第17讲 圆（原卷）初中数学

第十七讲——圆

考向一圆的基本认识

典例引领

1.（2020•山东临沂市♦）我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离;

同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段

的长度，叫做点到直线的距离.类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，

叫做点到曲线的距离.依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点42,1）到以原点为圆心，以1为半径的

圆的距离为.

2.（2020•甘肃兰州市♦中考模拟）有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的

外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧.其中正确的有

A.4个B.3个C.2个D.1个

变式拓展

1.（2020•山东聊城市•中考模拟）把地球看成一个表面光滑的球体，假设沿地球赤道绕紧一圈钢丝，然后把

钢丝加长，使钢丝圈沿赤道处处高出球面16cm,那么钢丝大约需要加长

A.102cmB.104cmC.106cmD.108cm

2.（2020•山东临沂市）如图，在。。中，AB为直径,ZAOC=80\点D为弦AC的中点，点E为8C上

1

任意一点，则NCED的大小可能是（）

20C.30°D.40°

考向二垂径定理

典例引领

1.（2020•广东广州市•中考真题）往直径为52砌的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面

宽AB=48cm,则水的最大深度为（）

A.80nB.10cmC.16cmD.20cm

2.（2020•黑龙江牡丹江市•中考真题）A5是O。的弦，OMLAB,垂足为M,连接。1.若“。加中

有一个角是30°,OM=273-则弦A3的长为

3.（2020•浙江嘉兴市•中考真题）如图，在等腰AABC中，AB=AC=2石，BC=8,按下列步骤作图：

①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交A8,AC于点E,F,再分别以点E,F为圆心，大于J

EF的长为半径作弧相交于点H,作射线AH；

2

②分别以点A,B为圆心，大于gAB的长为半径作弧相交于点M,N,作直线MN,交射线A”于点0；

③以点。为圆心，线段。4长为半径作圆.

则。。的半径为（）

C.4D.5

变式拓展

1.（2020•山东滨州市•中考真题）在。。中，直径AB=15,弦DE_LAB于点C.若OC：OB=3：5,则

DE的长为（）

A.6B.9C.12D.15

2.（2020•江苏南京市•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，OP与x轴、y轴都相切，

且经过矩形A08C的顶点C,与BC相交于点D,若。P的半径为5,点A的坐标是（。,8）,则点D的坐标

是（）

3

C.(10,2)D.(10,3)

3.（2020•青海中考真题）已知OO的直径为10cm,AB,CD是。O的两条弦，AB//CD,AB=8cm,

CO=6cm,则AB与C£＞之间的距离为cm.

考向三弧'弦'圆心角'圆周角

典例引领

1.（2020•山东烟台市•中考真题）量角器测角度时摆放的位置如图所示，在AAC右中，射线OC交边AB于

点D,则/ADC的度数为（）

A.60°B.70°C.80°D.85°

2.（2020•浙江中考真题）如图，已知四边形ABC。内接于。O,NABC=70°,则NAOC的度数是（）

A.70°B.110°C.130°D.140°

4

3.（2020•山东青岛市•中考真题）如图，3。是O。的直径，点A，C在。。上，AB=AD>AC交8。

于点G.若/COD=126°.则ZAGB的度数为（）

A.99°B.108°C.110°D.117°

变式拓展

1.（2020•湖北荆门市•中考真题）如图,。。中，OC±AB,ZAPC=28°,则ZBOC的度数为（)

A.14°B.28°C.42°D.56°

2.（2020•浙江杭州市•中考真题）如图,已知BC是。。的直径，半径。4J_BC,点。在劣弧AC上（不与

点A,点C重合），BD与OA交于点E.设/AEQ=a,NAOO=p,则()

5

A.3a+p=180°B.2a+p=180°C.3a-p=90°D.2a-P=90°

考向四点、直线与圆的位置关系

典例引领

4

1.（2020•广东广州市•中考真题）如图，及A43C中，ZC=90°,AB=5,cosA=-,以点3为圆心,

厂为半径作。8,当r=3时，与AC的位置关系是（）

B.相切C.相交D.无法确定

2.（2020•上海中考真题）在矩形48co中，AB=6,BC=8,点。在对角线AC上，圆O的半径为2,如果圆

O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段A。长的取值范围是—.

变式拓展

1.（2020•四川中考模拟）己知。。的半径是5,点A到圆心O的距离是7,则点A与。。的位置关系是

A.点A在③。上B.点A在。。内C.点A在。。外D.点A与圆心。重合

6

2.（2020•河北中考模拟）在AA8C中，AB=AC=2,NA=150。，那么半径长为1的。B和直线AC的位置关

系是

A.相离B.相切C.相交D.无法确定

考向五切线的性质与判定

典例引领

1.（2020•浙江杭州市•中考真题）如图，已知AB是。。的直径，BC与。。相切于点B,连接4C,OC.若

sinZBAC=—,则tan/BOC=.

3

2.（2020•湖南湘西土家族苗族自治州•中考真题）如图，PA，P3为。O的切线，切点分别为A、B,PO

交A8于点C,PO的延长线交。O于点D.下列结论不一定成立的是（）

A.△3%为等腰三角形B.A3与尸。相互垂直平分

C.点A、B都在以P。为直径的圆上D.PC为△8/%的边AB上的中线

3.（2020•河南中考真题）我们学习过利用用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”

曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的，人们根据实际需要，发明了一种简易操作工

具三分角器.图1是它的示意图，其中A3与半圆。的直径6C在同一直线上，且AB的长度与半

圆的半径相等；与AC重直于点足够长.

使用方法如图2所示，若要把NMEN三等分，只需适当放置三分角器，使经过NMEN的顶点£,点A

落在边匕半圆。与另一边EN恰好相切，切点为尸，则石氏£。就把三等分了.

7

为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明.如下给出了不完整的“己知”和“求证”，请补充完整，并写

出‘'证明”过程.

己知：如图2,点在AB,。,。同一直线上，垂足为点8,

求证：__________

变式拓展

1.（2020•江苏徐州市。中考真题）如图，A8是O。的弦，点C在过点B的切线上，OC_LOA,OC交AB

于点P.若NBPC=70。，则Z43C的度数等于（）

8

A.75°B.70°C.65°D.60°

2.(2020•四川绵阳市•中考真题)如图，4ABC内接于点D在。O外，NADC=90。，BD交。O于点

E,交AC于点F,ZEAC=ZDCE,ZCEB=ZDCA,CD=6,AD=8.(1)求证：AB〃CD；(2)求证：

CD是。O的切线；(3)求tan/ACB的值.

9

考向六正多边形与圆

典例引领

1.（2020•湖北随州市♦中考真题）设边长为。的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为/?、广、

R，则下列结论不正硬的是（）

A.h=R+rB.R=2r

2.（2020•山东德州市♦中考真题）如图，圆内接正六边形的边长为4,以其各边为直径作半圆，则图中阴影

部分的面积为（）

A.24百一4万B.126+4万C.240+8万D.24百+4万

10

变式拓展

1.（2020•四川中考真题）半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a,b,c,则a,

b,c的大小关系是（）

A.a<b<cB.h<a<cC.a<c<hD.c<b<a

2.（2020•辽宁阜新市•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形。ABC£应绕点。顺

时针旋转，个45。,得到正六边形。446。耳，则正六边形=2020）的顶点C,的坐标是（）

A.（1,-6）B.（1,73）C.（1,-2）D.（2,1）

考向七弧长和扇形面积

典例引领

1.（2020•湖南邵阳市•中考真题）如图①是山东舰航徽的构图，采用航母45度破浪而出的角度，展现山东

舰作为中国首艘国产舰母横空出世的气势，将舰徽中第一条波浪抽象成几何图形，则是一条长为10万的弧,

若该弧所在的扇形是高为12的圆锥侧面展开图（如图②），则该圆锥的母线长A8为.

图①图②

2.（2020•四川成都市•中考真题）如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线引4GA片片…叫做“正六边

形的渐开线“，E&,4勺，G4,,…的圆心依次按A，B,C,D,E，/循环，

11

且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角.当45=1时，曲线FA4G"鸟耳的长度是

3.（2020•山西中考真题）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花.图①中的摆盘，

其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到AC=30=12的，C,

。两点之间的距离为4c〃z，圆心角为60°,则图中摆盘的面积是（）

D.ITTCYTV

12

变式拓展

1.（2020•云南中考真题）如图，正方形ABCD的边长为4,以点A为圆心，为半径画圆弧DE得到扇

形D4E（阴影部分，点E在对角线4C上）.若扇形D4E正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底

面圆的半径是（）

1

A.正B.1C.—D.—

22

2.（2020•广西贵港市•中考真题）如图，在扇形046中，点C在A3上，ZAOB=90°,NA5C=3（）。,

于点。，连接AC,若。4=2,则图中阴影部分的面积为.

D

、声点冲关充

1.（2020•安徽中考真题）已知点A3,C在。。上.则下列命题为真命题的是（）

A.若半径08平分弦AC.则四边形Q4BC是平行四边形

B.若四边形Q43c是平行四边形.则NABC=120°

C.若NABC=120°.则弦AC平分半径08

D.若弦4C平分半径08.则半径。8平分弦AC

13

2.（2020•山东潍坊市•中考真题）如图，在中，ZAOB=90°,OA=3,05=4,以点O为圆心,

2为半径的圆与08交于点C,过点C作C£>_LOB交AB于点D,点P是边04上的动点.当PC+PE）最

小时，OP的长为（）

3.（2020•贵州黔东南•中考真题）如图，。。的直径CO=20,AB是。O的弦，ABLCD,垂足为M,OM：

。。=3：5,则AB的长为（）

A.8B.12C.16D.2回

4.（2020•广西河池市•中考真题）如图，AB是。O的直径，CD是弦，AELCD于点E,BFLCD于点F.若

FB=FE=2,FC=1,则AC的长是（

4亚5&

14

5.（2020•辽宁鞍山市•中考真题）如图，。。是AABC的外接圆，半径为2cm,若3c=2cm,则NA的

A.30°B.25°C.15°D.10°

6.（2020•江苏镇江市•中考真题）如图，AB是半圆的直径，C、力是半圆上的两点，ZADC=106°,则NC4B

7.（2020•湖北荆州市•中考真题）如图，在6x6正方形网格中，每个小正方形的边长都是1,点A,B,C

均在网格交点上，OO是△ABC的外接圆，则cosNB4c的值是（）

B.竽C.1"

15

8.（2020•四川广安市•中考真题）如图，点A,B,C,D四点均在圆O上，ZAOD=68°,AO//DC,则/B

C.56°D.68°

9.（2020•山东淄博市•中考真题）如图，放置在直线1上的扇形OAB.由图①滚动（无滑动）到图②，再由

图②滚动到图③.若半径OA=2,ZAOB=45°,则点。所经过的最短路径的长是（）

10.（2020•湖北黄石市♦中考真题）如图，在6x6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中4、

B、C为格点，作AASC的外接圆，则的长等于

11.（2020•青海中考真题）在AABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,则△ABC的内切圆的半径为

16

12.（2020•云南昆明市•中考真题）如图，边长为20c机的正六边形螺帽，中心为点。，0A垂直平分边CD,

垂足为8,AB=\lcm,用扳手拧动螺帽旋转90。，则点A在该过程中所经过的路径长为cm.

13.（2020•黑龙江绥化市•中考真题）如图，正五边形ABCDE内接于。。，点P为OE上一点（点P与点

点E不重合），连接PC、PD，DGLPC,垂足为G,NPDG等于度.

14.（2020•江苏南通市•中考真题）已知。。的半径为13cm,弦A8的长为10c/n,则圆心。到A8的距离为

_____cm.

15.（2020•贵州贵阳市•中考真题）如图，AA6C是。。的内接正三角形，点。是圆心，点。，E分别在边

AC,AB上，若DA=EB,则NOOE的度数是一度.

17

16.(2020•湖南怀化市•中考真题)定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形.

(1)下面四边形是垂等四边形的是(填序号)

①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形

(2)图形判定：如图1,在四边形A3CD中，AD//BC,AC±BD,过点D作BD垂线交BC的延长

线于点E,且NDBC=45。，证明：四边形ABCD是垂等四边形.

(3)由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半.应用：在图2中，面积为

24的垂等四边形ABCD内接于。O中，ZBCD=60°.求。。的半径.

18

17.（2020•四川中考真题）如图，在。。中，弦AB与直径CD垂直，垂足为M,C。的延长线上有一点尸,

满足NPBD=NDAB.过点P作PNLC。，交。4的延长线于点N,连接EW交AP于点H.（1）求证：BP

是。。的切线；（2）如果OA=5,AM=4,求PN的值：（3）如果求证：AH・OP=HP*AP.

19

18.（2020•辽宁盘锦市•中考真题）如图，是。。的直径，AO是。。的弦，AO交BC于点E，连接

AB,CD,过点E作所_LA8,垂足为F，ZAEF^ZD.（1）求证：ADYBC；（2）点G在8c的延

Ap2

长线上，连接AG,ND4G=2/0.①求证:AG与。。相切；②当——=-,CE=4时，直接写出CG

BF5

的长.

B

20

19.（2020•湖南永州市♦中考真题）如图，△A6C内接于是°。的直径，B。与O。相切于点8,

3。交AC的延长线于点力，E为5。的中点，连接CE.（1）求证：CE是OO的切线.（2）已知

BD=3瓜CD=5,求O,E两点之间的距离.

21

20.（2020•内蒙古通辽市•中考真题）中心为。的正六边形ABCDEF的半径为6cm.点P,Q同时分别从AD

两点出发，以lcm/s的速度沿向终点居C运动，连接PB,PE,QB,QE,设运动时间为f（s）.

（1）求证：四边形P3QE为平行四边形；（2）求矩形P3QE的面积与正六边形ABCDE/7的面积之比.

22

直通中考.

1.（2020•四川泸州市•中考真题）如图，。。中，舛8=注0，ZABC=70°,则/BOC的度数为（）

B.90°C.80°D.70°

2.（2020•湖北省直辖县级行政单位•中考真题）一个圆锥的底面半径是4cm，其侧面展开图的圆心角是120。,

则圆锥的母线长是（）

A.8cmB.12cmC.16cmD.24cm

3.（2020•山东日照市•中考真题）如图，A8是。。的直径，CQ为。。的弦，A3_LCZ）于点E,若CD=66,

C.3兀--yfiD.9G

4

4.（2020•江苏常州市•中考真题）如图，A8是OO的弦，点。是优弧A8上的动点（C不与A、B重合）,

CHLAB,垂足为〃，点M是3C的中点.若OO的半径是3,则长的最大值是（）

A.3B.4C.5D.6

23

5.（2020・湖北中考真题）如图，点在。。上，OA±BC,垂足为E.若ZM>C=30。，AE=1，

则BC=（）

A.2B.4C.73D.20

6.（2020•陕西中考真题）如图，ZVIBC内接于。O,ZA=50°.E是边BC的中点，连接OE并延长，交

。。于点。，连接3。，则NO的大小为（）

C.60°D.75°

13.（2020•山东泰安市•中考真题）如图，△ABC是。。的内接三角形，AB=BC,ABAC=30°,是

直径，AQ=8,则AC的长为（）

24

7.（2020•柳州市中考真题）如图，点A、B、C在。。上，若NBOC=70°,则NA的度数为（）

A

\0\\

A.35°B.40°C.55°D.70°

8.（2020•四川眉山市•中考真题）如图，四边形ABC。的外接圆为。0，BC=CD,4MC=35。，

NAC£>=45°,则的度数为（）

A.55°B.60°C.65°D.70°

9.（2020•内蒙古赤峰市•中考真题）如图，0A经过平面直角坐标系的原点O,交x轴于点B（-4,0）,交），

轴于点C（0,3）,点。为第二象限内圆上一点.则NCDO的正弦值是（）

25

10.（2020•河北中考真题）有一题目：“已知：点。为AABC的外心，ZBOC=130°,求NA.”嘉嘉的

解答为：画AA8C以及它的外接圆。，连接08,OC,如图.由ZBOC=2NA=13（）。，得NA=65°.而

淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，NA还应有另一个不同的值."，下列判断正确的是（）

A.淇淇说的对，且NA的另一个值是115。B.淇淇说的不对，NA就得65°

C.嘉嘉求的结果不对，NA应得50°D.两人都不对，NA应有3个不同值

11.（2020•湖南张家界市•中考真题）如图，四边形ABCO为。。的内接四边形，已知N3Q9为120°,则

C.120°D.130°

12.（2020•浙江金华市•中考真题）如图，。。是等边△4BC的内切圆，分别切AB,BC,AC于点E,F,D,

P是°F上一点，则NEPF的度数是（）

C.58°D.50°

26

13.（2020•湖南永州市•中考真题）如图，已知PAP8是。。的两条切线，4,8为切点，线段OP交。。于

点M.给出下列四种说法：®PA=PB-,②OP_LAB；③四边形。4尸B有外接圆；④M是AAOP外接圆

的圆心，其中正确说法的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

14.（2020•山东济南市•中考真题）如图，在正六边形4BCCEF中，分别以C,尸为圆心，以边长为半径作

弧，图中阴影部分的面积为24兀，则正六边形的边长为.

15.（2020•湖北襄阳市•中考真题）在。O中，若弦8C垂直平分半径。4,则弦8C所对的圆周角等于

16.（2020•江苏苏州市•中考真题）如图，已知A8是。。的直径，AC是。。的切线，连接。。交。。于

点£）,连接50.若NC=40。，则E>8的度数是

27

17.（2020•黑龙江牡丹江市•中考真题）在半径为斯的。0中，弦AB垂直于弦CD,垂足为P,AB=CD=4,

则SAACP=.

18.（2020•山东潍坊市•中考真题）如图，四边形ABC。是正方形，曲线。4月GQ4…是由一段段90度

的弧组成的.其中：D4,的圆心为点A,半径为A。；A4的圆心为点B,半径为BA；4G的圆心为点

C,半径为C4；CQ的圆心为点D,半径为。G；…£>A，A4,4C1,CQ,…的圆心依次按点A,B,C,

D循环.若正方形A6CD的边长为1,则4020&020的长是.

19.（2020•湖南岳阳市•中考真题）如图，A3为半。。的直径，M.。是半圆上的三等分点，AB=8,BD

与半。。相切于点3,点P为%必上一动点（不与点A，M重合），直线PC交3。于点。，BEA.OC

于点E，延长BE交PC于点尸，则下列结论正确的是.（写出所有正确结论的序号）

4

①PB=PD；②8C的长为§乃；③NDBE=45。；©ABCF^APFB；⑤CECP为定值.

28

20.（2020•内蒙古呼和浩特市•中考真题）某同学在学习了正多边形和圆之后，对正五边形的边及相关线段

进行研究，发现多处出现者名的黄金分割比避二!0.618.如图，圆内接正五边形A88E,圆心为O,

2

。以与BE交于点H,AC.A£＞与BE分别交于点M、N.根据圆与正五边形的对称性，只对部分图形进

行研究.（其它可同理得出）（1）求证：AABM是等腰三角形且底角等于36。，并直接说出A&W的形状;

（2）求证：—,且其比值左=避二1；（3）由对称性知由（1）（2）可知"生也

BNBE2BM

是一个黄金分割数，据此求sinl8。的值.