导数知识点归纳及应用

・知识点归纳

一、相关概念

1.导数的概念

函数y=f(x),如果自变量x在X。处有增量a,那么函数y相应地有

增量Q=f(x］+s)—f(xj,比值区叫做函数y=f(X)在XE到

xg+区之间的平均变化率，即因=|xI。如果当日

时，目有极限，我们就说函数y=f(x)在点灯处可导，并把这个极限

叫做f(x)在点XE处的导数，记作f'(x』或y'|回。

即f(x。)=凶凶=叵］|x|。

说明：

(1)函数fix〕在点X习处可导，是指日时，国有极限。如果国

不存在极限，就说函数在点X5处不可导，或说无导数。

(2)日是自变量x在不处的改变量，口时、而目是函数值的改

变量，可以是零。

由导数的定义可知，求函数y=f5〕在点观处的导数的步骤：

①求函数的增量回=f(x』+囚)一f(xg);

②求平均变化率0=IX|；

③取极限，得导数f'(xO=叵］o

例：设f(x)=x|x|,那么f，(0)=

［解析］:「__■

f(0)=0

2.导数的几何意义

函数y=f(x)在点x£处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点p(x%

f(xN)处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f〔X〕在点p(X3,f

(xN)处的切线的斜率是f'5力。

相应地,切线方程为y—y尸flx』)(x—xg)□

例：在函数三！的图象上，其切线的倾斜角小于可的点中，坐

标为整数的点的个数是

()

A.3B.2C.1D.0

［解析］:切线的斜率为

又切线的倾斜角小于不即日

故I-I

解得：IX|

故没有坐标为整数的点

3.导数的物理意义

如果物体运动的规律是5=5旌)，那么该物体在时刻t的瞬间速度V=M

如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v⑴，那么该物体

在时刻t的加速度2=»ft)o

例。汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，假

设把这一过程中汽车的行驶路程目看作时间n的函数，其图像可能是

()

答：Ao

练习：质点M按规律三I做直线运动(位移单位：cm,时间单

位：S〕O

(1)当t=2,mi时一，求日；

(2)当t=2,f-i时，求国；

(3)求质点M在t=2时的瞬时速度。

答案：H回；(3)8回

二、导数的运算

1.根本函数的导数公式：

①目(C为常数)

②IX|

③I1;

④;

⑤日

⑥IXI；

⑦a，

⑧Ix|

例1:以下求导运算正确的选项是

()

A.(x+|x|B.(log2x)'=［x］

x2

C.⑶)'=3log3eD.(xcosx)'=_2xsinx

［解析］:A错，v(x+可

B正确，(log2x)'=国

C错，.•(3X)'=3xln3

D错，•"(x2cosx)'=2xcosx+(-sinx)

例2：设6(x)=sinx,fAx)=fQ'(x),£(x)=£'(x),…，fn+

O=fn'(x),那么工oo5(x)=

()

A.sinxB.—sinxC.cosx

D.—cosx

［解析］:K(x)=sinx,f(x)=%'{x}-cosx,£(x)=f'(x)=

-sinx,

£(x)=£'(x)=-cosx,乙(x)=fj,'l止sinx,循环了

那么分005(x)=£(x)=cosx

2.导数的运算法那么

法那么1：两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和

(或差)，

即：(1X|

法那么2：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个

函数，加上第一个

函数乘以第二个函数的导数，即：

假设c为常数，那么■~■.即常数与函数的积的

导数等于常数乘以函数的导数：NI

法那么3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去

分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：□叵I1Vsi0)。

例：设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0

时，「一F>0.且g(3)=0.那么不等式f(x)g(x)V0的解

集是()

A.(-3,0)U⑶+8)B.(-3,0)U(0,3)

C.(一8,-3)U⑶+8)D.(-«=,-3)U(0,

3)

［解析］：.「当xVO时，I=.>0,即IxI

.•.当xVO时，f(x)晨x)为增函数,

又g(x)是偶函数且g(3)=0,「.g(-3)=0,「.f(-3)g(-3)=0

故当日时，f(x)g(x)<0,又f(x)g(x)是奇函数，

当x>0时，f(x)g(x)为减函数，且f(3)g(3)=0

故当N1时，f(x)g(x)<0

应选D

形如y=f回冈的函数称为复合函数。复合函数求导步骤:

分解一一＞求导一一》回代。

法那么：y'|9=y'|0•uz|目或者i*

练习：求以下各函数的导数：

(1)|xI[2)「.

(3)|x|[4〕\x]

解：⑴：x|

(2)y=(x'+3x+2)(x+3)=x3+6x"+llx+6,.\y'=3xJ+12x+l1.

⑶•y=

1■

⑷r~=

[X1

三、导数的应用

（1）设函数目在某个区间（a,b）可导，如果日国日，那么

a在此区间上为增函数；如果日目，那么a在此区间上为

减函数。

12〕如果在某区间内恒有日目，那么叵］为常数。

例：函数是减函数的区间为

A.।x।B.।x।C.।x।D.(0,2)

［解析］:由Ix・<0,得0<x<2

，函数［一:是减函数的区间为（0,2）

2.极点与极值：

曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0;曲线在

极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切

线的斜率为负，右侧为正；

例：函数■一■时取得极值，那么回=

［解析］:./I=・，又之□时取得极值

那么日=5

3.最值:

在区间［a,b］上连续的函数f因在［a,b］上必有最大值与最小值。

但在开区间(a,b)内连续函数f〔X〕不一定有最大值，例如

I一■O

(1)函数的最大值和最小值是一个整体性的概念，最大值必须是整

个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须在整个区间上所有函

数值中的最小值。

(2)函数的最大值、最小值是比拟整个定义区间的函数值得出来

的，函数的极值是比拟极值点附件的函数值得出来的。函数的极值

可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值那

么可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，

极值可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值。

例：函数［X1在闭区间［-3,0］上的最大值、最小值分别

是

［解析］:由IX।=0,得日,

当日时一，回＞0,当3时，叵］＜0,当日时一，

臼＞0,

故s的极小值、极大值分别为,

而「^^一・

故函数WI在［-3,0］上的最大值、最小值分别是3、

-17o

•经典例题选讲

例1.函数一的图象如下图（其中臼是函数H的导函

数），下面四个图象中日的图象大致是（）

［解析］:由函数日的图象可知:

当日时.，曰＜0,S＞0,此时H增

当IX】时可＞0,臼＜0,此时日减

当生3时，曰＜0,回＜0,此时H减

当日时一，曰＞0,臼＞0,此时叵1增

应选C

例2.设WJ恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求

其单调区间。

解：【XI

假设s,生］对\x1恒成立，此时a只有一个单调

区间，矛盾

假设日，a也只有一个单调

区间，矛盾

假设国：[.，此时E恰有三

个单调区间

日且单调减区间为名|和国,单调增区间

为I—I

例3.函数—I的图象过点P(0,2),且在点M「I

处的切线方程为.

(I)求函数日的解析式；

(II)求函数日的单调区间.

解：[I)由叵]的图象经过P[0,2),知d=2,

所以L-・

由在I―■处的切线方程是,知

故所求的解析式是I-■

1II)

解得I一■当

当

内是增函数，

在［T内是减函数，在三］内是增函数.

例4.设函数|一■,I■是奇函数。

(I)求®、3的值。(H)求回的单调区间与极值。

解：［I),•*),・o从而

是

一个奇函数，所以日得回，由奇函数定义得目；

(II)由(I)知匚三I从而r^i,由此可知，

WJ和目是函数H是单调递增区间；［x］是函数

H是单调递减区间；

国在日时，取得极大值，极大值为a,

国在国时，取得极小值，极小值为国。

例5.f(x〕=1二】在x=l,x=|3时，都取得极值。

⑴求a、b的值。

(2)假设对㈢，都有三］恒成立，求c的取值范围。

解：(1)由题意Fix)：的两个根分别为1和区

由韦达定理，得：1区=区|,|x|

那么［x］,日

⑵由(1〕，有f〔x)=「x］,f/(X〕=NJ

当区］时一，目，当国时"，目，当日

时，IX|,

当叵］时，H有极大值叵］，||,

...当IX1,叵］的最大值为IXI

对NJ,都有叵］恒成立，...区I,

解得।X|或1X|

例6.a是函数的一个极值点，其中

(I〕求日与目的关系式;

(H)求H的单调区间;

(III)当日时一，函数日的图象上任意一点的切线斜率恒

大于3日，求日的取值范围.

解：⑴■因为3是函数H的一个极值点,

所以口，即1，所以三□

(H)由(I)知,

当国时,有区I,当日变化时,与a的变

化如下表:

日国S国13

aa0a0a

a调调递减极小值单调递增极大值单调递减

故有上表知,当日时,H在|二|单调递减,

在叵］单调递增，在日上单调递减.

(HI)由得NJ,即J

又回所以即

①

设,其函数开口向上，由题意知①式恒

成立,

所以[X]解之得

叵]又回

所以E]

即日的取值范围为区