草问题与钟表问

题

内容概述

牛吃草问题是一类特殊的工程问题，钟表问题是一类特殊的行程问题。牛吃草问题的难点在

于草的总量有变化，因此要注意单位"1"的选取。掌握钟表问题的相关知识，学会将指针成

角度问题转化为指针间的环形追及问题或相遇问题，学会用比例分析两个速度不同的钟表之

间的时间对比关系。

典型问题

兴趣篇

1.有一片牧场，草每天都在均匀地生长。如果在牧场上放养24头牛，那么6天就把草吃完

了；如果只放养21头牛，那么8天才把草吃完。请问：

（1）要使得草永远吃不完，最多可以放养多少头牛？

（2）如果放养36头牛，多少天可以把草吃完？

2.学校有一片均匀生长的草地，可以供18头牛吃40天，或者供12头牛与36只羊吃25天，

如果1头牛每天的吃草量相当于3只羊每天的吃草量。请问：这片草地让17头牛与多少只

羊一起吃，刚好16天吃完？

3.一片均匀生长的草地，如果有15头牛吃草，那么8天可以把草全部吃完；如果起初这15

头牛在草地上吃了2天后，又来了2头牛，则总共7天就可以把草吃完。如果起初这15头

牛吃了2天后，又来了5头牛，再过多少天可以把草吃完？

4.有一座时钟现在显示上午10点整。问：

（1）多少分钟后，分针与时针第一次重合？

（2）再经过多少分钟，分针与时针第二次重合？

5.小悦早上6点半起床，赶到学校时发现手表上的时针和分针恰好第一次张开成一条直线,

那么小悦到达学校的时间是几点几分？

6.阿奇在9点与10点之间开始解一道数学题，当时手表的时针和正好成一条直线。当阿奇

解完这道题时，时针和刚好第一次重合。请问：阿奇解这道题用了多少分钟？

7.下午6点多时冬冬吃完晚饭开始看动画片，动画片开始时他看手表，发现时针和的夹角为

110。。在新闻联播前动画片放完了，冬冬又看了表，发现时针和分针的夹角仍是110。。那

么动画片一共放了多少分钟？

8.在早晨6点到7点之间有一时刻，钟面上的"6"字恰好在时针与分针的正中央。请问：这

一时刻是6点多少分？

9.小悦的手表比家里的闹钟走得要快一些。这天中午12点时，小悦把手表和闹钟校准，但

当闹钟走到下午1点时，手表显示的时间是1点5分。请问：

（1）当闹钟显示当天下午5点的时候，手表显示的时间是几点几分？

（2）当手表显示当天下午6点半的时候，闹钟显示的时间是几点几分？

10.一个快钟每小时比标准时间快1分钟，一个慢钟每小时比标准时间慢3分钟。现在将两

个钟同时调到标准时间，结果在24小时内，快钟显示9点整时，慢钟恰好显示8点整。请

问：这个时候的标准时间是多少？

拓展篇

1.有一片牧场，草每天都在均匀地生长。如果在牧场上放养18头牛，那么10天能把草吃完;

如果只放养24头牛，那么7天就把草吃完了。请问：

（1）如果放养32头牛，多少天可以把草吃完？

（2）要放养多少头牛，才能恰好14天把草吃完？

2.进入冬季后，有一片牧场上的草开始枯萎，因此草会均匀地减少。现在开始在这片牧场上

放羊，如果有38只羊，把草吃完需要25天；如果有30只羊，把草吃完需要30天。如果

有20只羊，这片牧场可以吃多少天？

3.一个露天水池底部有若干同样大小的进水管。这天蓄水时恰好赶上下雨，每分钟注入水池

的雨水量相同。如果打开24根进水管，5分钟能注满水池；如果打开12根进水管，8分钟

能注满水池；如果打开8根进水管，多少分钟能将水池注满？

4.把一片均匀生长的大草地分成三块，面积分别为5公顷、15公顷和24公顷。如果第一块

草地可以供1。头牛吃30天，第二块草地可以供28头牛吃45天，那么第三块草地可以供

多少头牛吃80天？

5.一个时钟现在显示的时间是3点整，请问：

（1）多少分钟后，时针与分针第一次重合？

（2）再经过多少分钟后，时针与分针第一次张开成一条直线？

6.在9点23分时，时针和分针的夹角是多少度？从这一时刻开始，经过多少分钟，时针和

分针第一次垂直？

7.小悦晚上去超市买东西，到的时候是7点24分，买完出来的时候仍然是7点多，且分针

和时针所夹的角度与到超市时相同。请问：小悦出来的时候是7点几分？买东西一共花了多

少分钟？

8.图22-1中是一个特殊的钟，分针每80分钟走一圈，分针走8圈时针就走一圈。从分针与

时针重合开始，到分针与时针第三次成直角需要多少分钟？

图22-1

9.小明上了一节课，时间不到1小时，他发现下课时与上课时手表上时针与分针的位置刚好

对调。请问：这一堂课上了多少分钟？

10.在早晨6点到7点之间有一个时刻,钟面上的数字"5"恰好在时针与分针的正中央。请问:

这时是6点几分？

11.（1）小悦的闹钟比标准时间每小时快3分钟。一天晚上11点，小悦把钟校准，并把闹

铃定在第二天早上6点。试问：当闹铃响起时，标准时间是几点几分？

(2)阿奇的手表比标准时间每小时慢4分钟。一天早上8点，阿奇将表校准。试问：当这

只表指向下午3点的时候，标准时间是几点几分？

12.如图22-2所示，某科学家设计了一只怪钟。这只怪钟每昼夜10小时，每小时100分钟。

当这只钟显示5点时，实际上是中午12点。问：当这只钟第一次显示6点75分时，实际上

是什么时间？

图22-2

超越篇

1.第一、二、三号牧场的面积依次为3公顷、5公顷、7公顷，三个牧场上的草长得一样密，

且生长得一样快。有两群牛，第一群牛2天将一号牧场的草吃完，又用5天将二号牧场的草

吃完。在这7天里，第二群牛刚好将三号牧场的草吃完。如果第一群牛有15头，那么第二

群牛有多少头？

2.钟面上会出现时针与分针重合的情况，也会出现时针与分针关于钟面左右对称的情况。请

问：

(1)距5点最近的"时针与分针重合”的时刻是几点几分？

(2)距5点最近的"时针与分针左右对称"的时刻是几点几分？

3.现在的时间在10点与11点之间，如果在6分钟后表的分针的位置恰好与3分钟前时针的

位置方向相反，那么现在的时间是几点儿分？

4.某工厂的一只不准的时钟需要69分钟（标准时间）时针与分针才能重合一次。工人每天

的正常工作时间是8小时，在此期间内，每工作一小时付约工资4元，如果超出规定时间就

算加班，加班每小时付给工资6元。如果一个工人照此钟工作8小时，他实际上应得到工资

多少元？

5.有两只旧钟，分别对它们进行观测，发现一只钟的分针与时针重合一次用64分钟，另一

只钟的分针与时针重合一次用66分钟，现在把两只钟都在标准时间0:00校准。试问：当它

们再次出现在钟面上同一位置，且分针与时针重合（不一定指向12点），是几天几小时几分

钟之后？

6.费叔叔有一只手表和一个闹钟，他发现闹钟每走一个小时，他的手表会多走30秒，但闹

钟却比标准时间每小时慢30秒。在今天中午12点费叔叔把手表和标准时间校准，那么明天

中午12点时，费叔叔的手表显示的时间是几点几分几秒？

7.如图22-3所示，一块正方形草地被分为完全相同的四块以及中间的阴影部分。已知草一

开始是均匀分布，且以恒定的速度均匀生长。但如果某块地上的草被吃光，就不再生长（因

为草根也被吃掉了）.老农先带着一群牛在1号草地上吃草，两天后把1号草地上的草全部

吃完（这期间其他草地的草正常生长）。之后他让一半牛在2号草地上吃草，另一半在3号

草地上吃草，结果又过了6天，这两个草地上的草也全部吃完。最后，老农把3的牛放在阴

5

影草地上吃草，而剩下的牛放在4号草地上，最后发现两块草地上的草同时吃完。如果一开

始就让这群牛在整块草地上吃草，那么吃完这些草需要多少天？

8.有一只表没有秒针，而且时针和分针无法辨别。在多数情况下可根据两针所指的位置判断

出正确的时间，但有时也会出现两种可能，使你判断不出正确的时间。请问：从中午12时

到夜里12时这段时间会遇到多少次无法判断的情况？

第22讲：牛吃草问题与钟表问题

内容概述

牛吃草问题是一类特殊的工程问题，钟表问题是一类特殊的行程问题。牛吃草问题的难点在

于草的总量有变化，因此要注意单位T'的选取。掌握钟表问题的相关知识，学会将指针成

角度问题转化为指针间的环形追及问题或相遇问题，学会用比例分析两个速度不同的钟表之

间的时间对比关系。

典型问题

兴趣篇

1.有一片牧场，草每天都在均匀地生长。如果在牧场上放养24头牛，那么6天就把草吃完

了；如果只放养21头牛，那么8天才把草吃完。请问：

（1）要使得草永远吃不完，最多可以放养多少头牛？

（2）如果放养36头牛，多少天可以把草吃完？

【分析】设1头牛1天吃1份草，则草的生长速度为⑵x8-24x6）+（8-6）=12,因此最多放

养12头牛.

原有草量为24x6-12x6=72,如果放养36头牛最多72+（36-12）=3（天）

2.学校有一片均匀生长的草地，可以供18头牛吃40天，或者供12头牛与36只羊吃25天，

如果1头牛每天的吃草量相当于3只羊每天的吃草量。请问：这片草地让17头牛与多少只

羊一起吃，刚好16天吃完？

【分析】将羊转化为牛，题目转化为可以供18头牛吃40天，或者供24头牛吃25天

设1头牛1天吃1份草，则草的生长速度为(18x40-24x25)+(40-25)=8,

原有草量为24x25-25x8=400,这片草地可供400+16+8=33(头)牛，相当于

17头牛，(33-17)*3=48(只)羊

3.一片均匀生长的草地，如果有15头牛吃草，那么8天可以把草全部吃完；如果起初这15

头牛在草地上吃了2天后，又来了2头牛，则总共7天就可以把草吃完。如果起初这15头

牛吃了2天后，又来了5头牛，再过多少天可以把草吃完？

【分析】设1头牛1天吃1份草，则草的生长速度为(15x8-15x2-17x5)X8-7)=5,原有

草量为15x8-5x8=80,起初这15头牛吃了2天后，又来了5头牛，再过

[80-(15-5)x2]+(15+5-5)=4天可以把1草吃,完

4.有一座时钟现在显示上午10点整。问：

(1)多少分钟后，分针与时针第一次重合？

(2)再经过多少分钟，分针与时针第二次重合？

【分析】(1)上午10点整，分针落后时针50格，所以50+(1--!-)=50x(l+-!~)=54色分

12II11

钟后分针与时针第一次重合

(2)分针再追时针60格，分针与时针第二次重合，所以再过分钟

60+(1-」)=652分钟

1211

5.小悦早上6点半起床，赶到学校时发现手表上的时针和分针恰好第一次张开成一条直线,

那么小悦到达学校的时间是几点几分？

【分析】6点时分针和时针好张开成一条直线，因此分针要在比时针多走60格，才能再次

出现时针和分针张开成一条直线，即再过60+(1-、)=65(分钟，所以小悦到达

学校的时间是7点52分

11

6.阿奇在9点与10点之间开始解一道数学题，当时手表的时针和正好成一条直线。当阿奇

解完这道题时，时针和刚好第一次重合。请问：阿奇解这道题用了多少分钟？

【分析】由成一条直线到重合，分针比时针多走了30格，所以阿奇解这道题用了

1Q

30+(1——)=32、分钟.

1211

7.下午6点多时冬冬吃完晚饭开始看动画片，动画片开始时他看手表，发现时针和的夹角为

110。。在新闻联播前动画片放完了，冬冬又看了表，发现时针和分针的夹角仍是110。。那

么动画片一共放了多少分钟？

【分析】分针比时针多走了220,所以动画片一共放了220+(6-0.5)=40(分钟)

8.在早晨6点到7点之间有一时•刻，钟面上的"6"字恰好在时针与分针的正中央。请问：这

一时刻是6点多少分？

1Q

【分析】根据题意，从六点开始，分针和时针共走了30格，所以分针走了30+(1+—)=27—

1213

分钟，所以这一时刻是6点27二分

13

9.小悦的手表比家里的闹钟走得要快一些。这天中午12点时，小悦把手表和闹钟校准，但

当闹钟走到下午1点时，手表显示的时间是1点5分。请问：

(1)当闹钟显示当天下午5点的时候，手表显示的时间是几点几分？

(2)当手表显示当天下午6点半的时候，闹钟显示的时间是几点几分？

【分析】(1)手表每小时比闹钟快5分钟，所以手表显示的时间是5点25分

(2)当手表显示当天下午6点半的时候，闹钟显示的时间是6点

10.一个快钟每小时比标准时间快1分钟，一个慢钟每小时比标准时间慢3分钟。现在将两

个钟同时调到标准时间，结果在24小时内，快钟显示9点整时，慢钟恰好显示8点整。请

问：这个时候的标准时间是多少？

【分析】根据题意相同时间内快钟、标准钟、慢钟的路程比为61:60:57,在24小时内快钟

比慢钟多走了60格，因此快钟比标准钟多走了60+(61-57)x(61-60)=15格，因

此这个时候的标准时间是8点45

拓展篇

1.有一片牧场，草每天都在均匀地生长。如果在牧场上放养18头牛，那么10天能把草吃完；

如果只放养24头牛，那么7天就把草吃完了。请问：

(1)如果放养32头牛，多少天可以把草吃完？

(2)要放养多少头牛，才能恰好14天把草吃完？

【分析】(1)设1头牛I天吃1份草，则草的生长速度为(18x10-24x7)+(10-7)=4,原有

草量为24x7-4x7=140,如果放养32头牛最多吃140+(32-4)=5(天)

(2)恰好14天把草吃完，要放养140+14+4=14(头)牛

2.进入冬季后，有一片牧场上的草开始枯萎，因此草会均匀地减少。现在开始在这片牧场上

放羊，如果有38只羊，把草吃完需要25天；如果有30只羊，把草吃完需要30天。如果

有20只羊，这片牧场可以吃多少天？

【分析】设1头羊1天吃1份草，则草的减少速度为(38x25-30x30)+(30-25)=1(,原有

草量为38x25+10x25=1200,如果放养20头羊最多吃1200+(20+10)=40(天)

3.一个露天水池底部有若干同样大小的进水管。这天蓄水时恰好赶上下雨，每分钟注入水池

的雨水量相同。如果打开24根进水管，5分钟能注满水池；如果打开12根进水管，8分钟

能注满水池；如果打开8根进水管，多少分钟能将水池注满？

【分析】设1根进水管1分钟进水1份，则雨水的注水速度为(24x5-12x8)+(8-5)=8,水

池容量为24x5+8x5=160,如果打开8根进水管160+(8+8)=10分钟能将水池注

满

4.把一片均匀生长的大草地分成三块，面积分别为5公顷、15公顷和24公顷。如果第一块

草地可以供1。头牛吃30天，第二块草地可以供28头牛吃45天，那么第三块草地可以供

多少头牛吃80天？

【分析】设1头牛1天吃1份草，则1公顷草的生长速度为

(28x45+15—10x30+5)+(45-30)=1.6,1公顷草地的原有草量为

28x45+15-1.6x45=12,要把第三块草地80天吃完可供

(12x24+1.6x24x80)-80=42头牛

5.一个时钟现在显示的时间是3点整，请问：

(1)多少分钟后，时针与分针第一次重合？

(2)再经过多少分钟后，时针与分针第一次张开成一条直线？

【分析】(1)3点时分针落后时针15格，所以15+(1-1*)=16巴分钟后，时针与分针第一

1211

次重合

(2)再经过30+(1-4)=32(■分钟后，时针与分针第一次张开成一条直线

6.在9点23分时，时针和分针的夹角是多少度？从这一时刻开始，经过多少分钟，时针和

分针第一次垂直？

【分析】九点时，分针和时针夹角为90，在9点23分时，时针和分针的夹角为

360-(90+23x6-23x0.5)=143.5。从这一时刻开始，经过

Q

(143+5-9=04分钟，时针和分针第一次垂直.

7.小悦晚上去超市买东西，到的时候是7点24分，买完出来的时候仍然是7点多，且分针

和时针所夹的角度与到超市时相同。请问：小悦出来的时候是7点几分？买东西一共花了多

少分钟？

【分析】设小悦出来时是7点x分，根据夹角相同列方程得x-35x=35-24+24x-!-,

1212

解得x=52二4，小悦出来的时候是7点524：分钟，买东西一共花了524—-24=284—

11111111

分钟

8.图22-1中是一个特殊的钟，分针每80分钟走--圈，分针走8圈时针就走一圈。从分针与

时针重合开始，到分针与时针第三次成直角需要多少分钟？

图22-1

【分析】将特殊钟每大格再分成十个小格，则分针的速度为1格/分，时针速度为！格/分，

8

第一次成直角分针比时针多走20格，后两次每次多走40格，所以到分针与时针第

12

三次成直角需要(20+40+40)+(1--)=114亍分钟

9.小明上了一节课，时间不到1小时，他发现下课时与上课时手表上时针与分针的位置刚好

对调。请问：这一堂课上了多少分钟？

【分析】根据题意时针和分针共走了一圈，因此这一堂课上了60+(1+\)=555分钟

10.在早晨6点到7点之间有一个时刻,钟面上的数字"5"恰好在时针与分针的正中央。请问：

这时是6点几分？

【分析】根据题意，从六点开始，分针和时针共走了25格，所以分针走了25H-(1+—)=18—

1213

分钟，所以这一时刻是6点18^分

13

11.(1)小悦的闹钟比标准时间每小时快3分钟。一天晚上11点，小悦把钟校准，并把闹

铃定在第二天早上6点。试问：当闹铃响起时，标准时间是几点几分？

(2)阿奇的手表比标准时间每小时慢4分钟。一天早上8点，阿奇将表校准•试问：当这

只表指向下午3点的时候，标准时间是几点几分？

【分析】(1)根据题意闹钟与标准时间的速度比为63:6,所以标准钟走了

2

7x6063c66•格，走了400+60=6—时，即当闹铃响起时，标准时间是5点

3

40分

(2)根据题意手表与标准时间的速度比为56:60=14:1,所以标准钟走了

7x60-14x15=45格，走了450+60=7.5时，即当这只表指向下午3点的时

候，标准时间是3点30分

12.如图22-2所示，某科学家设计了一只怪钟。这只怪钟每昼夜10小时，每小时100分钟。

当这只钟显示5点时，实际上是中午12点。问：当这只钟第一次显示6点75分时，实际上

是什么时间？

【分析】根据题意这个怪钟与标准钟的速度比为(10x100):(24x60)=25:36,所以当这只钟

第一次显示6点75分时，实际用时是175+25x36=252分，252分=4小时12分，

当这只钟第一次显示6点75分时，实际上是4时12分

超越篇

1.第一、二、三号牧场的面积依次为3公顷、5公顷、7公顷，三个牧场上的草长得一样密，

且生长得一样快。有两群牛，第一群牛2天将一号牧场的草吃完，又用5天将二号牧场的草

吃完。在这7天里，第二群牛刚好将三号牧场的草吃完。如果第一群牛有15头，那么第二

群牛有多少头？

【分析】设1公顷草地的原有草量为x,1公顷草地的生长速度为y

根据题意列方程组得禁=7严＜,解得卜=?,因此第二群牛有

px+35y=15x5(y=I

(8x7+7x7xl)+7=15(头)

2.钟面上会出现时针与分针重合的情况，也会出现时针与分针关于钟面左右对称的情况。请

问：

(1)距5点最近的"时针与分针重合”的时刻是几点几分？

(2)距5点最近的"时针与分针左右对称”的时刻是几点几分？

13

【分析】(1)从5点计时，25+(1-')=272分，距5点最近的“时针与分针重合”的时刻

1211

是5点27,分

11

(2)距5点最近只能是4点多，又时针与分针左右对称，此时分针和时针共走了40格，

11017

40+(l+-L)=36上分，所以距5点最近的“时针与分针左右对称”的时刻是4点36竺分

121313

3.现在的时间在10点与11点之间，如果在6分钟后表的分针的位置恰好与3分钟前时针的

位置方向相反，那么现在的时间是几点几分？

【分析】方法一：10点时，时针与分针成60。角，分针在时针前60。处。从现在之后再过6

分钟，分针与现在之前3分钟的时针成180。夹角，则从现在之后再过6分钟的时

亥I,分针与时针成

180。-(6+3»0.5。=175.5。夹角，则分针在时针前175.5。处。10点时,分针领先时

针60。,要想领先175.5。，需要(175.5-60)+(6-0.5)=21分钟。那么10点21分是

现在之后再过6分钟的时刻，则现在是10点15分。

方法二：用“格”来讲，设现在是10点x分，此时分针和时针的路程差为

10+x-Lx=10」」x格，夹角为180分针和时针相差30格，根据题意列方程得

1212

10+—x+6+-^-x3=30,解得x=15则现在是10点15分。

1212

4.某工厂的一只不准的时钟需要69分钟(标准时间)时针与分针才能重合一次。工人每天

的正常工作时间是8小时，在此期间内，每工作一小时付约工资4元，如果超出规定时间就

算加班，加班每小时付给工资6元。如果一个工人照此钟工作8小时，他实际上应得到工资

多少元？

1io

【分析】标准钟重合一次用时为60+(1-丘)=60x(,由于重合时两种时钟所走的路程差

12

相同，所以两种钟的速度差的比为(60xy)：69=(60xl2):(69xll),因此实际工作

1313

时间为8+(60xl2)x(69xll)=8.，应得到工资为8x4+而x6=34.6(元)

5.有两只旧钟，分别对它们进行观测，发现一只钟的分针与时针重合一次用64分钟，另一

只钟的分针与时针重合一次用66分钟，现在把两只钟都在标准时间0:00校准。试问：当它

们再次出现在钟面上同一位置，且分针与时针重合(不一定指向12点)，是几天几小时几分

钟之后？

【分析】同时重合用时为[64,66]=2x32x33分钟，但要求出现在钟面上同一位置，所以快

的应比慢的多重合11次，因此出现在钟面上同一位置用时为2x32x33x11分钟等

于16天3小时12分钟

6.费叔叔有一只手表和一个闹钟，他发现闹钟每走一个小时，他的手表会多走30秒，但闹

钟却比标准时间每小时慢30秒。在今天中午12点费叔叔把手表和标准时间校准，那么明天

中午12点时，费叔叔的手表显示的时间是几点几分几秒？

【分析】闹钟和手表的速度比为3600:3630=120:121,闹钟和标准时间速度比为