2024届内蒙古赤峰市翁牛特旗乌丹二中高一数学第二学期期末考试模拟试题含解析

2024届内蒙古赤峰市翁牛特旗乌丹二中高一数学第二学期期末考试模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥P﹣ABCD为阳马，侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝AD，E为棱PA的中点，则异面直线AB与CE所成角的正弦值为（）A． B． C． D．2．已知数列和数列都是无穷数列，若区间满足下列条件：①；②；则称数列和数列可构成“区间套”，则下列可以构成“区间套”的数列是（）A．， B．，C．， D．，3．设，，则下列不等式成立的是（）A． B． C． D．4．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2aA．145 B．114 C．85．已知在等差数列中，的等差中项为，的等差中项为,则数列的通项公式（）A． B．-1 C．+1 D．-36．设满足约束条件,则的最大值为（）A．7 B．6 C．5 D．37．已知是公差不为零的等差数列，其前项和为，若成等比数列，则A． B．C． D．8．若，且为第四象限角，则的值等于A． B． C． D．9．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是（）A．2张恰有一张是移动卡 B．2张至多有一张是移动卡C．2张都不是移动卡 D．2张至少有一张是移动卡10．甲、乙两位同学在高一年级的5次考试中，数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是，则下列叙述正确的是（）A．，乙比甲成绩稳定B．，甲比乙成绩稳定C．，乙比甲成绩稳定D．，甲比乙成绩稳定二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．实数x、y满足，则的最大值为________.12．已知数列中，，，设，若对任意的正整数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．13．已知向量满足，则与的夹角的余弦值为__________．14．若数列满足，则_____.15．设数列满足，，且，用表示不超过的最大整数，如，，则的值用表示为__________．16．在直角梯形.中，，分别为的中点，以为圆心，为半径的圆交于，点在上运动（如图）.若，其中，则的最大值是________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知的三个顶点分别为，，，求：（1）边上的高所在直线的方程；（2）的外接圆的方程．18．在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司推广线下分店，计划在S市的A区开设分店，为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格.记x表示在各区开设分店的个数，y表示这个x个分店的年收入之和.(1)该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程(2)假设该公司在A区获得的总年利润z(单位:百万元)与x，y之间的关系为，请结合(1)中的线性回归方程，估算该公司应在A区开设多少个分店时，才能使A区平均每个分店的年利润最大?(参考公式:，其中，)19．已知数列的前项和为，且满足，（）．（Ⅰ）求的值，并求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列的前项和为，求证：（）．20．甲、乙两台机床同时加工直径为10cm的零件，为了检验零件的质量，从零件中各随机抽取6件测量，测得数据如下（单位：mm）：甲：99，100，98，100，100，103；乙：99，100，102，99，100，100.（1）分别计算上述两组数据的平均数和方差（2）根据（1）的计算结果，说明哪一台机床加工的零件更符合要求.21．如图，是以向量为边的平行四边形，又，试用表示．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】

由异面直线所成角的定义及求法，得到为所求，连接，由为直角三角形，即可求解．【题目详解】在四棱锥中，，可得即为异面直线与所成角，连接，则为直角三角形，不妨设，则，所以,故选B．【题目点拨】本题主要考查了异面直线所成角的作法及求法，其中把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2、C【解题分析】

直接利用已知条件，判断选项是否满足两个条件即可．【题目详解】由题意，对于A：，，∵，∴不成立，所以A不正确；对于B：由，，得不成立，所以B不正确；对于C：，∵，∴成立，并且也成立，所以C正确；对于D：由，，得，∴不成立，所以D不正确；故选：C．【题目点拨】本题考查新定义的理解和运用，考查数列的极限的求法，考查分析问题解决问题的能力及运算能力，属于中档题．3、D【解题分析】试题分析：本题是选择题，可采用逐一检验，利用特殊值法进行检验，很快问题得以解决．解：∵a>b，c>d;∴设a=1，b=-1，c=-2，d=-5,选项A，1-（-2）>-1-（-5），不成立;选项B，1（-2）>（-1）（-5），不成立;取选项C，，不成立,故选D考点：不等式的性质点评：本题主要考查了基本不等式，基本不等式在考纲中是C级要求，本题属于基础题4、B【解题分析】

由Sn=2an-2，可得Sn-1=2an-1-2两式相减可得公比的值，由S1=2a1-2=【题目详解】因为Sn=2a两式相减化简可得an公比q=a由S1=2a∵a则4×2m+n-2=64∴1当且仅当nm=9mn时取等号，此时∵m,n取整数，∴均值不等式等号条件取不到，则1m验证可得，当m=2,n=4时，1m+9【题目点拨】本题主要考查等比数列的定义与通项公式的应用以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.5、D【解题分析】试题分析：由于数列是等差数列，所以的等差中项是，故有，又有的等差中项是，所以，从而等差数列的公差，因此其通项公式为，故选Ｄ．考点：等差数列．6、A【解题分析】

考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：首先作出可行域，再作出直线l0：y=-3x，将l0平移与可行域有公共点，直线y=-3x+z在y轴上的截距最大时，z有最大值，求出此时直线y=-3x+z经过的可行域内的点A的坐标，代入z=3x+y中即可．解：如图，作出可行域，作出直线l0：y=-3x，将l0平移至过点A（3，-2）处时，函数z=3x+y有最大值1．故选A．点评：本题考查线性规划问题，考查数形结合思想．解答的步骤是有两种方法：一种是：画出可行域画法，标明函数几何意义，得出最优解．另一种方法是：由约束条件画出可行域，求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证，求出最优解．7、B【解题分析】∵等差数列，，，成等比数列，∴，∴，∴，，故选B.考点：1.等差数列的通项公式及其前项和；2.等比数列的概念8、D【解题分析】试题分析：∵为第四象限角，，∴，．故选D．考点：同角间的三角函数关系．【点评】同角三角函数的基本关系式揭示了同一个角三角函数间的相互关系，其主要应用于同角三角函数的求值和同角三角函数之间的化简和证明．在应用这些关系式子的时候就要注意公式成立的前提是角对应的三角函数要有意义．9、B【解题分析】

概率的事件可以认为是概率为的对立事件．【题目详解】事件“2张全是移动卡”的概率是，它的对立事件的概率是，事件为“2张不全是移动卡”，也即为“2张至多有一张是移动卡”．故选B．【题目点拨】本题考查对立事件，解题关键是掌握对立事件的概率性质：即对立事件的概率和为1．10、C【解题分析】甲的平均成绩，甲的成绩的方差；乙的平均成绩，乙的成绩的方差.∴，乙比甲成绩稳定.故选C.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

根据约束条件，画出可行域，将目标函数化为斜截式，找到其在轴截距的最大值，得到答案.【题目详解】由约束条件，画出可行域，如图所示，化目标函数为，由图可知，当直线过点时，直线在轴上的截距最大，联立，解得，即，所以.故答案为：.【题目点拨】本题考查线性规划求最大值，属于简单题.12、【解题分析】∵，（，），当时，，，…，，并项相加，得：，

∴，又∵当时，也满足上式，

∴数列的通项公式为，∴

，令（），则，∵当时，恒成立，∴在上是增函数，

故当时，，即当时，，对任意的正整数，当时，不等式恒成立，则须使，即对恒成立，即的最小值，可得，∴实数的取值范围为，故答案为.点睛：本题考查数列的通项及前项和，涉及利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题通过并项相加可知当时，进而可得数列的通项公式，裂项、并项相加可知，通过求导可知是增函数，进而问题转化为，由恒成立思想，即可得结论.13、【解题分析】

由得，结合条件，即可求出，的值，代入求夹角公式，即可求解．【题目详解】由得与的夹角的余弦值为.【题目点拨】本题考查数量积的定义，公式的应用，求夹角公式的应用，计算量较大，属基础题．14、【解题分析】

由递推公式逐步求出.【题目详解】.故答案为：【题目点拨】本题考查数列的递推公式，属于基础题.15、【解题分析】

由题设可得知该函数的最小正周期是，令，则由等差数列的定义可知数列是首项为，公差为的等差数列，即，由此可得，将以上个等式两边相加可得，即，所以，故，应填答案．点睛：解答本题的关键是借助题设中提供的数列递推关系式，先求出数列的通项公式，然后再运用列项相消法求出，最后借助题设中提供的新信息，求出使得问题获解．16、【解题分析】

建立直角坐标系，设，根据，表示出，结合三角函数相关知识即可求得最大值.【题目详解】建立如图所示的平面直角坐标系：，分别为的中点，，以为圆心，为半径的圆交于，点在上运动，设，，即，，所以，两式相加：，即，要取得最大值，即当时，故答案为：【题目点拨】此题考查平面向量线性运算，处理平面几何相关问题，涉及三角换元，转化为求解三角函数的最值问题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）2x+y-2=0；（2）x2+y2+2x+2y-8=0【解题分析】

（1）根据高与底边所在直线垂直确定斜率，再由其经过点，从而由点斜式得到高所在直线方程，再写成一般式.（2）设出的外接圆的一般方程，将三个顶点坐标代入得到关于的方程组，从而求出外接圆的方程.【题目详解】（1）直线AB的斜率为，AB边上的高所在直线的斜率为-2，则AB边上的高所在直线的方程为y+2=-2（x-2），即2x+y-2=0（2）设△ABC的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0由，解之可得故△ABC的外接圆的方程为x2+y2+2x+2y-8=0【题目点拨】主要考查了直线方程与圆的方程的求解，属于基础题.18、(1);(2)该公司应开设4个分店时，在该区的每个分店的平均利润最大【解题分析】

（1）由表中数据先求得.再结合公式分别求得,即可得y关于x的线性回归方程.（2）将（1）中所得结果代入中,进而表示出每个分店的平均利润,结合基本不等式即可求得最值及取最值时自变量的值.【题目详解】（1）由表中数据和参考数据得:,,因而可得,,再代入公式计算可知,∴,∴.（2）由题意,可知总收入的预报值与x之间的关系为:,设该区每个分店的平均利润为t,则,故t的预报值与x之间的关系为,当且仅当时取等号,即或（舍）则当时,取到最大值,故该公司应开设4个分店时,在该区的每个分店的平均利润最大.【题目点拨】本题考查了线性回归方程的求法,基本不等式求函数的最值及等号成立的条件,属于基础题.19、（Ⅰ），，（Ⅱ）见解析【解题分析】

（Ⅰ）根据和项与通项关系得，利用等比数列定义求得结果（Ⅱ）利用放缩法以及等比数列求和公式证得结果【题目详解】（Ⅰ），由得，两式相减得故，又所以数列是以2为首项，公比为2的等比数列，因此，即.（Ⅱ）当时，，所以.当时，故又当时，，.因此对一切成立.【题目点拨】本题主要考查了利用和的关系以及构造法求数列的通项公式，同时考查利用放缩法证明数列不等式，解题难点是如何放缩，意在考查学生的数学建模能力和数学运算能力。20、（1）见解