江苏省竞赛辅导多元微积分学(试题与解答)

江苏省高数竞赛辅导多元微积分与线面积分(试题与解答)1.设由方程确定(为任意可微函数)，则(2000，省一)解：2.若都存在，则在___D____.(2000，省一)A．极限存在但不一定连续B.极限存在且连续C．沿着任意方向的方向导数存在D.极限未必存在，未必连续.3.已知两个球的半径分别是，且小球球心在大球球面上，试求小球在大球内的那一部分的体积.(2000，省一)解：设大圆方程为，小圆方程为，其交点的纵坐标为，所求立体为两圆公共区域绕轴旋转一周所得，其体积为4.计算曲面积分，其中为曲面(2000，省一)解：利用曲面关于坐标面对称，有5.计算曲面积分，其中为绕轴旋转一周所成曲面之下侧.(2000，省二)解：作平面取上侧，所围成的立体为，则6.二阶导数连续，二阶偏导数连续，则(2002，省一)解：7.求直线绕旋转一周的旋转曲面的方程，并求该曲面与所包围的立体的体积.(2002，省一)解：在所求曲面上任取点，过作垂直于轴的平面，该平面与题给直线交于点，与轴交于点，则，且，故又由点在已知直线上，8.设试讨论在点的连续性、可偏导性与可微性.(2002，省一)解：故在点处连续.9.设于可导，求(2002，省一)解：10.设曲线的极坐标方程为，一质点在力的作用下沿曲线从点，力的大小等于点到定点的距离，其方向垂直于线段，且与轴正向的夹角为锐角，求力对质点所做的功.(2002，一)解：11.证明：(2004,省一)解：首先考虑在上的最大值与最小值.在内部，由于，故在内部无驻点.于是在球面上，应用Lagrange乘数法，令又在有界闭集有最大值与最小值，故分别是在上的最大值与最小值，故12.设连续可导，为不包含原点的单连通域，任取，在内曲线积分与路径无关.(1)求(2)求(2004,省一)解：令与路径无关，故取正向围成的区域为，由Green公式，13.设时，曲线积分取最大值.(2006,省一)解：设围成区域为则14.设锥面被平面截下的有限部分为.(1)求曲面的面积；(2)用薄铁片制作的模型，为上的两点，O为原点，将沿线段OB剪开并展开成平面图形D，以OA方向为极轴建立平面极坐标系，写出D的边界的极坐标方程.(2006,省一)解：(1)锥面与平面的交线在XOY平面上投影为，此为一椭圆，它所围成图形的面积为，的面积为(2)先求交线的柱坐标方程，令则作平面，交于为半径为1的圆，其上任一点到原点O的距离为2.弧长为设在平面图形D中，设弧长为的边界曲线的极坐标方程为15.曲线绕Z轴旋转一周生成的曲面与所围成的立体区域为(1)求(2006,省一)(2)求(2006,省二)解：(1)曲面方程则(2)曲面方程则16.证明：(南大，95)解：令则在内无驻点，在上，令17.设是原点到椭球面上点处切平面的距离，求(南大，95)解：椭球面上任一点处的切平面方程为坐标原点到切平面的距离为18.已知是为顶点的四边形的边，取正向，则(南大，96)解：19.求其中由方程组给定.(南大，96)解：曲线的参数方程为20.设的外侧位于的部分，试计算给定.(南大，96)解：曲面在XOY面上的投影为则21.设满足方程试用球坐标变换将方程变为(南大，96)解：球坐标22.计算柱面被平面所截下曲面中部分曲面的面积.(南大，96)解：曲面方程：23.求函数在区域上的最大值与最小值.(莫斯科)解：区域D内部：边界上，令同理，边界上分别计算出驻点且边界线段的端点为于是24.设证明：(莫斯科)解：要证记于是上式即当时，当时，又25.计算曲线积分为平面上环绕坐标原点的单闭曲线，取逆时针方向.(莫斯科)解：将代入原式，由故在的区域上，曲线与路径无关.在单闭曲线L内部取椭圆周充分小，且取逆时针，则其中26.设曲线积分为顶点的正方形边界曲线，方向为逆时针，则(全国，2015.3)解：利用Green公式，27.设为平面上点处的个方向向量，相邻两个向量之间的夹角为，证明(全国，2015.3)解：设为单位向量，且设28.求方程的通解.(全国，2011.3)解：设29.设求椭球面在上各点的切平面到原点距离的最大值与最小值.(全国，2011.3)解：设切平面方程：30.已知绕Y轴旋转形成的椭球面上半部分()取上侧，是原点到于点处切平面的距离，S正法向的方向余弦为计算(1)(2)(全国，2011.3)解：(1)设切平面方程：原点到切平面的距离：(2)31.计算与两坐标轴所围成三角形区域.(全国，2009.3)解：令32.已知为的正向边界，证明：(全国，2009.3)(1)(2)解：(1)由Green公式，关于对称，故由轮换对称性，(1)成立.(2)利用幂级数展开，有33.设函数具有连续导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上，曲线积分的值为常数，(全国，2010预赛)(1)取正向，证明：(2)求函数(3)设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求.解：(1)L不绕原点，在L上取两点A,B，将L分为两段，再从